TYT SİLİNDİR

TYT silindir konu anlatımı; dik silindirin temel elemanlarını, yüzey alanı ve hacim bağıntılarını, açınım ve kesitleri, dönel cisimleri, içi boş silindirleri, sıvı problemlerini ve yüzey üzerinde en kısa yolu birlikte ele alır. Silindir sorularında taban yarıçapı, tabanlar arasındaki dik uzaklık ve yanal yüzün açınımı doğru yorumlandığında üç boyutlu görünen birçok işlem düzlem geometrisine dönüşür.

DİK SİLİNDİRİN TEMEL YAPISI

Silindir ve Dik Silindir

Birbirine paralel ve eş iki dairenin karşılıklı noktalarını birleştiren ana doğruların oluşturduğu cisme silindir denir. Ana doğrular taban düzlemlerine dikse cisim dik dairesel silindir olur. Taban dairelerinin merkezlerini birleştiren doğru silindirin eksenidir. Dik silindirde ana doğru uzunluğu, iki taban düzlemi arasındaki dik uzaklığa; yani yüksekliğe eşittir.

Silindirin iki dairesel tabanı ve eğri bir yanal yüzü vardır. Taban yarıçapı r, yüksekliği h ile gösterilir. Silindirin tabanlara paralel her kesiti, tabanlarla eş bir dairedir. Ekseninden geçen düzlemsel kesit ise kenarları 2r ve h olan bir dikdörtgendir.

Yanal Alan, Toplam Alan ve Hacim

Yanal yüz kesilip düzleme açıldığında bir kenarı taban çevresi 2πr, diğer kenarı yükseklik h olan dikdörtgen elde edilir. Bu nedenle yanal alan 2πrh olur. İki tabanın toplam alanı 2πr² olduğundan toplam yüzey alanı 2πrh+2πr²=2πr(r+h) biçimindedir. Hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır: V=πr²h.

Bir soruda çap verilmişse önce r=d/2 dönüşümü yapılmalıdır. Yalnız yanal alan isteniyorsa tabanlar hesaba katılmaz; kapalı bir kutu veya konserve yüzeyi soruluyorsa iki taban eklenir. Üstü açık silindir biçimli kaplarda ise yalnız bir taban bulunduğundan alan 2πrh+πr² olur.

KESİTLER, AÇINIM VE DÖNEL CİSİMLER

Silindirin Kesitleri

Tabanlara paralel bir düzlem silindiri kestiğinde yarıçapı r olan daire oluşur. Eksen üzerinden ve tabanlara dik geçen kesit, genişliği çap 2r ve yüksekliği h olan dikdörtgendir. Eksenel kesitin köşegeni √((2r)²+h²) bağıntısıyla bulunur. Eksenin dışında, eksene paralel bir kesitte ise dikdörtgenin genişliği taban dairesindeki bir kiriş uzunluğudur.

Merkezden d uzaklıktaki kirişin yarısı, yarıçapla kurulan dik üçgenden √(r²−d²) olur. Dolayısıyla kesit dikdörtgeninin genişliği 2√(r²−d²), alanı da 2h√(r²−d²)dir. Bu ayrım, her eksene paralel kesitin 2r genişliğinde olmadığına dikkat etmeyi gerektirir.

Dikdörtgenin Dönmesiyle Silindir

Bir dikdörtgen, kenarlarından biri çevresinde 360° döndürüldüğünde dik silindir oluşur. Dönme ekseni olan kenar silindirin yüksekliğini, eksene dik diğer kenar ise yarıçapını verir. Dikdörtgen farklı kenarları etrafında döndürüldüğünde yükseklik ve yarıçap yer değiştirir; bu nedenle oluşan cisimlerin hacimleri genellikle aynı değildir.

Dönme açısı 360°den küçükse tam silindirin belirli bir kesri oluşur. Örneğin 270°lik dönme, aynı yarıçap ve yükseklikteki tam silindirin 270/360=3/4’ü kadar hacim oluşturur. Dönme ekseni dikdörtgenin içinden geçiyorsa dış yarıçap ile iç yarıçap ayrı değerlendirilerek halkasal tabanlı cisim elde edilebilir.

SİLİNDİR UYGULAMALARI

İçi Boş ve Oyulmuş Silindirler

Eş merkezli iki silindir arasında kalan boru biçimli cismin tabanı halkadır. Dış yarıçap R, iç yarıçap r ve yükseklik h ise malzemenin hacmi π(R²−r²)h olur. Yüzey alanı istenirse dış yanal alan 2πRh, iç yanal alan 2πrh ve iki halkasal taban 2π(R²−r²) birlikte hesaba katılır.

Bir katı silindirden başka bir silindir çıkarıldığında yalnız hacim farkı almak yüzey alanı için yeterli değildir. Oyuk açılmasıyla dışarıdan kaybolan dairelerin yanında yeni bir iç yanal yüz oluşur. Soru cismin kapalı, açık veya boru biçiminde olduğunu belirtiyorsa hangi yüzlerin gerçekten bulunduğu tek tek sayılmalıdır.

Sıvı Aktarma ve Hacim Korunumu

Bir kaptaki sıvı başka bir kaba aktarıldığında taşma veya kayıp yoksa hacim korunur. Silindirde sıvı hacmi πr²·sıvı yüksekliğidir. Yeni kaptaki yükseklik, korunan hacmin yeni taban alanına bölünmesiyle bulunur. Tam dolu bir silindir başka bir kaba boşaltılıyorsa başlangıç hacminde silindirin bütün yüksekliği kullanılır; yarısı doluysa yalnız sıvı yüksekliği alınır.

İç içe iki silindirde bir kaptan diğerine açılan delik, sıvı seviyeleri eşitlenene kadar akış sağlayabilir. Son durumda ortak yükseklik x ise toplam sıvı hacmi, sıvının yayıldığı toplam taban alanı ile x’in çarpımına eşittir. Katı bir cisim kaba tamamen batırıldığında da yükselen sıvı hacmi, batan cismin hacmine eşittir.

Silindir Yüzeyinde En Kısa Yol

Silindirin yanal yüzündeki iki nokta arasındaki en kısa yol için yanal yüz düzleme açılır. Açınımın yatay uzunluğu taban çevresi 2πr, düşey uzunluğu h’dir. Yol bir tam tur atıyorsa yatay uzaklık 2πr; yarım tur atıyorsa πr alınır. Birden fazla tur için çevre, tur sayısıyla çarpılır.

Açınım üzerinde başlangıç ve bitiş noktaları doğru konuma taşındıktan sonra en kısa yol bir doğru parçasıdır. Yol uzunluğu, oluşan dikdörtgendeki yatay ve düşey farklarla Pisagor bağıntısından bulunur. Cisim üzerinde eğri görünen yolun açınımda düzleşmesi bu soruların temel fikridir.

Silindir İçine Yerleştirilen Cisimler

Bir silindire yerleştirilen dik prizmanın yüksekliği silindirin yüksekliğine eşitse karşılaştırma tabanlarda yapılabilir. Silindire çizilen en büyük kare tabanlı prizmanın kare köşeleri taban çemberi üzerindedir; karenin köşegeni çemberin çapına eşittir. Çap 2r ise kare kenarı r√2, kare alanı 2r² olur.

Benzer biçimde, bir prizma içine yerleştirilen en büyük silindirin taban dairesi prizmanın taban çokgenine içten teğettir. “En büyük” ifadesi, temas veya çevrel–içteğet ilişkisinin kurulacağını gösterir; yalnız şekle bakarak rastgele yarıçap seçilmemelidir.