DİK ÜÇGEN VE ÖZEL ÜÇGENLER

KPSS dik üçgen ve özel üçgenler konu anlatımı kapsamında dik üçgenin temel yapısı, Pisagor bağıntısı ve üçlüleri, hipotenüse indirilen yükseklikten doğan Öklid bağıntıları, dik üçgenin alanı ve yüksekliği, 30°–60°–90°, 45°–45°–90° ve 15°–75°–90° üçgenlerinin kenar oranları, ikizkenar üçgende yükseklik ile eşkenar üçgenin yüksekliği ve alanı işlenecektir.
KPSS matematik konularının tamamına KPSS matematik konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

DİK ÜÇGENİN TEMEL YAPISI

Dik Kenarları ve Hipotenüsü Doğru Belirleme

Bir açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik açıyı oluşturan iki kenar dik kenar, 90°nin karşısındaki kenar ise hipotenüs adını alır. Hipotenüs daima üçgenin en uzun kenarıdır. Şekil hangi yönde çizilirse çizilsin, hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır.

Dik üçgenin dar açıları tümlerdir: biri α ise diğeri 90°−α olur. Alan, dik kenarların çarpımının yarısıdır: Alan = a·b2. Bu ifade aynı alanı hipotenüs ve hipotenüse ait yükseklikle yazarken kurulacak bağıntının da başlangıcıdır.

Örnek - 1

Dikdörtgen biçimindeki bir alanın uzun kenarı kısa kenarından 5 metre fazladır. Köşegen uzunluğu 25 metre olduğuna göre alanın çevresi kaç metredir?

A) 60
B) 65
C) 70
D) 75
E) 80

Cevabı Göster

Kısa kenar x, uzun kenar x+5 olsun. Köşegen dik üçgenin hipotenüsüdür: x²+(x+5)²=25². Düzenlenirse x²+5x−300=0 ve (x−15)(x+20)=0 elde edilir. Pozitif kök x=15’tir; kenarlar 15 ve 20 olduğundan çevre 2(15+20)=70 metredir.

Cevap: C

PİSAGOR BAĞINTISI

İki Dik Kenardan Hipotenüsü, Hipotenüsten Eksik Kenarı Bulma

Dik kenarlar a ve b, hipotenüs c ise a²+b²=c² olur. Bu gösterimde dik kenarlardan biri a, hipotenüs c olduğunda diğer dik kenar b için b²=c²−a² bağıntısı geçerlidir. Örneğin dik kenarları 9 ve 12 olan üçgende c²=81+144=225, c=15’tir.

Bağıntının tersi de önemlidir. En uzun kenarı c olan bir üçgende c²=a²+b² sağlanıyorsa üçgen diktir; c²<a²+b² ise dar açılı, c²>a²+b² ise geniş açılıdır. Böylece yalnız kenar uzunluklarından açı türü belirlenebilir.

Örnek - 2

Kenar uzunlukları x, x+7 ve x+8 birim olan bir üçgen dik üçgendir. En uzun kenar x+8 olduğuna göre üçgenin çevresi kaç birimdir?

A) 24
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32

Cevabı Göster

Pisagor’un tersinden x²+(x+7)²=(x+8)² yazılır. Denklem x²−2x−15=0, yani (x−5)(x+3)=0 olur. Uzunluk pozitif olduğundan x=5; kenarlar 5, 12 ve 13’tür. Çevre 30 birimdir.

Cevap: D

PİSAGOR ÜÇLÜLERİ

Sık Karşılaşılan Tam Sayılı Üçgenleri Hızlı Tanıma

3–4–5, 5–12–13, 7–24–25, 8–15–17 ve bunların aynı sayıyla katları Pisagor üçlüleridir. Örneğin 9–12–15 üçgeni, 3–4–5 üçgeninin üç katıdır. Bu üçlülerin katlarında üç kenar aynı katsayıyla çarpılır; belirtilen oranlardan biri farklıysa kenarlar aynı Pisagor üçlüsünün katını oluşturmaz.

Örnek - 3

Dik kenarları tam sayı olan bir dik üçgenin hipotenüsü 17 birim, alanı 60 birimkaredir. Dik kenarların toplamı kaç birimdir?

