ÜÇGENDE ALAN

Yazar

7 Ağustos 2026

125

KPSS üçgende alan konu anlatımı kapsamında taban ve yüksekliğe dayalı alan hesabı, aynı tabanı ya da aynı yüksekliği paylaşan üçgenlerde alan oranları, kenar üzerindeki bölmeler, benzerlik, sinüs bağıntısı ve Heron bağıntısıyla alan hesapları işlenecektir.
KPSS matematik konularının tamamına KPSS konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

TABAN VE YÜKSEKLİKLE ALAN

Seçilen Tabana Ait Dik Uzaklığı Kullanma

Bir üçgende herhangi bir kenar taban seçilebilir. Alan, seçilen taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır: A=a*h_a2. Aynı üçgen için a*h_a=b*h_b=c*h_c olur. Bu nedenle uzun kenara ait yükseklik daha kısadır.

$Üçgende taban ve yüksekliğin alan formülündeki yerini gösteren çizim$

Örnek - 1

Bir üçgenin 18 birimlik kenarına ait yüksekliği 11 birimdir. Aynı üçgende 22 birimlik kenara ait yükseklik kaç birimdir?

$ABC üçgeninde 18 ve 22 kenarları, 11 birimlik yükseklik ve aranan yükseklik.$

A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11

Alan 18*112=99’dur. 22*h2=99 olduğundan h=9 bulunur.

Cevap: C

GENİŞ AÇILI ÜÇGENDE YÜKSEKLİK

Tabanın Uzantısını Görme

Geniş açılı üçgende bazı yükseklikler üçgenin dışında kalır. Yüksekliğin tabanın kendisine değil uzantısına inmesi alan formülünü değiştirmez; kullanılan büyüklük yine köşenin taban doğrusuna dik uzaklığıdır.

$Geniş açılı üçgende yüksekliğin tabanın uzantısına indiğini gösteren çizim$

Örnek - 2

Geniş açılı ABC üçgeninde BC=16 ve A noktasının BC doğrusuna uzaklığı 9’dur. AB kenarının orta noktası D olduğuna göre DBC üçgeninin alanı kaçtır?

$Geniş açılı ABC üçgeninde BC=16, A'dan BC doğrusuna dik uzaklık 9 ve AB'nin orta noktası D.$

A) 30
B) 32
C) 34
D) 36
E) 40

ABC’nin alanı 16*92=72’dir. D, AB’nin orta noktası olduğundan D’nin BC doğrusuna uzaklığı A’nın uzaklığının yarısıdır. DBC alanı 722=36 olur.

Cevap: D

AYNI YÜKSEKLİĞİ VE AYNI TABANI PAYLAŞAN ÜÇGENLER

Alan Oranını Tek Bir Uzunluk Oranına İndirme

Tepe noktaları tabana paralel bir doğru üzerindeyse yükseklikler eşittir ve alanların oranı tabanların oranına eşittir. Aynı tabanı kullanan üçgenlerde ise alanların oranı yüksekliklerin oranıdır. Özellikle paralel doğrulu şekillerde alan hesaplamadan oran kurulabilir.

Ortak bilgi	Alan oranı
Yükseklikler eşit	Tabanlar oranı
Tabanlar eşit	Yükseklikler oranı
Taban ve yükseklik eşit	Alanlar eşit

Örnek - 3

Aynı doğru üzerindeki 12 ve 18 birimlik tabanlara ait iki üçgenin tepe noktaları bu doğruya paralel başka bir doğru üzerindedir. Alanları farkı 27 olduğuna göre büyük üçgenin alanı kaçtır?

$Tabanları 12 ve 18 olan, tepe noktaları paralel doğrular üzerinde iki üçgen; alan farkı 27.$

A) 72
B) 75
C) 78
D) 81
E) 90

Alan oranı 1218=23‘tür. Alanlar 2k ve 3k alınır; fark k=27 olduğundan büyük alan 3*27=81’dir.

Cevap: D

KENAR ÜZERİNDEKİ BÖLME VE ALAN ORANI

Ortak Yüksekliği Taban Parçalarına Aktarma

D noktası BC üzerinde olduğunda ABD ve ADC üçgenlerinin A’dan BC doğrusuna yükseklikleri aynıdır. Bu nedenle Alan(ABD)Alan(ADC)=BDDC olur. Bir kenar hangi oranda bölünüyorsa karşı köşeden çizilen doğru alanı da aynı oranda böler.

