YÜZDE, KÂR-ZARAR VE FAİZ PROBLEMLERİ

Yüzde, kâr-zarar ve faiz problemleri, bir büyüklüğün yüz eş parçaya göre ifade edilmesini; fiyat, maliyet ve paranın zaman içindeki değişiminin doğru tabana uygulanmasını ölçer. İşlemlerin çoğu kolaydır. Asıl güçlük, yüzde oranının hangi başlangıç değeri üzerinden hesaplanacağını belirlemektir.

Önceki Yaş Problemleri yazısında zamana bağlı değişimleri denklemle modelledik. Bu yazıda yüzde kavramından başlayarak ardışık değişim, maliyet-satış ilişkisi, indirim ve faiz hesaplarını inceleyeceğiz. Sıradaki Karışım Problemleri yazısında oranları saf madde miktarlarına uygulayacağız.

YÜZDE KAVRAMI VE TEMEL DÖNÜŞÜMLER

Yüzdeyi Kesir ve Ondalık Sayı Olarak Yazma

Yüzde, paydası 100 olan bir oranı gösterir. %a=a/100 eşitliği kullanılır. Buna göre %25, 25/100=1/4=0,25; %60 ise 60/100=3/5=0,60 demektir. Bir sayının yüzde a‘sını bulmak için sayı a/100 ile çarpılır.

Hesabı hızlandırmak için bazı yüzdeler parçalanabilir. Bir sayının %35’i, aynı sayının %30’u ile %5’inin toplamıdır. %5, sayının yirmide birine; %12,5 ise sekizde birine eşittir. Bu dönüşümler özellikle zihinden işlem ve seçenek eleme sırasında yararlıdır.

YÜZDESİ VERİLEN SAYININ TAMAMINI BULMA

Parçayı Yüzde Oranına Bölerek Bütüne Ulaşma

Bir sayının belirli bir yüzdesi biliniyorsa bilinmeyen bütüne x denir. “Bir sayının %15’i 42’dir” ifadesi x*15/100=42 biçimindedir. Bütün, 42/(15/100) işlemiyle bulunur.

“A sayısı B sayısının yüzde kaçıdır?” sorusunda oran A/B*100 olarak hesaplanır. Karşılaştırılan parça paya, esas alınan bütün paydaya yazılmalıdır.

İki yüzde arasındaki fark ile yüzdesel değişim aynı kavram değildir. Bir oran %30’dan %40’a çıkarsa artış 10 yüzde puandır; başlangıç oranına göre göreli artış ise (40−30)/30*100, yani yaklaşık %33,33’tür. Sorunun “kaç puan” mı yoksa “yüzde kaç” mı istediği ayırt edilmelidir.

YÜZDE ARTIŞ VE AZALIŞ

Başlangıç Değerini Artış veya Azalış Çarpanıyla Çarpma

Bir büyüklük %a artırılırsa yeni değer eski değer*(1+a/100) olur. %20 artışta çarpan 1,20; %35 artışta 1,35’tir. Bir büyüklük %a azaltılırsa eski değer*(1−a/100) kullanılır. %20 azalışın çarpanı 0,80’dir.

Değişim yüzdesi soruluyorsa fark başlangıç değerine bölünür: (yeni−eski)/eski*100. Paydadaki değer daima değişimin başladığı değerdir.

Uzunluk ve alan sorularında her boyuttaki değişim ayrı çarpan olarak uygulanır. Bir dikdörtgenin kısa kenarı %20 artırılıp uzun kenarı %10 azaltılırsa alan çarpanı 1,20*0,90=1,08 olur; alan %8 artar. Kenar yüzdelerini doğrudan çıkarmak doğru değildir.

ARDIŞIK YÜZDE DEĞİŞİMLERİ

Değişim Oranlarını Toplamak Yerine Çarpanları Çarpma

Ardışık yüzde değişimleri farklı tabanlara uygulandığı için oranlar doğrudan toplanıp çıkarılmaz. Bir değer önce %20 artırılıp sonra %20 azaltılırsa işlem x*1,20*0,80=0,96x olur. Son değer başlangıcın %96’sı, net değişim %4 azalıştır.

İki artış için (1+a/100)*(1+b/100); bir artış ve bir azalış için (1+a/100)*(1−b/100) çarpanları kullanılır. Sıra sonucu değiştirmez, fakat her oran o andaki yeni değere uygulanır.

Çarpan yönteminin alternatifi başlangıç değerini 100 kabul etmektir. Örneğin önce %30 indirim, sonra indirimli fiyat üzerinden %20 zam yapılırsa 100 önce 70’e, sonra 70*1,20=84‘e dönüşür. Son değer başlangıcın %84’ü olduğu için net azalış %16’dır.

İNDİRİM VE ARTIŞTAN ÖNCEKİ DEĞERİ BULMA

Son Değeri Değişim Çarpanına Bölme

Bir ürün %25 indirimden sonra 540 TL ise 540 TL başlangıç fiyatının %75’idir. Başlangıç fiyatına x denerek 0,75x=540 eşitliği kurulur. Benzer biçimde %20 artıştan sonraki değer biliniyorsa son değer 1,20’ye bölünür.

“%30 eksiği” ifadesi başlangıç değerinin %70’i; “%30 fazlası” ise %130’udur. Sorudaki yüzde, kalan oranla karıştırılmamalıdır.

Bir değer %20 azaldıktan sonra eski değerine dönmesi için %20 değil %25 artmalıdır. Çünkü 100’den 80’e düşen değerin yeniden 100 olması için 20 birimlik artış gerekir ve bu artış yeni taban olan 80’in 20/80*100=25 yüzdesidir.

