TYT dörtgenler konu anlatımı; dörtgenin açı ve köşegen özelliklerini, açıortay bağıntılarını, dik köşegenli dörtgenleri, köşegenlerle alan hesabını, köşegenlerin ayırdığı alanları ve kenar orta noktalarından oluşan Varignon dörtgenini kapsar. Yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, deltoid, dikdörtgen ve kare bu genel yapı üzerine kurulur; ancak her birinin özel bağıntıları ayrı konularda ele alınır.
DÖRTGENİN TEMEL YAPISI
Dörtgen, Köşeler ve Köşegenler
Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın ardışık olarak birleştirilmesiyle oluşan kapalı şekle dörtgen denir. ABCD dörtgeninin kenarları AB, BC, CD ve DA; köşegenleri ise AC ile BD’dir. Köşegenler dışbükey bir dörtgenin iç bölgesinde kesişir ve dörtgeni dört üçgene ayırır.
Dörtgenler dışbükey ya da içbükey olabilir. TYT sorularının çoğunda dışbükey dörtgen kullanılır. Bir soruda özel bir dörtgen türü belirtilmemişse yalnız genel dörtgen bağıntıları kullanılmalı; karşılıklı kenarların paralel, eş ya da köşegenlerin birbirini ortaladığı kendiliğinden kabul edilmemelidir.
İç ve Dış Açılar Toplamı
Bir dörtgen, köşegenlerinden biri çizildiğinde iki üçgene ayrılır. İki üçgenin iç açıları toplamı 2·180° olduğundan bir dörtgenin iç açıları toplamı 360°’dir:
m(A)+m(B)+m(C)+m(D)=360°
Her köşede aynı yönde alınan birer dış açının toplamı da 360°’dir. Bir iç açı ile ona komşu dış açı bütünler olduğundan dış açı soruları çoğu zaman önce iç açıya dönüştürülür.
Komşu İç Açıortayların Arasındaki Açı
ABCD dörtgeninde A ve B köşelerinin iç açıortayları P noktasında kesişsin. ABP üçgeninde P açısı, 180°−(A+B)/2 olur. Dörtgende A+B+C+D=360° olduğundan bu değer (C+D)/2’ye eşittir. Böylece komşu iki iç açıortayın arasındaki açı, diğer iki iç açının toplamının yarısıdır.
m(APB)=[m(C)+m(D)]/2
KÖŞEGEN BAĞINTILARI VE ALAN
Köşegenleri Dik Kesişen Dörtgen
Köşegenleri dik kesişen her dörtgende karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir. Bu sonuç yalnız eşkenar dörtgen ya da deltoid için değil, köşegenleri dik olan bütün dörtgenler için geçerlidir:
AB²+CD²=BC²+AD²
Bağıntı, köşegenlerin kesişim noktasında oluşan dört dik üçgende Pisagor teoremi yazılıp ortak parçaların sadeleştirilmesiyle elde edilir.
Köşegenlerle Alan Formülü
Köşegen uzunlukları d₁ ve d₂, köşegenler arasındaki açılardan biri θ ise dörtgenin alanı aşağıdaki bağıntıyla bulunur:
Alan=(d₁·d₂·sin θ)/2
Köşegenler dikse sin 90°=1 olur ve alan d₁·d₂/2’ye iner. Köşegenlerin birbirini ortalaması gerekmez; alan bağıntısında uzunluklar tam köşegen uzunluklarıdır.
Köşegenlerin Ayırdığı Alanlar
AC ve BD köşegenleri O noktasında kesişsin. Oluşan dört küçük üçgen aynı köşegen açısının sinüsünü kullanır. Bu nedenle karşılıklı üçgenlerin alan çarpımları eşittir:
Alan(AOB)·Alan(COD)=Alan(BOC)·Alan(DOA)
Bu bağıntı, dörtgenin özel türünden bağımsızdır. Verilen üç küçük alan yardımıyla dördüncü alan bulunabilir; dörtgenin toplam alanı ise dört parçanın toplamıdır.
KENAR ORTA NOKTALARI VE VARIGNON DÖRTGENİ
Komşu Kenarların Orta Noktalarını Birleştirme
ABCD dörtgeninde K, L, M ve N sırasıyla AB, BC, CD ve DA kenarlarının orta noktaları olsun. Üçgende orta taban teoreminden KL, AC köşegenine paralel ve AC’nin yarısıdır. Benzer biçimde LM, BD’nin; MN, AC’nin; NK ise BD’nin yarısıdır.
| Orta nokta parçası | Paralel olduğu köşegen | Uzunluğu |
|---|---|---|
| KL ve MN | AC | AC/2 |
| LM ve NK | BD | BD/2 |
Varignon Dörtgeninin Çevresi
Dörtgenin dört kenar orta noktası birleştirildiğinde oluşan KLMN dörtgeni her zaman paralelkenardır. Bu paralelkenarın iki kenarı AC/2, diğer iki kenarı BD/2 olduğundan çevresi köşegenlerin toplamına eşittir:
Çevre(KLMN)=AC+BD
Varignon Dörtgeninin Alanı
Kenar orta noktalarının oluşturduğu KLMN paralelkenarının alanı, başlangıçtaki ABCD dörtgeninin alanının yarısıdır. Bu sonuç dörtgenin biçiminden bağımsızdır:
Alan(KLMN)=Alan(ABCD)/2
ABCD’nin köşegenleri dikse KLMN bir dikdörtgen olur. ABCD’nin köşegenleri eşitse KLMN bir eşkenar dörtgen olur. Köşegenler hem dik hem eşitse orta noktaların oluşturduğu dörtgen karedir.
DÖRTGEN SORULARINDA BİRLEŞİK UYGULAMALAR
Köşegen ve Orta Nokta Bilgisini Birlikte Kullanma
TYT’de dörtgen soruları çoğu zaman tek bir bağıntıyı doğrudan sormaz. Kenar orta noktalarıyla kurulan paralelkenarın çevresinden köşegenlerden biri bulunur; ardından köşegen açısı ya da diklik bilgisi kullanılarak asıl dörtgenin alanına geçilir. Çözüm sırasında hangi uzunluğun tam köşegen, hangisinin onun yarısı olduğu açıkça ayrılmalıdır.
Alan Parçalarından Toplam Alana Geçiş
Köşegenlerin oluşturduğu dört küçük üçgenden üçü verildiğinde önce karşılıklı alan çarpımıyla eksik parça bulunur. Ardından dört alan toplanır. Bu iki adımı birbirine karıştırmak, özellikle eksik alan yerine doğrudan toplam alan istenen sorularda sık hata doğurur.