TYT paralelkenar konu anlatımı; karşılıklı kenar ve açı özelliklerini, yüksekliği, alanı, köşegenlerin kesişimini ve paralelkenar olma ölçütlerini birlikte ele alır. Sorularda çoğunlukla bir uzunluğu doğrudan bulmaktan çok, paralellikten doğan eşitlikleri doğru şekle aktarmak gerekir.
PARALELKENARIN TEMEL YAPISI
Tanım ve Karşılıklı Kenarlar
Karşılıklı kenarlarının iki çifti de paralel olan dörtgene paralelkenar denir. ABCD paralelkenarında AB ∥ DC ve AD ∥ BC’dir. Paralel doğrular arasındaki uzaklık sabit olduğundan karşılıklı kenarlar aynı zamanda eşit uzunluktadır: AB=DC ve AD=BC. Bu özellik, çevre hesabını 2(a+b) biçimine indirir.
Karşılıklı ve Komşu Açılar
Paralelkenarda karşılıklı açılar eşit, komşu açılar bütünlerdir. Buna göre m(A)=m(C), m(B)=m(D) ve m(A)+m(B)=180° olur. Bir dış açı da komşu iç açıyla bütünler, karşı iç açıyla eşittir. Açı sorularında dört ayrı denklem kurmak yerine bir karşılıklı eşitlik ve bir bütünlerlik bağıntısı yeterlidir.
Yükseklik ve Alan
Bir kenar taban seçildiğinde bu kenarla karşısındaki paralel kenar arasındaki dik uzaklık yüksekliktir. Alan, taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımıdır. Eğik kenar uzunluğu yükseklik değildir; yalnız tabana dik olduğunda yükseklik olarak kullanılabilir.
Alan=a·ha=b·hb
Paralelkenar Olma Ölçütleri
Bir dörtgenin paralelkenar olduğunu göstermek için yalnız tanımı kullanmak zorunlu değildir. Aşağıdaki koşullardan herhangi biri tek başına yeterlidir:
| Verilen koşul | Sonuç |
|---|---|
| İki çift karşılıklı kenar paralel | Tanım gereği paralelkenar |
| İki çift karşılıklı kenar eşit | Paralelkenar |
| Bir çift karşılıklı kenar hem paralel hem eşit | Paralelkenar |
| Köşegenler birbirini ortalıyor | Paralelkenar |
| Karşılıklı açılar eşit | Paralelkenar |
KÖŞEGENLER VE UZUNLUK BAĞINTILARI
Köşegenlerin Birbirini Ortalaması
AC ve BD köşegenleri O noktasında kesişiyorsa AO=OC ve BO=OD’dir. Bu eşitlik köşegenlerin eşit olduğu anlamına gelmez; yalnız her köşegenin kendi içinde iki eş parçaya ayrıldığını söyler. Köşegenlerin eşitliği dikdörtgen gibi daha özel bir koşuldur.
Köşegen Uzunlukları Bağıntısı
Kenar uzunlukları a ve b, köşegen uzunlukları e ve f olan paralelkenarda köşegen kareleri toplamı kenar kareleri toplamının iki katıdır:
e²+f²=2(a²+b²)
Bu bağıntı, paralelkenar yasası olarak da bilinir. Yalnız bir köşegen verilmişse diğer köşegen bu eşitlikten bulunabilir; köşegenlerin eşit olduğu ayrıca söylenemez.
Köşegenlerle Oluşan Eş Üçgenler
Bir köşegen paralelkenarı eş iki üçgene ayırır. Örneğin AC köşegeni, ABC ve ADC üçgenlerini oluşturur. Karşılıklı kenarların eşitliği ve ortak AC kenarı nedeniyle bu üçgenler kenar–kenar–kenar bakımından eştir. Bu sonuç, köşegenin alanı ikiye bölmesini de açıklar.
ALAN PAYLAŞIMI VE BİRLEŞİK UYGULAMALAR
İki Köşegenle Dört Eş Alan
İki köşegen birlikte çizildiğinde paralelkenar dört üçgene ayrılır. Köşegenler birbirini ortaladığı ve aynı taban–yükseklik ilişkileri oluştuğu için bu dört üçgenin alanı eşittir. Paralelkenarın alanı S ise AOB, BOC, COD ve DOA üçgenlerinin her biri S/4 alana sahiptir.
Kenar Üzerindeki Nokta ve Alan
P noktası paralelkenarın bir kenarı üzerindeyse karşı kenarın iki ucuyla birleştirildiğinde oluşan üçgenler ortak yüksekliği kullanır. Alan oranları, taban parçalarının oranına eşit olur. Özellikle P bir kenarın orta noktasıysa ilgili üçgenlerin alanları eşit çıkar.
Açı, Köşegen ve Alanı Birlikte Kullanma
Karma sorularda önce paralellikten açı eşitlikleri, sonra köşegenlerin orta nokta ilişkisi kurulmalıdır. Uzunluklar belirlendikten sonra alan için uygun taban–yükseklik çifti seçilir. Her aşamada paralelkenarın genel özellikleriyle dikdörtgen, eşkenar dörtgen veya kareye özgü özellikler ayrılmalıdır.