$Üçgende bir kenarın bölünme oranı ile oluşan alan oranını gösteren çizim$

Örnek - 4

ABC üçgeninde D, BC üzerinde ve BDDC=35‘tir. ABC üçgeninin alanı 96 olduğuna göre ADC ile ABD üçgenlerinin alanları farkı kaçtır?

$D noktası BC kenarını 3:5 oranında böler ve ABC üçgeninin alanı 96.$

A) 18
B) 20
C) 24
D) 30
E) 36

Alanlar da 3:5 oranındadır. Sekiz pay 96 ise bir pay 12; alanlar 36 ve 60’tır. Fark 24 olur.

Cevap: C

KENARORTAYLAR VE EŞ ALANLAR

Üçgeni İki veya Altı Eş Alanlı Parçaya Ayırma

Kenarortay karşı kenarı iki eş parçaya böldüğü için üçgeni eş alanlı iki parçaya ayırır. Üç kenarortay birlikte çizildiğinde oluşan altı küçük üçgenin alanları eşittir. Bu sonuç küçük üçgenlerin kenarlarının veya biçimlerinin eş olduğu anlamına gelmez.

Örnek - 5

Üç kenarortayın çizildiği bir üçgende altı küçük üçgenden dördünün alanları toplamı 80’dir. Büyük üçgenin alanı kaçtır?

$Üç kenarortayın altı eş alanlı bölgesi; dört bölgenin alanları toplamı 80.$

A) 100
B) 110
C) 120
D) 130
E) 140

Dört eş parça 80 ise bir küçük üçgenin alanı 20’dir. Altı parça toplamı 6*20=120’dir.

Cevap: C

BENZER ÜÇGENDE ALAN ORANI

Uzunluk Oranının Karesini Kullanma

Benzer üçgenlerde karşılıklı uzunlukların oranı k ise alanların oranı k²’dir. Alan oranından çevre, yükseklik veya kenar oranına geçerken karekök alınır. Örneğin alan oranı 49121 ise bütün doğrusal büyüklüklerin oranı 711‘dir.

Örnek - 6

Benzer iki üçgenin alanları 49 ve 121’dir. Küçük üçgenin çevresi 42 olduğuna göre büyük üçgenin çevresi kaçtır?

$Benzer iki üçgenin alanları 49 ve 121; küçük üçgenin çevresi 42, büyük üçgenin çevresi aranıyor.$

A) 56
B) 60
C) 63
D) 66
E) 72

Uzunluk oranı √(12149)=117‘dir. Büyük çevre 42*117=66 olur.

Cevap: D

İKİ KENAR VE ARADAKİ AÇIYLA ALAN

Sinüs Bağıntısını Uygulama

İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa alan A=b*c*sin A2 ile bulunur. Benzer biçimde A=a*c*sin B2 veya A=a*b*sin C2 yazılabilir. Kullanılan açı, çarpılan iki kenarın arasında olmalıdır.

Bir dik üçgende θ açısının sinüsü, bu açının karşısındaki dik kenarın hipotenüse oranıdır: sinθ = karşı dik kenarhipotenüs. ABC üçgeninde A açısının çevresindeki kenarlar b=|AC| ve c=|AB| olsun. A dar açıyken C’den AB tabanına indirilen yükseklik h_c için sinA=h_cb, dolayısıyla h_c=b*sinA olur. Üçgenin alanı taban ile bu yüksekliğin çarpımının yarısıdır: S=c*h_c2=b*c*sinA2. A genişse yükseklik AB’nin uzantısına iner; dik üçgendeki dar yardımcı açı 180°−A olduğundan sinA=sin(180°−A) ve aynı bağıntı geçerlidir.

Örnek 7’de gereken sin30° değeri özel üçgenden elde edilir. Kenarı 2 birim olan eşkenar üçgenin tepe noktasından tabanına yükseklik indirildiğinde tepe açısı 30° ve 30° olarak ikiye ayrılır; taban da 1 ve 1 birimlik parçalara bölünür. Oluşan dik üçgende 30° açısının karşısındaki kenar 1, hipotenüs 2 olduğundan sin30°=12’dir.

Örnek - 7

İki kenarı 12 ve 15 birim olan bir üçgende bu kenarlar arasındaki açı 30°dir. Üçgenin alanı kaçtır?

$12 ve 15 kenarları arasındaki açı 30 derece olan üçgen.$

A) 36
B) 40
C) 45
D) 48
E) 54

Alan=12*15*sin30°2=180*(12)2=45’tir.

