Karışım problemleri, farklı oranlarda saf madde içeren karışımların birleştirilmesi, seyreltilmesi veya yoğunlaştırılması sırasında miktar ve yüzde ilişkisini inceler. Tuzlu su, şekerli su ve alaşım gibi farklı adlar kullanılsa da temel düşünce aynıdır: karışımdaki saf madde miktarını doğru izlemek.
Önceki Yüzde, Kâr-Zarar ve Faiz Problemleri yazısında yüzdeyi doğru tabana uyguladık. Bu yazıda aynı bilgiyi karışımın saf madde miktarıyla birlikte kullanacağız. Sıradaki İşçi-Havuz Problemleri yazısında ise iş yapma hızlarını birleştireceğiz.
KARIŞIM, SAF MADDE VE DERİŞİM
Saf Madde Miktarını Bulma
Bir karışımın tamamına karışım miktarı, aranan bileşenine saf madde, geri kalan kısmına ise çözücü denir. Yüzde a oranında saf madde içeren K gram karışımda saf madde miktarı K*a/100, çözücü miktarı ise K*(100−a)/100 olur.
| Büyüklük | Hesap | %30’luk 500 g karışım |
|---|---|---|
| Saf madde | Karışım*oran/100 | 500*30/100=150 g |
| Çözücü | Karışım*(100−oran)/100 | 500*70/100=350 g |
| Toplam | Saf madde+çözücü | 150+350=500 g |
B) 64
C) 72
D) 82
E) 90
DERİŞİMİ VE TOPLAM KARIŞIMI BULMA
Saf Maddeyi Toplam Karışıma Oranlama
Saf madde ve karışım miktarları biliniyorsa yüzde derişim saf madde/karışım*100 ile bulunur. Saf madde miktarı ve yüzde oranı biliniyorsa toplam miktar, saf madde/(oran/100) işlemiyle hesaplanır.
Oranın paydası her zaman karışımın tamamıdır. Örneğin 80 gram tuz ile 320 gram su bir araya gelirse toplam 400 gram olur ve tuz oranı 80/400*100=%20 bulunur. Tuzu yalnızca su miktarına bölmek derişimi vermez.
B) 15
C) 18
D) 20
E) 24
FARKLI ORANLI KARIŞIMLARI BİRLEŞTİRME
Saf Maddeleri ve Toplam Miktarları Ayrı Ayrı Toplama
İki karışım birleştirildiğinde her karışımın saf madde miktarı ayrı hesaplanır. Yeni derişim, toplam saf maddenin toplam karışıma oranıdır:
Yeni oran=(K₁*r₁+K₂*r₂)/(K₁+K₂)
Buradaki oranlar ondalık sayı olarak kullanılabilir. Sonuç, karıştırılan iki oranın arasında olmalıdır. Miktarı daha fazla olan karışım yeni oranı kendi oranına daha fazla yaklaştırır.
B) 24
C) 25
D) 26
E) 28
EŞİT MİKTARLI KARIŞIMLAR VE AĞIRLIKLI ORTALAMA
Miktarlar Eşitse Oranların Aritmetik Ortalamasını Alma
Eşit miktarda iki karışım birleştirilirse yeni oran, iki yüzdenin aritmetik ortalamasıdır. %12 ve %28’lik eşit miktarlı karışımların yeni oranı (12+28)/2=%20 olur. Bu kısa yol yalnızca miktarlar eşitken kullanılır.
Miktarlar eşit değilse basit ortalama yerine ağırlıklı ortalama gerekir. Örneğin ikinci karışım birincinin iki katıysa, ikinci oran hesapta iki kat ağırlık kazanır. Sonucun hangi orana yakın olacağı bu yolla işlem yapmadan da tahmin edilebilir.
B) 21
C) 22
D) 24
E) 25
SAF MADDE EKLEME
Eklenen Maddeyi %100 Derişimli Kabul Etme
Karışıma saf tuz, saf şeker veya saf alkol eklendiğinde hem saf madde miktarı hem toplam miktar eklenen kadar artar. Saf madde, %100 derişimli bir karışım gibi düşünülebilir. Başlangıçta S gram saf madde ve K gram karışım varsa x gram saf madde eklendikten sonraki oran (S+x)/(K+x) olur.
Saf madde eklemek derişimi artırır; fakat sonuç %100’ü geçemez. Denklem kurarken eklenen miktarı yalnızca paya ekleyip paydayı değiştirmemek, toplam miktarı eksik hesaplatır.
