TYT yamuk konu anlatımı; paralel tabanların oluşturduğu açı ilişkilerini, orta tabanı, köşegenlerin kesişimini, alan bağıntılarını, ikizkenar yamuğu ve dik yamuğu birlikte ele alır. Yamuk, en az bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgendir. Bu yazıda ABCD yamuğu için AB ∥ DC, |AB|=a ve |DC|=b gösterimi kullanılacaktır.
YAMUĞUN TEMEL YAPISI
Tabanlar, Yan Kenarlar ve Açılar
Yamuğun paralel olan AB ve DC kenarlarına taban, paralel olmayan AD ve BC kenarlarına yan kenar denir. AB ile DC paralel olduğundan aynı yan kenar üzerindeki ardışık iç açılar bütünlerdir:
m(A)+m(D)=180° ve m(B)+m(C)=180°
Bu iki bağıntı, bir paralelin aynı tarafındaki iç açılar kuralının doğrudan sonucudur. Özel bir yamuk türü belirtilmedikçe yan kenarlar veya köşegenler eşit kabul edilmez.
Yükseklik ve Orta Taban
Paralel tabanlar arasındaki dik uzaklık yamuğun yüksekliğidir. Yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir. E ve F sırasıyla AD ile BC’nin orta noktalarıysa EF iki tabana paraleldir ve uzunluğu taban uzunluklarının aritmetik ortalamasıdır:
EF=(a+b)/2
Üç Paralel Arasındaki Doğrusal Değişim
Tabanlara paralel bir kesit, bir yan kenarı üstten alta doğru t oranında bölüyorsa uzunluğu b+t(a−b) olur. Orta taban için t=1/2 seçildiğinde bu ifade (a+b)/2’ye dönüşür. Paraleller eşit aralıklarla yerleştirilmişse kesit uzunlukları aritmetik dizi oluşturur.
Köşegenlerin orta noktalarını birleştiren parça da tabanlara paraleldir; ancak orta tabandan farklı olarak uzunluğu tabanların farkının yarısıdır. Köşegenlerin kesişim noktasından tabanlara paralel çizilen ve iki yan kenar arasında kalan parçanın uzunluğu ise tabanların harmonik ortalamasıdır.
| Paralel parça | Uzunluk |
|---|---|
| Yan kenarların orta noktalarını birleştiren orta taban | (a+b)/2 |
| Köşegenlerin orta noktalarını birleştiren parça | |a−b|/2 |
| Köşegenlerin kesişim noktasından geçen paralel parça | 2ab/(a+b) |
KÖŞEGEN VE ALAN BAĞINTILARI
Yamukta Alan
Yamuğun alanı, taban uzunlukları toplamının yarısıyla yüksekliğin çarpımına eşittir. Orta taban m=(a+b)/2 olduğundan aynı bağıntı m·h biçiminde de kullanılabilir:
Alan=[(a+b)·h]/2=m·h
Köşegenlerin Kesişim Oranı
Köşegenler O noktasında kesiştiğinde üst ve alt tabanların paralelliği iki benzer üçgen oluşturur. Buna göre köşegenler kesişim noktasında taban uzunlukları oranında bölünür:
AO/OC=BO/OD=AB/DC=a/b
Köşegenlerin Oluşturduğu Alanlar
Aynı tabana ve aynı paraleller arasındaki yüksekliğe sahip üçgenlerin alanları eşittir. Bu nedenle Alan(ABD)=Alan(ABC) ve Alan(ACD)=Alan(BCD) olur. Köşegenlerin oluşturduğu dört küçük üçgende karşılıklı alanların çarpımları da eşittir:
Alan(AOD)·Alan(BOC)=Alan(AOB)·Alan(COD)
Yamukta Açıortay
Bir köşedeki açıortay karşı tabanı kestiğinde paralellik, Z açıları aracılığıyla ikizkenar üçgen oluşturur. Örneğin A köşesinin iç açıortayı DC tabanını E noktasında kesiyorsa m(DAE)=m(EAB) ve AB ∥ DE nedeniyle m(EAB)=m(AED) olur. Böylece AD=DE elde edilir. Açıortay sorularında eşitliğin hangi yan kenar ile hangi taban parçası arasında kurulduğu, köşe sırasına göre belirlenmelidir.
ÖZEL YAMUKLAR
İkizkenar Yamuk
Paralel olmayan yan kenarları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. Aynı tabana komşu açılar eşittir ve köşegen uzunlukları birbirine eşittir:
AD=BC, m(A)=m(B), m(D)=m(C), AC=BD
Üst tabanın uçlarından alt tabana dikmeler indirildiğinde iki eş dik üçgen oluşur. Alt ve üst taban farkı iki eş parçaya ayrılır; her bir parçanın uzunluğu (a−b)/2’dir.
İkizkenar yamuk bir çemberin içine çizilebilir; karşılıklı açıları bütünlerdir. Yan kenar uzunluğu c ve köşegen uzunluğu d ise d²=c²+a·b bağıntısı kullanılabilir. Bu bağıntı genel yamuk için geçerli değildir.
Dik Yamuk
Bir yan kenarı tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir. Dik olan yan kenar aynı zamanda yüksekliktir. Eğik yan kenar, taban farkı ve yükseklik bir dik üçgen oluşturur; bu nedenle Pisagor bağıntısı doğrudan uygulanabilir.
Dik Köşegenli Özel Durumlar
Köşegenleri dik kesişen her dörtgende alan, köşegenler çarpımının yarısıdır. Dik yamuğun köşegenleri ayrıca birbirine dikse yükseklik, taban uzunluklarının geometrik ortalamasına eşit olur:
h²=a·b
İkizkenar bir yamukta köşegenler dikse yükseklik orta tabana eşittir. Bu sonuçlar yalnız belirtilen özel koşullar altında kullanılabilir.
YAMUKTA BİRLEŞİK UYGULAMA
Orta Taban, Alan ve Benzerliği Birlikte Kullanma
Birden fazla bağıntının kullanıldığı sorularda önce paralellikten doğan benzerlik veya orta taban ilişkisi kurulur. Bulunan taban ya da yükseklik, alan bağıntısına en son aktarılır. Böylece yarım taban ile tam taban veya orta taban ile yükseklik birbirine karıştırılmaz.