KÂR VE ZARAR HESAPLARI

Kâr-Zarar Yüzdesini Maliyet Üzerinden Hesaplama

Kâr, satış fiyatı ile maliyet fiyatı arasındaki olumlu farktır: kâr=satış−maliyet. Zarar ise zarar=maliyet−satış biçiminde bulunur. Aksi belirtilmedikçe kâr ve zarar yüzdesinin tabanı maliyet fiyatıdır.

Birden fazla ürünün farklı oranlarla satıldığı sorularda her parçanın kârı veya zararı ayrı hesaplanır. Toplam kâr yüzdesi, toplam kârın toplam maliyete bölünmesiyle bulunur. Ürün oranlarının basit ortalamasını almak yalnız maliyetler eşitse doğru sonuç verir.

ETİKET FİYATI, İNDİRİM VE İSKONTO

İndirimi Etiket Fiyatına Uygulama

Etiket fiyatı ürünün indirimden önceki görünen fiyatıdır. İndirim veya iskonto bu fiyat üzerinden hesaplanır. Etiket fiyatı E ve indirim oranı %d ise indirimli satış fiyatı E*(1−d/100) olur.

Peş peşe iki indirimde oranlar toplanmaz. %20 ve ardından %10 indirim, 0,80*0,90=0,72 çarpanı verir; toplam indirim %28’dir.

Vergi, komisyon ve hizmet bedeli gibi eklemeler de aynı yüzde çarpanı mantığıyla modellenir. İndirimden sonra vergi uygulanıyorsa önce indirim çarpanı, ardından vergi çarpanı kullanılır. İşlemler aynı fiyat tabanında yapılmadıkça oranları tek adımda toplamak doğru değildir.

ZAM VE İNDİRİMİN KÂRA ETKİSİ

Maliyet, Etiket ve Satış Fiyatını Ayrı Tutma

Ticari problemlerde maliyet, etiket ve gerçek satış fiyatı üç farklı değerdir. Önce maliyete göre etiket fiyatı oluşturulur, ardından indirim etiket fiyatına uygulanır. Son satış fiyatı yeniden maliyetle karşılaştırılarak gerçek kâr veya zarar bulunur.

Bir ürün maliyetinin %50 fazlasına etiketlenip etiket üzerinden %20 indirimle satılıyorsa satış çarpanı 1,50*0,80=1,20 olur. Sonuç, maliyet üzerinden %20 kârdır.

İstenen kâr oranına göre etiket belirleme sorularında hedef satış fiyatından geriye gidilir. Maliyet 100, hedef kâr %20 ve uygulanacak indirim %25 ise gerçek satış 120 olmalıdır. Etiket fiyatı 0,75E=120 eşitliğinden 160 bulunur.

BASİT FAİZ PROBLEMLERİ

Faizi Anapara, Oran ve Süre Üzerinden Hesaplama

Basit faizde her dönemin faizi yalnız başlangıçtaki anapara üzerinden hesaplanır. Anapara A, yıllık faiz oranı r ve süre yıl cinsinden t ise faiz F=A*r*t/100 olur. Toplam para A+F biçimindedir.

Süre ay olarak verilirse t=ay/12; gün olarak verilirse sorunun kabulüne göre genellikle t=gün/360 yazılır. Yıllık oran doğrudan aylık oran gibi kullanılmamalıdır.

Basit faizde toplam faiz süreyle doğru orantılıdır. Aynı anapara ve aynı oran için süre iki katına çıktığında faiz de iki katına çıkar. Ancak elde edilen faiz anaparaya eklenip sonraki dönem yeniden faize bırakılıyorsa işlem artık bileşik faiz niteliği kazanır.

BİLEŞİK FAİZ VE GERÇEK DEĞİŞİM

Her Dönemin Getirisini Yeni Toplam Üzerinden Hesaplama

Bileşik faizde her dönemin faizi anaparaya eklenir ve sonraki dönemin faizi yeni toplam üzerinden hesaplanır. Yıllık oran %r ve süre n yıl ise toplam para A*(1+r/100)^n olur. Bu yapı ardışık yüzde artışıyla aynıdır.

Fiyatlar veya enflasyon da yüzde değişim mantığıyla değerlendirilir. Bir gelir %20 artarken fiyatlar %10 artarsa satın alma gücü değişimi doğrudan %10 değildir; 1,20/1,10−1 oranı yaklaşık %9,09 gerçek artış verir.

Bileşik faizde toplam faiz, basit faizden farklı olarak dönem sayısına doğrusal bağlı değildir. Örneğin %10 oranla iki yıl sonunda toplam çarpan 1,10²=1,21 olur. İkinci yılın %10’u yalnız ilk anaparaya değil, birinci yıl sonunda oluşan toplam paraya uygulanır.

YÜZDE, KÂR-ZARAR VE FAİZ PROBLEMLERİ TEMEL NOKTALAR

• Yüzdeyi işlemden önce kesir veya ondalık çarpana dönüştürülür.
• Yüzdenin hangi başlangıç değeri üzerinden alındığını belirlemek gerekir.
• Artışta 1+a/100, azalışta 1−a/100 çarpanını kullanmak gerekir.
• Ardışık değişimlerde oranları değil çarpanları çarpmak gerekir.
• Son değerden başlangıca dönerken değişim çarpanına bölün.
• Kâr ve zarar yüzdesini aksi söylenmedikçe maliyet üzerinden hesaplanır.
• İndirimi etiket fiyatına uygulamak gerekir.
• Maliyet, etiket ve satış fiyatını birbirinden ayrılır.
• Basit faizde süreyi yıllık oranla aynı birime getirin.
• Bileşik faizde her dönemin yeni toplam üzerinden ilerlediğini göz önünde bulundurulur.

Yüzde, kâr-zarar ve faiz problemlerinde doğru sonuç için değişimin tabanını ve sırasını açıkça yazmak gerekir.