Cevap: C

ÜÇ KENARDAN ALAN: HERON BAĞINTISI

Yarı Çevreyi Doğru Kurma

Kenarlar a, b, c ve yarı çevre s=a+b+c2 ise alan √[s(s−a)(s−b)(s−c)] olur. Heron bağıntısı özellikle yüksekliğin verilmediği 13–14–15 gibi üçgenlerde hızlıdır. Önce üçgen eşitsizliğinin sağlandığı görülmelidir.

$Üçgende Heron bağıntısını ve iki kenar aradaki açıyla alan formülünü gösteren çizim$

Örnek - 8

Kenarları 13, 14 ve 15 birim olan üçgenin alanı kaçtır?

$Kenarları 13, 14 ve 15 olan üçgen.$

A) 72
B) 78
C) 80
D) 84
E) 90

s=13+14+152=21’dir. Alan=√(21*8*7*6)=√7056=84 olur.

Cevap: D

ÖZEL ÜÇGENLERİN ALANI

Hazır Uzunluk İlişkilerini Alana Taşıma

Dik üçgende dik kenarlar a ve b ise alan a*b2‘dir. Eşkenar üçgende kenar a ise yükseklik a√32, alan a²√34 olur. Özel bağıntılar ezberlenebilse de taban–yükseklik formülünden kolayca yeniden türetilebilir.

Üçgen	Alan
Dik üçgen	Dik kenarların çarpımı2
Eşkenar üçgen	a²√34

Örnek - 9

Yüksekliği 6√3 birim olan eşkenar üçgenin alanı kaçtır?

$Eşkenar üçgende 6 kök 3 birimlik yükseklik.$

A) 24√3
B) 30√3
C) 32√3
D) 36√3
E) 48√3

a√32=6√3 olduğundan a=12’dir. Alan=12²√34=36√3 olur.

Cevap: D

Dikkat

Şekilde bir doğru parçasının “kenarortay” olduğu verilmedikçe karşı kenarı iki eş parçaya ayırdığı varsayılamaz. Alan eşitliği de tek başına bütün kenarların eşit olduğunu göstermez.

KARMA ALAN BÖLMELERİ

Taban ve Yüksekliği Aşamalı Oranlama

Bir nokta hem kenar üzerinde hem de içteki bir doğru parçası üzerinde bölme yapıyorsa alan oranı iki aşamada kurulabilir. Önce taban bölünmesinin, sonra yükseklik yönündeki bölünmenin etkisi çarpılır. Bu yöntem koordinat veya uzunluk hesaplamadan karma alanları buldurur.

Örnek - 10

ABC üçgeninde D, BC üzerinde ve BDDC=23‘tür. E, AD üzerinde ve AEED=12‘dir. ABC üçgeninin alanı 180 olduğuna göre BDE üçgeninin alanı kaçtır?

$ABC üçgeninde BD:DC=2:3 ve AE:ED=1:2. A, E ve D aynı düz AD doğrusu üzerindedir; BDE bölgesi vurgulanıyor.$

A) 36
B) 40
C) 45
D) 48
E) 60

BDBC=25‘tir. AEAD=13 olduğundan E’nin BC’ye yüksekliği A’nın yüksekliğinin 23‘üdür. Alan(BDE)Alan(ABC)=(25)*(23)=415; alan 180*415=48’dir.

Cevap: D

Önceki konu: Üçgende Benzerlik
Sonraki konu: Çokgenler

TABAN VE YÜKSEKLİKLE ALAN

Seçilen Tabana Ait Dik Uzaklığı Kullanma

GENİŞ AÇILI ÜÇGENDE YÜKSEKLİK

Tabanın Uzantısını Görme

AYNI YÜKSEKLİĞİ VE AYNI TABANI PAYLAŞAN ÜÇGENLER

Alan Oranını Tek Bir Uzunluk Oranına İndirme

KENAR ÜZERİNDEKİ BÖLME VE ALAN ORANI

Ortak Yüksekliği Taban Parçalarına Aktarma

KENARORTAYLAR VE EŞ ALANLAR

Üçgeni İki veya Altı Eş Alanlı Parçaya Ayırma

BENZER ÜÇGENDE ALAN ORANI

Uzunluk Oranının Karesini Kullanma

İKİ KENAR VE ARADAKİ AÇIYLA ALAN

Sinüs Bağıntısını Uygulama

ÜÇ KENARDAN ALAN: HERON BAĞINTISI

Yarı Çevreyi Doğru Kurma

ÖZEL ÜÇGENLERİN ALANI

Hazır Uzunluk İlişkilerini Alana Taşıma

KARMA ALAN BÖLMELERİ

Taban ve Yüksekliği Aşamalı Oranlama

CEVAP VER İptal