KPSS üçgende benzerlik sorularında amaç, aynı biçime sahip üçgenlerde eş açıları ve orantılı kenarları doğru eşleştirmektir. Benzerlik yalnız “şekiller birbirine benziyor” gözlemine dayanmaz; açı veya kenar bilgileriyle kanıtlanır. Doğru eşleştirme kurulduğunda bilinmeyen uzunluk, çevre, alan ve ölçek soruları tek bir oran üzerinden çözülebilir.
Önceki Üçgende Açıortay, Kenarortay ve Yardımcı Elemanlar konusunda oluşan eş açılar ve parçalar, benzerlik kurmanın temel araçlarıdır. Sonraki Üçgende Alan konusunda ise benzerlik oranının karesi alan ilişkisine dönüşecektir.
BENZER ÜÇGENLER VE DOĞRU EŞLEŞTİRME
Köşe Sırasını Koruma
Karşılıklı açıları eş, karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenler benzerdir. △ABC∼△DEF yazımı A↔D, B↔E ve C↔F eşleşmesini bildirir. Buna göre AB/DE=BC/EF=AC/DF olur. Benzerlik yazımındaki sıra yanlış okunursa oran doğru sayılarla kurulsa bile sonuç yanlış çıkar.
B) 36
C) 37
D) 38,5
E) 42
AÇI–AÇI BENZERLİĞİ
İki Eş Açının Yeterli Olması
İki üçgenin ikişer açısı eşse üçüncü açıları da 180° toplamından eş olur ve üçgenler Açı–Açı (AA) ile benzerdir. Paralel doğrulardan oluşan yöndeş ve iç ters açılar, ortak açı ve ters açılar AA benzerliğini sıkça üretir. Açıların eş olması üçgenlerin eş olduğu anlamına gelmez; yalnız biçimleri aynıdır.
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
KENAR–AÇI–KENAR BENZERLİĞİ
Orantılı Kenarlar Arasındaki Açıyı Kontrol Etme
Bir üçgenin iki kenarı başka bir üçgenin iki kenarıyla aynı orandaysa ve bu kenarların arasındaki açılar eşitse Kenar–Açı–Kenar (KAK) benzerliği vardır. Eş açı mutlaka oranlanan iki kenarın arasında bulunmalıdır; farklı köşedeki eş açı tek başına KAK kurmaz.
B) 20
C) 21
D) 22
E) 24
KENAR–KENAR–KENAR BENZERLİĞİ
Üç Kenar Oranını Birlikte Sınama
Üç kenar çifti aynı orandaysa üçgenler Kenar–Kenar–Kenar (KKK) ile benzerdir. Kenarlar küçükten büyüğe sıralanarak karşılaştırılırsa yanlış eşleştirme riski azalır. Yalnız iki kenarın orantılı olması, aradaki açı bilinmiyorsa benzerlik için yeterli değildir.
| Benzerlik ölçütü | Yeterli bilgi | Sık görülen kaynak |
|---|---|---|
| AA | İki açı çifti eş | Paralellik, ortak açı, ters açı |
| KAK | İki kenar orantılı, aradaki açı eş | Verilen açı veya ortak köşe |
| KKK | Üç kenar çifti aynı oranda | Kenar uzunlukları |
B) 27
C) 30
D) 32
E) 36
PARALEL DOĞRU VE TEMEL ORANTI TEOREMİ
Küçük ve Büyük Üçgeni Eşleştirme
ABC üçgeninde D, AB üzerinde; E, AC üzerinde ve DE∥BC ise △ADE∼△ABC’dir. Bu nedenle AD/AB=AE/AC=DE/BC yazılır. Aynı paralellik yan kenarları da orantılı böler: AD/DB=AE/EC. İlk oran parça/bütün, ikinci oran parça/parça biçimindedir; iki biçimi aynı denklemde karıştırmamak gerekir.
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
Ardışık Paralellerde Oran Taşıma
Bir açının kollarını birden fazla paralel doğru keserse kollarda oluşan karşılıklı parçalar orantılıdır. Bir kolda 2:3:4 biçiminde bölünme varsa diğer koldaki karşılık gelen parçalar da aynı ortak çarpanla 2:3:4 oranındadır. Bu yaklaşım, her seferinde ayrı üçgen benzerliği yazmayı kısaltır.
B) 20
C) 21
D) 23
E) 24
KESİŞEN DOĞRULARDA BENZERLİK
Ters Açıları Ortak Kanıt Olarak Kullanma
Kum saati veya papyon görünümündeki şekillerde kesişim noktasındaki ters açılar eşittir. Uçlardaki iki doğru da paralelse bir çift iç ters açı daha elde edilir ve AA benzerliği kurulur. Eşleşme, şeklin yönüne değil eş açılara göre yapılmalıdır.
B) 9
C) 10
D) 12
E) 14
BENZERLİK ORANI, ÇEVRE VE ALAN
Doğrusal ve Karesel Değişimi Ayırma
Benzer iki üçgende karşılıklı uzunlukların oranı k ise çevrelerin, yüksekliklerin, kenarortayların, açıortayların, içteğet ve çevrel çember yarıçaplarının oranı da k’dir. Alanların oranı ise k² olur. Tersine alan oranı verildiğinde uzunluk oranı pozitif karekök alınarak bulunur.
| Büyüklük | Benzerlik oranı k iken |
|---|---|
| Kenar, çevre, yükseklik, açıortay, kenarortay, yarıçap | k |
| Alan | k² |
B) 62
C) 64
D) 66
E) 68
ÖLÇEK, GÖLGE VE MODEL UYGULAMALARI
Aynı Açı Koşullarını Gerçek Uzunluğa Dönüştürme
Harita ve maketlerde ölçek, model uzunluğunun gerçek uzunluğa oranıdır. Gölge sorularında aynı anda düşen güneş ışınları paralel kabul edilir; cisimler yere dikse oluşan üçgenler AA ile benzerdir. Birimleri oran kurmadan önce aynı cinse çevirmek gerekir.
B) 72
C) 80
D) 88
E) 96
KARMA BENZERLİK PROBLEMLERİ
Oranı Birden Fazla Sonuca Taşıma
Zor benzerlik soruları çoğunlukla tek bir oranı farklı niceliklere taşır. Önce açı eşitlikleriyle benzer üçgenler belirlenir, sonra karşılıklı kenarlar eşleştirilir; en son uzunluk için k, alan için k² kullanılır. Şekilde verilen her uzunluğu aynı anda denkleme katmak yerine gerekli oranı seçmek işlemi kısaltır.
B) 45
C) 48
D) 50
E) 55