B) 60
C) 75
D) 80
E) 100
SAF ÇÖZÜCÜ EKLEME VE SEYRELTME
Saf Maddeyi Sabit Tutup Toplamı Artırma
Karışıma su gibi saf çözücü eklendiğinde saf madde miktarı değişmez, yalnızca toplam miktar artar. Saf çözücü %0 derişimli karışım olarak düşünülebilir. x gram su eklendiğinde yeni oran S/(K+x) olur.
Seyreltmede yararlı bir bağıntı da ilk miktar*ilk oran=son miktar*son oran eşitliğidir. Çünkü işlem boyunca saf madde miktarı korunur. Hedef oran başlangıçtan düşükse su eklemek; yüksekse saf madde eklemek veya çözücü azaltmak gerekir.
B) 200
C) 225
D) 250
E) 300
HOMOJEN KARIŞIMDAN BİR MİKTAR ALMA
Alınan Kısımda da Aynı Oranı Koruma
Karışım homojense her bölümü aynı oranda saf madde içerir. %24’lük bir karışımdan 100 gram alınırsa alınan kısımda 24 gram saf madde, 76 gram çözücü bulunur. Kapta kalan karışımın da oranı %24’tür.
Alınan miktar karışımın k katıysa saf madde ve çözücü de aynı k oranında azalır. Daha sonra kaba su veya başka bir karışım eklenirse yeni oran, kalan miktarlar üzerinden yeniden hesaplanır.
B) 72
C) 80
D) 90
E) 96
BUHARLAŞMA VE ÇÖZÜCÜNÜN AZALMASI
Saf Maddeyi Sabit Tutup Toplamı Azaltma
Buharlaşma sorularında aksi belirtilmedikçe yalnızca suyun, yani çözücünün ayrıldığı kabul edilir. Saf madde miktarı sabit kalırken toplam miktar azaldığı için derişim artar. Bu durum, homojen karışımdan bir miktar almaktan farklıdır.
| İşlem | Saf madde | Toplam miktar | Orana etkisi |
|---|---|---|---|
| Su ekleme | Sabit | Artar | Azalır |
| Suyun buharlaşması | Sabit | Azalır | Artar |
| Homojen karışımdan alma | Orantılı azalır | Azalır | Değişmez |
B) 160
C) 200
D) 240
E) 300
AKTARMA VE YERİNE KOYMA İŞLEMLERİ
Her Aşamada Miktar Tablosunu Yenileme
Bir kaptan diğerine karışım aktarıldığında aktarılan kısım, alındığı kabın o andaki oranını taşır. İlk kaptan çıkan saf madde azaltılır, ikinci kaba aynı miktarda eklenir. İkinci kap karıştırıldıktan sonra geri aktarma yapılacaksa geri dönen karışım artık ikinci kabın yeni oranındadır.
“Bir miktar karışım alınıp yerine aynı miktarda su ekleniyor” sorularında toplam hacim eski değerine döner, fakat saf madde azalır. Her tekrarda kalan saf madde, 1−alınan miktar/toplam miktar çarpanıyla çarpılır.
B) 33,75
C) 35
D) 36
E) 36,25
ALAŞIM YÖNTEMİ VE HEDEF ORAN
Oran Farklarıyla Miktar Oranını Bulma
Hedef oran, biri düşük diğeri yüksek iki karışımın arasındaysa miktar oranı alaşım yöntemiyle bulunabilir. Düşük oran d, yüksek oran y ve hedef h ise:
Düşük oranlı miktar / yüksek oranlı miktar = (y−h)/(h−d)
Bu yöntem, ağırlıklı ortalama denkleminin kısa yazımıdır. Hedef oran hangi uca yakınsa o uçtaki karışımdan daha fazla kullanılır. Tank ve musluk sorularında belirli sürelerde akan miktarlar hesaplanıp aynı saf madde toplamına eklenir.
B) 4/3
C) 1
D) 2/3
E) 1/2
KARIŞIM PROBLEMLERİNDE TEMEL NOKTALAR
Soruyu Dört Adımda Modelleme
- Karışımın tamamını, saf maddeyi ve çözücüyü ayır.
- Her işlemde saf maddenin artıp azaldığını veya sabit kaldığını belirlemek gerekir.
- Yeni toplam miktarı yazdıktan sonra saf madde/toplam oranını kur.
- Bulduğun oranın verilen oranlar arasında ve işlemin yönüyle uyumlu olup olmadığını denetle.
Karışım problemlerinde uzun denklemlerden önce maddenin nasıl hareket ettiğini anlamak gerekir. Saf madde ekleniyorsa pay ve payda, su ekleniyorsa yalnızca payda, homojen karışım almak gerekirıyorsa ikisi aynı oranda değişir. Bu ayrım kurulduğunda sorular yüzde ve oran bilgisinin doğrudan uygulamasına dönüşür.