TYT çokgenler konu anlatımı; çokgenin temel elemanlarını, köşegen sayılarını, iç ve dış açı toplamlarını, düzgün çokgenlerde açı bağıntılarını, düzgün beşgen ile altıgenin özel yapılarını ve bileşik çokgen sorularında denklem kurmayı kapsar. Sorunun şekli değişse de çözümün omurgası; kenar sayısını belirlemek, doğru açı toplamını seçmek ve şeklin simetrisini kullanmaktır.
ÇOKGENİN TEMEL YAPISI
Çokgen Tanımı, Kenar ve Köşe
Bir düzlemde, ardışık üçü aynı doğru üzerinde bulunmayan doğru parçalarının uç uca eklenerek oluşturduğu kapalı şekle çokgen denir. Doğru parçaları çokgenin kenarlarını, iki komşu kenarın ortak uçları köşeleri oluşturur. Üçgen, dörtgen, beşgen ve devamındaki adlandırma kenar sayısına göre yapılır.
Bir iç açısı 180°’den büyük olan çokgen içbükey, bütün iç açıları 180°’den küçük olan çokgen dışbükeydir. Bu yazıdaki temel açı ve köşegen bağıntıları dışbükey çokgenler üzerinden ele alınır. n kenarlı bir çokgende n köşe ve n iç açı bulunur.
Köşegenler ve Üçgenlere Ayırma
Bir köşe, kendisiyle ve iki komşu köşeyle birleştirilemeyeceği için o köşeden n−3 köşegen çizilebilir. Bu işlem çokgeni n−2 üçgene ayırır. Her köşeden n−3 köşegen sayıldığında her köşegen iki uçtan iki kez sayılmış olur; bu yüzden toplam köşegen sayısı n(n−3)/2’dir.
İç Açılar Toplamı
Bir köşeden çizilen köşegenler n kenarlı çokgeni n−2 üçgene ayırır. Her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan çokgenin iç açıları toplamı (n−2)·180° olur. Çokgen düzgün değilse açıların her biri farklı olabilir; bağıntı yalnız toplamı belirler.
| Çokgen | İç açılar toplamı | Toplam köşegen |
|---|---|---|
| Beşgen | 540° | 5 |
| Altıgen | 720° | 9 |
| Sekizgen | 1080° | 20 |
| n-gen | (n−2)·180° | n(n−3)/2 |
DIŞ AÇILAR VE DÜZGÜN ÇOKGENLER
Dış Açılar Toplamı
Bir çokgenin her köşesinden aynı yönde birer dış açı alındığında bu açıların toplamı 360°’dir. Çünkü çokgenin çevresinde yürürken yönümüz toplamda bir tam tur değişir. Bu sonuç kenar sayısından bağımsızdır; düzgün olmayan çokgenlerde de geçerlidir.
Düzgün Çokgende Bir İç ve Dış Açı
Bütün kenarları ve bütün iç açıları eşit olan çokgene düzgün çokgen denir. Düzgün n-genin bir dış açısı 360°/n, bir iç açısı ise 180°−360°/n ya da (n−2)·180°/n’dir. Aynı köşedeki iç açı ile dış açı bütünlerdir.
Merkez Açı ve Düzgün Çokgenin Merkezi
Düzgün çokgenin köşeleri çevrel çember üzerinde bulunur. Merkezden ardışık iki köşeye çizilen yarıçapların oluşturduğu merkez açı 360°/n’dir ve bir dış açıya eşittir. Merkezden bütün köşelere çizilen yarıçaplar çokgeni n tane eş ikizkenar üçgene ayırır; bu yapı çevre, alan ve köşegen sorularında kullanılır.
Düzgün Beşgen
Düzgün beşgenin her iç açısı 108°, her dış açısı 72°’dir. Bir köşeden komşu olmayan iki köşeye köşegen çizildiğinde eşit kenarlı ikizkenar üçgenler ve 36°–72°–72° açı düzenleri oluşur. Köşegenlerin tamamı çizildiğinde beş köşeli yıldız ortaya çıkar; simetri nedeniyle eş açılar dikkatle izlenebilir.
Düzgün Altıgen
Düzgün altıgenin her iç açısı 120°, her dış ve merkez açısı 60°’dir. Merkez ile iki komşu köşenin oluşturduğu üçgen eşkenardır; bu nedenle çevrel çemberin yarıçapı altıgenin kenarına eşittir. Karşılıklı köşeleri birleştiren uzun köşegen merkezden geçer ve uzunluğu kenarın iki katıdır. Bir köşe atlayarak çizilen kısa köşegen ise kenarın √3 katıdır.
ÇOKGENLERDE BİLEŞİK AÇI PROBLEMLERİ
Yan Yana Getirilen Düzgün Çokgenler
Düzgün çokgenler bir kenarı ortak olacak biçimde birleştirildiğinde ortak köşenin çevresindeki açıların toplamı 360° alınır. Her çokgenin o köşedeki iç açısı yazılır; arada kalan bilinmeyen açı, tam açıdan bu iç açıların çıkarılmasıyla bulunur. Şekiller ortak kenarın farklı taraflarındaysa hangi bölgenin sorulduğu özellikle kontrol edilmelidir.
Çokgen Problemlerinde Denklem Kurma
Açıları cebirsel ifadelerle verilen çokgende önce kenar sayısı belirlenir, ardından ifadelerin toplamı (n−2)·180°’ye eşitlenir. Ardışık, eş veya aritmetik dizili açı koşulları bu denkleme çevrilir. Sonuçta bulunan her açının dışbükey çokgende 0° ile 180° arasında kalıp kalmadığı kontrol edilir.