ÇOKGENLER

KPSS çokgenler konu anlatımı kapsamında çokgenin temel unsurları, dışbükey ve içbükey çokgenler, iç ve dış açı toplamları, dörtgenlerde açı dağılımı, köşegen bağıntıları, düzgün çokgenlerde merkez açı ve alan ile iç açı–dış açı oranı işlenecektir.
KPSS matematik konularının tamamına KPSS konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

ÇOKGENİN TEMEL UNSURLARI

Kenar, Köşe, İç Bölge ve Köşegeni Ayırma

Çokgen, en az üç doğru parçasının uç uca birleşerek oluşturduğu kapalı düzlemsel şekildir. Bu yazıda basit çokgenler ele alınır: ardışık kenarlar doğrudaş değildir, ardışık olmayan kenarlar kesişmez ve ardışık kenarlar yalnız ortak uç noktasında birleşir. Ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir. Kenar sayısı, köşe sayısı ve iç açı sayısı n’dir.

DIŞBÜKEY VE İÇBÜKEY ÇOKGENLER

İç Açının 180 Dereceyi Aşıp Aşmadığını İzleme

Dışbükey çokgende bütün iç açılar 180°den küçüktür ve iki iç nokta arasındaki doğru parçası şeklin içinde kalır. İçbükey çokgende en az bir iç açı 180°den büyüktür; bazı köşegenler şeklin dışına çıkar.

İÇ AÇILAR TOPLAMI

n−2 Üçgen Üzerinden Bağıntıyı Kurma

n kenarlı dışbükey çokgen bir köşeden çizilen köşegenlerle n−2 üçgene ayrılır. Bu yüzden iç açılar toplamı (n−2)*180° olur. Bağıntı düzgün olma koşulu aramaz; dışbükey bütün n-genlerde geçerlidir.

DÖRTGENDE AÇI DAĞILIMI

Toplam 360 Dereceyi Oranlara Paylaştırma

Dörtgenin iç açıları toplamı 360°dir. Açıların x, 2x gibi ifadelerle verildiği sorularda bütün ifadeler toplanıp 360°ye eşitlenir. İçbükey dörtgende de yönlü iç açıların toplamı değişmez.

DIŞ AÇILAR TOPLAMI

Tam Dönüşü Kullanma

Düzgün çokgen, bütün kenar uzunluklarının ve bütün iç açılarının eşit olduğu çokgendir. Yalnızca kenar uzunluklarının eşit olması düzgünlük için yeterli değildir. Kare olmayan bir eşkenar dörtgende bütün kenar uzunlukları eşit olduğu hâlde dar ve geniş iç açıların ölçüleri farklıdır; bu nedenle bu şekil düzgün çokgen değildir. Dışbükey çokgende, her köşede seçilen pozitif dış açı ile iç açının toplamı 180°dir. Tüm köşelerden aynı yönde seçilen bu dış açıların toplamı 360°dir. Dışbükey düzgün n-genin her dış açısı 360°n, her iç açısı 180°−360°n olur.

KÖŞEGEN SAYISI

Çift Saymayı İkiye Bölme

Bir köşeden n−3 köşegen çizilir. Bütün köşelerden sayıldığında her köşegen iki kez sayılacağı için toplam köşegen sayısı n(n−3)2 olur.

KÖŞE SAYISI DEĞİŞTİĞİNDE KÖŞEGENLER

Ardışık İki Çokgeni Karşılaştırma

n kenarlı çokgene bir köşe eklendiğinde toplam köşegen sayısı n−1 artar. Çünkü yeni köşe eski n köşenin ikisine komşu olur; kalan n−2 köşeye yeni köşegen çizer ve eski komşu kenar da köşegene dönüşür.

DÜZGÜN ÇOKGENDE MERKEZ AÇI

Tam Açıyı Eş Parçalara Bölme

Merkezden köşelere çizilen yarıçaplar düzgün çokgeni n eş ikizkenar üçgene ayırır. Her üçgende merkez açısı 360°n’dir ve taban açıları birbirine eşittir. Merkezden bir köşeye uzanan yarıçap, düzgün çokgenin o köşedeki iç açısını iki eş taban açısına böler. Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan, bir iç açı ile merkez açının toplamı 180° olur. Bu nedenle bir iç açı 180°−360°n’dir.

İÇ AÇI–DIŞ AÇI ORANI

Bütünler Açılardan Kenar Sayısına Ulaşma

Dışbükey düzgün n-genin bir iç açısı i ile komşu pozitif dış açısı d bütünlerdir: i+d=180°. Her dış açı d=360°n olduğundan bir iç açı i=180°−360°n olur. Oran verildiğinde önce 180° oran paylarına bölünür, sonra dış açıdan n bulunur.

DÜZGÜN ÇOKGENİN ALANI

Çevre ve Apotemi Birleştirme

Düzgün çokgende merkezden köşelere çizilen yarıçaplar, çokgeni n eş ikizkenar üçgene ayırır. Merkezden her kenara indirilen dikme olan apotem, ilgili üçgenin yüksekliğidir. Kenar uzunlukları toplamı çevreyi verdiği için apotem r ve çevre Ç ise alan Ç·r2 olur. Apotem, merkezden kenara olan dik uzaklıktır; çevrel çember yarıçapıyla karıştırılmamalıdır.