KPSS üçgende alan soruları, yalnız “taban çarpı yükseklik bölü iki” formülünü kullanmaktan ibaret değildir. Aynı tabanı ya da aynı yüksekliği paylaşan üçgenlerde alan oranı, kenar üzerindeki bölmeler, benzerlik, sinüs ve Heron bağıntısı pek çok soruyu uzunluk hesaplamadan çözer.
Önceki Üçgende Benzerlik konusu alan oranının neden benzerlik oranının karesi olduğunu açıklar. Sonraki Çokgenler konusunda üçgen alanı, çokgenleri parçalara ayırmanın temel aracı olacaktır.
TABAN VE YÜKSEKLİKLE ALAN
Seçilen Tabana Ait Dik Uzaklığı Kullanma
Bir üçgende herhangi bir kenar taban seçilebilir. Alan, seçilen taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır: A=a·ha/2. Aynı üçgen için a·ha=b·hb=c·hc olur. Bu nedenle uzun kenara ait yükseklik daha kısadır.
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
GENİŞ AÇILI ÜÇGENDE YÜKSEKLİK
Tabanın Uzantısını Görme
Geniş açılı üçgende bazı yükseklikler üçgenin dışında kalır. Yüksekliğin tabanın kendisine değil uzantısına inmesi alan formülünü değiştirmez; kullanılan büyüklük yine köşenin taban doğrusuna dik uzaklığıdır.
B) 32
C) 34
D) 36
E) 40
AYNI YÜKSEKLİĞİ VE AYNI TABANI PAYLAŞAN ÜÇGENLER
Alan Oranını Tek Bir Uzunluk Oranına İndirme
Tepe noktaları tabana paralel bir doğru üzerindeyse yükseklikler eşittir ve alanların oranı tabanların oranına eşittir. Aynı tabanı kullanan üçgenlerde ise alanların oranı yüksekliklerin oranıdır. Özellikle paralel doğrulu şekillerde alan hesaplamadan oran kurulabilir.
| Ortak bilgi | Alan oranı |
|---|---|
| Yükseklikler eşit | Tabanlar oranı |
| Tabanlar eşit | Yükseklikler oranı |
| Taban ve yükseklik eşit | Alanlar eşit |
B) 75
C) 78
D) 81
E) 90
KENAR ÜZERİNDEKİ BÖLME VE ALAN ORANI
Ortak Yüksekliği Taban Parçalarına Aktarma
D noktası BC üzerinde olduğunda ABD ve ADC üçgenlerinin A’dan BC doğrusuna yükseklikleri aynıdır. Bu nedenle Alan(ABD)/Alan(ADC)=BD/DC olur. Bir kenar hangi oranda bölünüyorsa karşı köşeden çizilen doğru alanı da aynı oranda böler.
B) 20
C) 24
D) 30
E) 36
KENARORTAYLAR VE EŞ ALANLAR
Üçgeni İki veya Altı Eş Alanlı Parçaya Ayırma
Kenarortay karşı kenarı iki eş parçaya böldüğü için üçgeni eş alanlı iki parçaya ayırır. Üç kenarortay birlikte çizildiğinde oluşan altı küçük üçgenin alanları eşittir. Bu sonuç küçük üçgenlerin kenarlarının veya biçimlerinin eş olduğu anlamına gelmez.
B) 110
C) 120
D) 130
E) 140
BENZER ÜÇGENDE ALAN ORANI
Uzunluk Oranının Karesini Kullanma
Benzer üçgenlerde karşılıklı uzunlukların oranı k ise alanların oranı k²’dir. Alan oranından çevre, yükseklik veya kenar oranına geçerken karekök alınır. Örneğin alan oranı 49/121 ise bütün doğrusal büyüklüklerin oranı 7/11’dir.
B) 60
C) 63
D) 66
E) 72
İKİ KENAR VE ARADAKİ AÇIYLA ALAN
Sinüs Bağıntısını Uygulama
İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa alan A=b·c·sin A/2 ile bulunur. Benzer biçimde A=a·c·sin B/2 veya A=a·b·sin C/2 yazılabilir. Kullanılan açı, çarpılan iki kenarın arasında olmalıdır.
B) 40
C) 45
D) 48
E) 54
ÜÇ KENARDAN ALAN: HERON BAĞINTISI
Yarı Çevreyi Doğru Kurma
Kenarlar a, b, c ve yarı çevre s=(a+b+c)/2 ise alan √[s(s−a)(s−b)(s−c)] olur. Heron bağıntısı özellikle yüksekliğin verilmediği 13–14–15 gibi üçgenlerde hızlıdır. Önce üçgen eşitsizliğinin sağlandığı görülmelidir.
B) 78
C) 80
D) 84
E) 90
ÖZEL ÜÇGENLERİN ALANI
Hazır Uzunluk İlişkilerini Alana Taşıma
Dik üçgende dik kenarlar a ve b ise alan a·b/2’dir. Eşkenar üçgende kenar a ise yükseklik a√3/2, alan a²√3/4 olur. Özel bağıntılar ezberlenebilse de taban–yükseklik formülünden kolayca yeniden türetilebilir.
| Üçgen | Alan |
|---|---|
| Dik üçgen | Dik kenarların çarpımı / 2 |
| Eşkenar üçgen | a²√3 / 4 |
B) 30√3
C) 32√3
D) 36√3
E) 48√3
KARMA ALAN BÖLMELERİ
Taban ve Yüksekliği Aşamalı Oranlama
Bir nokta hem kenar üzerinde hem de içteki bir doğru parçası üzerinde bölme yapıyorsa alan oranı iki aşamada kurulabilir. Önce taban bölünmesinin, sonra yükseklik yönündeki bölünmenin etkisi çarpılır. Bu yöntem koordinat veya uzunluk hesaplamadan karma alanları buldurur.
B) 40
C) 45
D) 48
E) 60