A) 19
B) 21
C) 23
D) 25
E) 27

Cevabı Göster

Dik kenarlar a ve b ise ab2=60, dolayısıyla ab=120’dir. Ayrıca a²+b²=289. (a+b)²=a²+b²+2ab=289+240=529 olduğundan a+b=23 bulunur. Bu değer 8–15–17 üçlüsüyle de uyumludur.

Cevap: C

HİPOTENÜSE AİT YÜKSEKLİK VE ÖKLİD BAĞINTILARI

Benzer Üçgenlerden Doğan Geometrik Ortalamaları Kullanma

Dik köşeden hipotenüse indirilen yükseklik, büyük üçgeni birbirine ve büyük üçgene benzer iki küçük dik üçgene ayırır. Hipotenüs üzerindeki parçalar p ve q, bu hipotenüse indirilen yükseklik h ile gösterilir; hipotenüsün uzunluğu c olduğunda c=p+q olur. Benzerlikten üç temel bağıntı elde edilir:

Örnek - 4

Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik 12 birimdir. Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların oranı 4:9 olduğuna göre dik kenarların kareleri farkının mutlak değeri kaçtır?

A) 208
B) 234
C) 260
D) 286
E) 312

Cevabı Göster

Parçalar 4k ve 9k olsun. h²=pq olduğundan 144=36k² ve k=2; parçalar 8 ile 18, hipotenüs 26’dır. Dik kenar kareleri 26*8 ve 26*18 olduğundan fark 26(18−8)=260’tır.

Cevap: C

DİK ÜÇGENDE ALAN VE YÜKSEKLİK

Alanı İki Farklı Tabanla Yazma

Dik kenarlar a ve b, hipotenüs c ve hipotenüse ait yükseklik h ise aynı alan hem ab2 hem ch2 biçiminde yazılır. Buradan h=abc elde edilir. Bu bağıntı, hipotenüs parçaları verilmediğinde yüksekliği hızlı buldurur.

Ayrıca p+q=c ve pq=h² olduğundan parçalar, toplamı ve çarpımı bilinen iki sayı olarak da bulunabilir. Bu yaklaşım özellikle yükseklik ile hipotenüs verilip p−q farkı sorulduğunda etkilidir.

Örnek - 5

Dik kenarları 15 ve 20 birim olan bir üçgende hipotenüse indirilen yükseklik hipotenüsü p ve q parçalarına ayırıyor. |p−q| kaç birimdir?

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9

Cevabı Göster

Hipotenüs 25’tir. Alan eşitliğinden h=15·2025=12 bulunur. p+q=25 ve pq=h²=144’tür. (p−q)²=(p+q)²−4pq=625−576=49 olduğundan |p−q|=7’dir.

Cevap: C

30°–60°–90° ÜÇGENİ

30°nin Karşısından Başlayarak k–k√3–2k Oranını Kurma

30°–60°–90° üçgeninde 30°nin karşısındaki kısa dik kenar k ise 60°nin karşısındaki uzun dik kenar k√3, hipotenüs 2k’dır. Oran açıların yanına değil, karşılarındaki kenarlara yazılmalıdır. Bu üçgen eşkenar üçgenin bir yüksekliğiyle ikiye ayrılmasından elde edilir.

Örnek - 6

30°–60°–90° üçgeninde uzun dik kenar ile kısa dik kenarın farkı 6(√3−1) birimdir. Üçgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 12√3
B) 15√3
C) 18√3
D) 24√3
E) 36√3

Cevabı Göster

Kısa dik kenar k, uzun dik kenar k√3’tür. Fark k(√3−1)=6(√3−1) olduğundan k=6. Alan 6·6√32=18√3 birimkaredir.

Cevap: C

45°–45°–90° ÜÇGENİ

İkizkenar Dik Üçgende k–k–k√2 Oranını Kullanma

Dar açıların ikisi de 45° olduğundan karşılarındaki dik kenarlar eşittir. Her dik kenar k ise Pisagor’dan hipotenüs k√2 olur. Karenin köşegeni de bu nedenle kenarın √2 katıdır. Tersine hipotenüs c verilmişse her dik kenar c√22 olarak bulunur.

Örnek - 7

Bir ikizkenar dik üçgenin çevresi 14+7√2 birimdir. Üçgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 21
B) 24
C) 492
D) 28
E) 49

Cevabı Göster

Dik kenarlar k, hipotenüs k√2 olduğundan çevre k(2+√2)’dir. Verilen ifade 7(2+√2) olduğuna göre k=7. Alan k²2=492 birimkaredir.

