ÜÇGENDE AÇIORTAY, KENARORTAY VE YARDIMCI ELEMANLAR

KPSS Üçgende Açıortay, Kenarortay ve Yardımcı Elemanlar konu anlatımı kapsamında iç ve dış açıortayların, kenarortayların, yüksekliklerin ve orta dikmelerin temel özellikleri ile bu doğruların kesişmesiyle belirlenen üçgen merkezleri ve bunlara ilişkin temel uzunluk ve oran bağıntıları işlenecektir.
KPSS Matematik konularının tamamına KPSS konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

İÇ AÇIORTAY VE AÇIORTAY TEOREMİ

Karşı Kenarı Komşu Kenarlar Oranında Bölme

A köşesinin iç açıortayı BC’yi D’de kesiyorsa BDDC=ABAC olur. Oran, açıortayın çıktığı köşeye komşu kenarlardaki karşı kenarda oluşan parçalara aktarılır. BD parçası, B köşesine komşu olan AB kenarıyla; DC parçası da C köşesine komşu olan AC kenarıyla eşleşir.

Örnek - 1

ABC üçgeninde AD iç açıortay, AB=12, AC=18 ve BC=20’dir. |BD−DC| kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Cevabı Göster

BDDC=1218=23‘tür. Toplam 20 olduğundan parçalar 8 ve 12 olur; fark 4’tür.

Cevap: C

AÇIORTAY UZUNLUĞU

Kenarlar ve Bölünen Parçalarla Uzunluk Bulma

AD açıortayında AB=c, AC=b, BD=m ve DC=n ise AD²=b*c−m*n bağıntısı kullanılabilir. Açıortay teoremi, BD ve DC parçalarının AB ve AC kenarlarına göre oran ilişkisini belirler; AD² bağıntısı ise bu kenar ve parça ölçüleriyle açıortay uzunluğunu ilişkilendirir.

Örnek - 2

AB=14, AC=10 ve BC=12 olan ABC üçgeninde A açıortayının uzunluğu kaçtır?

A) √95
B) √105
C) √115
D) 5√5
E) 6√3

Cevabı Göster

BDDC=1410=75 ve BC=12 olduğundan BD=7, DC=5’tir. AD²=14*10−7*5=105; AD=√105 olur.

Cevap: B

DIŞ AÇIORTAY

Karşı Kenarın Uzantısında Dıştan Bölme

ABC üçgeninde A köşesinin dış açıortay doğrusu, AB≠AC olduğunda BC kenarının uzantısını E noktasında keser ve dış açıortay teoremi BECE=ABAC eşitliğini verir. AB=AC ise A köşesinin dış açıortayı BC’ye paraleldir; bu doğrular sonlu bir E noktasında kesişmediğinden dıştan bölme oranı kurulamaz. İç ve dış açıortaylar aynı köşede birbirine diktir.

Örnek - 3

AB=10, AC=6 ve BC=8 olan ABC üçgeninde A dış açıortayı BC’nin C yönündeki uzantısını E’de kesiyor. CE kaçtır?

A) 8
B) 10
C) 12
D) 15
E) 20

Cevabı Göster

BECE=106=53‘tür. BE=5k, CE=3k ve BE−CE=BC=8 olduğundan 2k=8, k=4; CE=12’dir.

Cevap: C

KENARORTAY VE AĞIRLIK MERKEZİ

Köşeyi Karşı Kenarın Orta Noktasına Bağlama

Kenarortay, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlar. Üç kenarortay G ağırlık merkezinde kesişir. G, her kenarortayı köşeden başlayarak 2:1 oranında böler; AG=2*GD ve AG=2AD3‘tür.

Örnek - 4

ABC üçgeninde AD kenarortay ve G ağırlık merkezidir. AG=10 olduğuna göre AD kaçtır?

A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18

Cevabı Göster

AG, AD’nin 23‘üdür. 10=2AD3 olduğundan AD=15’tir.

Cevap: C

KENARORTAYLARIN ALAN ÖZELLİĞİ

Üçgeni Altı Eş Alanlı Parçaya Ayırma

Bir kenarortay üçgeni eş alanlı iki parçaya böler; çünkü tabanlar eşit, yükseklik ortaktır. Üç kenarortay birlikte çizildiğinde üçgen altı eş alanlı küçük üçgene ayrılır. Bu sonuç uzunlukların eşit olduğu anlamına gelmez.

Örnek - 5

Üç kenarortayla altı küçük üçgene ayrılan bir üçgende küçük üçgenlerden birinin alanı 7 birimkaredir. Büyük üçgenin alanı kaçtır?

A) 35
B) 42
C) 49
D) 56
E) 63

Cevabı Göster

Altı küçük üçgen eş alanlıdır. Toplam alan 6*7=42 birimkaredir.