Cevap: C

15°–75°–90° ÜÇGENİ

Yükseklikle Özel Üçgenlere Ayırma

15°–75°–90° üçgeninde dik köşeden hipotenüse indirilen yükseklik, hipotenüsün dörtte birine eşittir. Bu eşitlik sin15°·cos15°=14 bağıntısıyla ifade edilir; sonuç 30°–60°–90° ve 45°–45°–90° üçgenlerinin özelliklerinden de elde edilir.

Örnek - 8

Hipotenüsü 20 birim olan 15°–75°–90° üçgeninde dik köşeden hipotenüse indirilen yükseklik, hipotenüsü p ve q parçalarına ayırıyor. |p−q| kaç birimdir?

A) 5√3
B) 8√3
C) 10√3
D) 12√3
E) 15√3

Cevabı Göster

Bu bölümde türetilen h=c/4 bağıntısından h=20/4=5 bulunur. p+q=20 ve pq=h²=25 olur. (p−q)²=(p+q)²−4pq=20²−4*25=300 olduğundan |p−q|=10√3 bulunur.

Cevap: C

İKİZKENAR ÜÇGENDE YÜKSEKLİK

Tabanı İkiye Bölerek Dik Üçgen Kurma

İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır. Tabanı iki eşit parçaya ayırır ve eş iki dik üçgen oluşturur. Eş kenarlar a, taban b ise yükseklik h=√(a²−b²4) biçiminde bulunur.

Örnek - 9

Eş kenarları 17 birim ve tabanı eş kenarlarından kısa olan bir ikizkenar üçgenin alanı 120 birimkaredir. Taban uzunluğu kaç birimdir?

A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20

Cevabı Göster

Taban b, yükseklik h olsun. Alan eşitliğinden bh2=120 ve bh=240 olduğundan h=240b olarak bulunur. Tepe yüksekliği tabanı ikiye böler; bu nedenle h²+(b2)²=17² olur. Yerine koyup düzenlenirse (b²−256)(b²−900)=0 elde edilir. Pozitif taban uzunlukları 16 ve 30 olarak bulunur. Soruda tabanın eş kenardan kısa olduğu belirtildiğinden b<17 ve yalnız b=16 kalır. Bu durumda h=15, 15²+8²=17² ve 16·152=120 sağlanır.

Cevap: C

EŞKENAR ÜÇGENİN YÜKSEKLİĞİ VE ALANI

30°–60°–90° Oranından Temel Formülleri Türetme

Kenar uzunluğu a olan eşkenar üçgende yükseklik tabanı a2 ve a2 olarak böler. Oluşan 30°–60°–90° üçgeninden yükseklik h=a√32, alan a²√34 bulunur.

Bir üçgende kenarortuların kesiştiği nokta ağırlık merkezidir; bu nokta kenarortuyu köşeden başlayarak 2:1 oranında böler. Çevrel çember, üç köşeden geçen çemberdir; merkezi bu köşelere eşit uzaklıktadır. İçteğet çember, üç kenara teğet olan çemberdir; merkezi her kenara eşit dik uzaklıktadır.

Eşkenar üçgende her kenarortusu aynı zamanda yükseklik, açıortay ve karşı kenarın orta dikmesidir. Bu nedenle ağırlık merkezi G, çevrel çember merkezi O ve içteğet çember merkezi I aynı noktadır (G=O=I). Tepe noktası A ile taban ortası M arasındaki yükseklikte AO=R=2h3, OM=r=h3 ve AM=h olur. Bu değerlerle çevrel yarıçap R=a√33, içteğet yarıçapı r=a√36 olarak bulunur.

Örnek - 10

Alanı 36√3 birimkare olan eşkenar üçgenin içteğet ve çevrel çember yarıçapları toplamı kaç birimdir?

A) 4√3
B) 5√3
C) 6√3
D) 7√3
E) 8√3

Cevabı Göster

a²√34=36√3 olduğundan a²=144 ve a=12 olur. Yükseklik h=a√32=6√3 olur. Çevrel yarıçap R=2h3=4√3, içteğet yarıçapı r=h3=2√3 olur. Toplam R+r=6√3 olduğundan cevap C olur.

Cevap: C