Cevap: B

KENARORTAY UZUNLUĞU VE APOLLONİUS

Üç Kenardan Kenarortayı Hesaplama

a kenarına ait kenarortay v_a için Apollonius bağıntısı v_a²=(2b²+2c²−a²)4’tür. Türetimi göstermek için BC=a, AC=b, AB=c olsun; M, BC’nin orta noktası, H de A’dan BC doğrusuna indirilen dikmenin ayağı olsun. M’den C yönüne doğru BC üzerinde koordinat ekseni seçilirse B’nin koordinatı −a/2, C’nin koordinatı a/2, H’nin koordinatı x olur; AH uzunluğu h’dir. Pisagor’dan ABH ve ACH dik üçgenlerinde c²=h²+(x+a/2)² ve b²=h²+(x−a/2)² elde edilir. AM=v_a olduğundan AMH dik üçgeninde v_a²=h²+x²’dir. İlk iki eşitlik toplanınca b²+c²=2h²+(x+a/2)²+(x−a/2)²=2h²+2x²+a²/2=2v_a²+a²/2 bulunur. Buradan v_a²=(2b²+2c²−a²)/4 sonucuna ulaşılır.

Örnek - 6

Kenarları 13, 14 ve 15 olan üçgende 14 birimlik kenara ait kenarortayın uzunluğu kaçtır?

A) √37
B) 2√37
C) 3√13
D) 4√10
E) 5√6

Cevabı Göster

v²=[2*13²+2*15²−14²]4=(338+450−196)4=148. Bu nedenle v=2√37’dir.

Cevap: B

DİK ÜÇGENDE HİPOTENÜSE KENARORTAY

Hipotenüsün Yarısı Kuralını Tanıma

Dik üçgende dik köşeden hipotenüsün orta noktasına çizilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. Orta nokta üç köşeye eşit uzaklıkta olduğundan aynı zamanda çevrel çemberin merkezidir.

Örnek - 7

Hipotenüse ait kenarortayı 10 birim, bir dik kenarı 12 birim olan dik üçgenin çevresi kaçtır?

A) 42
B) 44
C) 46
D) 48
E) 50

Cevabı Göster

Hipotenüs 20’dir. Diğer dik kenar √(20²−12²)=16 olur. Çevre 12+16+20=48’dir.

Cevap: D

YÜKSEKLİK VE DİKLİK MERKEZİ

Köşeden Karşı Kenara Dik Uzaklık

Yükseklik, köşeden karşı kenara veya uzantısına indirilen dik doğru parçasıdır. Üç yükseklik H diklik merkezinde kesişir. H dar açılı üçgende içeride, dik üçgende dik köşede, geniş açılı üçgende dışarıdadır.

Örnek - 8

ABC üçgeninde ∠A=40° ve ∠B=65° olup H üçgenin diklik merkezidir. ∠BHC kaç derecedir?

A) 120
B) 130
C) 140
D) 150
E) 160

Cevabı Göster

∠C=180°−40°−65°=75° olur. HB, AC’ye dik olduğundan ∠HBC=90°−75°=15°; HC, AB’ye dik olduğundan ∠HCB=90°−65°=25° olur. BHC üçgeninin iç açıları toplamından ∠BHC=180°−15°−25°=140° bulunur.

Cevap: C

ORTA DİKMELER VE ÇEVREL MERKEZ

Köşelere Eşit Uzaklıktaki Noktayı Bulma

Bir kenarın orta dikmesi, o kenarın uçlarına eşit uzaklıktaki noktaların yeridir. Üç kenarın orta dikmeleri O çevrel merkezde kesişir ve OA=OB=OC olur. Dik üçgende O hipotenüsün orta noktasıdır; çevrel yarıçap hipotenüsün yarısıdır.

Örnek - 9

Kenarları 6, 8 ve 10 olan üçgenin çevrel çember yarıçapı kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8

Cevabı Göster

6²+8²=10² olduğundan üçgen diktir. Çevrel yarıçap hipotenüsün yarısı, yani 5’tir.

Cevap: C

İÇ MERKEZ VE ÜÇGEN MERKEZLERİNİ AYIRMA

Hangi Doğruların Kesiştiğini İzleme

İç açıortaylar I iç merkezde kesişir; I’nın üç kenara dik uzaklıkları eşit ve içteğet çember yarıçapıdır. B ve C açıortayları arasındaki geniş açı için ∠BIC=90°+A2 bağıntısı kullanılır.

Örnek - 10

ABC üçgeninin iç merkezi I ve ∠BIC=128° olduğuna göre A açısı kaç derecedir?

A) 66
B) 72
C) 76
D) 80
E) 84

Cevabı Göster

128=90+A2 olduğundan A2=38 ve A=76°dir.

Cevap: C