TYT piramit ve koni konu anlatımı; piramidin ve koninin temel elemanlarını, yüzey alanı ile hacim bağıntılarını, tabana paralel kesitlerde benzerliği, açınımları, dönel cisimleri ve kesik cisim problemlerini bir arada ele alır. Bu iki cisimde hacmin “taban alanı × yükseklik” çarpımının üçte biri olması ortak noktadır. Buna karşılık yanal alan hesaplarında piramidin yan yüz yüksekliği ile koninin ana doğrusu ayrı ayrı belirlenmelidir.
PİRAMİDİN TEMEL YAPISI
Piramit ve Düzgün Piramit
Bir çokgenin köşelerinin, çokgenin düzlemi dışında kalan bir noktayla birleştirilmesiyle oluşan cisme piramit denir. Çokgen piramidin tabanı, dışarıdaki nokta tepe noktasıdır. Tepeyi taban köşelerine bağlayan parçalar yanal ayrıtları; bu parçaların oluşturduğu üçgenler de yanal yüzleri meydana getirir. Piramit tabanına göre üçgen piramit, kare piramit veya beşgen piramit gibi adlandırılır.
Tepe noktasından taban düzlemine indirilen dikmenin uzunluğu piramidin yüksekliğidir. Bu dikmenin ayağı tabanın merkezine düşüyorsa piramit dik piramit olur. Taban düzgün çokgen, yanal ayrıtlar da eşitse düzgün piramit elde edilir. Düzgün piramidin yanal yüzleri birbirine eş ikizkenar üçgenlerdir. Tepe noktasından taban ayrıtının orta noktasına uzanan doğru parçası yan yüz yüksekliğidir.
Piramitte Alan ve Hacim
Taban alanı B ve dik yükseklik h olmak üzere her piramidin hacmi V=B·h/3 bağıntısıyla bulunur. Buradaki h, tepe noktasının taban düzlemine dik uzaklığıdır; yanal ayrıt veya yan yüz yüksekliği değildir. Eğik piramitlerde de aynı hacim bağıntısı geçerlidir. Taban şekli değiştiğinde yalnız B’nin hesaplanışı değişir.
Düzgün piramidin yanal alanı, eş yanal üçgenlerin alanları toplamıdır. Taban çevresi Ç ve yan yüz yüksekliği y ise yanal alan=Ç·y/2 olur. Düzgün kare piramitte taban ayrıtı a olduğundan yanal alan 4·a·y/2=2ay’dir. Toplam yüzey alanına ulaşmak için bu değere taban alanı eklenir. Yan yüz yüksekliği çoğu soruda dik yükseklik, taban merkezinden ayrıtın orta noktasına olan uzaklık ve y ile kurulan dik üçgenden bulunur.
Tabana Paralel Kesit ve Benzer Piramitler
Bir piramit tabanına paralel düzlemle kesildiğinde tepe tarafında başlangıçtaki piramide benzer küçük bir piramit, altta ise kesik piramit oluşur. Küçük piramidin yüksekliğinin büyük piramidin yüksekliğine oranı k ise karşılıklı bütün uzunlukların oranı k, alanların oranı k² ve hacimlerin oranı k³ olur. Kesik piramidin hacmi, büyük piramidin hacminden tepedeki küçük piramidin hacmi çıkarılarak bulunabilir.
Bu ilişki sıvı seviyesi sorularında da önemlidir. Piramit biçimli kapta sıvı yüksekliği toplam yüksekliğin yarısına ulaştığında sıvı hacmi kabın yarısı değil, 1/8’i olur. Çünkü piramitlerde yatay kesit büyüdükçe taban alanı da değişir.
Düzgün Dörtyüzlü ve Yüzey Açınımı
Bütün yüzleri eşkenar üçgen olan üçgen piramide düzgün dörtyüzlü denir. Ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlünün bir yüzünün alanı a²√3/4, toplam yüzey alanı a²√3’tür. Dört eş üçgensel yüz açıldığında farklı açınımlar oluşabilir; ancak yüzler arası komşuluk değişmez.
Bir cismin yüzeyi üzerindeki iki nokta arasındaki en kısa yol, uygun yüzler aynı düzleme açılarak bulunur. Yolun geçtiği yüzler seçilir, ortak ayrıtlar boyunca açılım yapılır ve iki nokta arasındaki doğru parçası hesaplanır. Piramit yüzeyinde şekil üzerinde kırık görünen yol, doğru açınımda tek doğruya dönüşebilir.
DİK KONİNİN TEMEL YAPISI
Koni, Ana Doğru, Alan ve Hacim
Bir dairenin bütün noktalarının, daire düzlemi dışında bulunan bir noktayla birleştirilmesiyle oluşan cisme koni denir. Tepe noktasından taban düzlemine indirilen dikme taban merkezinden geçiyorsa cisim dik dairesel konidir. Taban yarıçapı r, dik yükseklik h ve tepeyi taban çemberine bağlayan ana doğru a ile gösterilir.
Dik koninin eksenel kesiti, tabanı 2r ve yüksekliği h olan ikizkenar üçgendir. Bu kesitin yarısında a²=h²+r² bağıntısı kurulur. Koninin yanal alanı πra, toplam yüzey alanı πra+πr²=πr(a+r), hacmi ise πr²h/3tür. Alan hesabında ana doğru a; hacim hesabında dik yükseklik h kullanılır.
Koninin Açınımı ve Daire Dilimi
Koninin yanal yüzü açıldığında yarıçapı ana doğru a olan bir daire dilimi elde edilir. Bu dilimin yay uzunluğu, koninin taban çevresine eşittir: yay uzunluğu=2πr. Daire diliminin merkez açısı α ise α/360=2πr/(2πa)=r/a bağıntısı kurulur. Böylece α=360r/a bulunur.
Açınım sorularında dilimin yarıçapı ile koninin taban yarıçapı karıştırılmamalıdır. Dilimin yarıçapı ana doğru a, dilimin yayı ise taban çevresi 2πr’dir. Yanal yüz üzerindeki en kısa yol sorularında da yanal yüz açılır ve noktalar arasındaki doğru parçası hesaplanır.
Üçgenin Dönmesiyle Koni
Bir dik üçgen, dik kenarlarından biri çevresinde 360° döndürüldüğünde dik koni oluşur. Dönme ekseni olan dik kenar koninin yüksekliği, diğer dik kenar yarıçapı ve hipotenüs ana doğru olur. Aynı üçgen diğer dik kenarı çevresinde döndürülürse yarıçap ile yükseklik yer değiştirir; hacim de buna göre değişir.
Bir üçgenin içinden geçen veya üçgenin dışında kalan eksenler çevresindeki dönüşlerde tek koni yerine birleşik ya da çıkarılmış cisimler oluşabilir. Şekil, eksene göre parçalara ayrılır; oluşan konilerin hacimleri uygun biçimde toplanır veya çıkarılır.
KESİK KONİ VE UYGULAMALAR
Kesik Koni ve Benzerlik
Bir koni tabanına paralel düzlemle kesildiğinde tepe tarafında başlangıçtaki koniye benzer küçük bir koni, altta kesik koni oluşur. Küçük ve büyük konilerde yarıçap, yükseklik ve ana doğru aynı benzerlik oranına sahiptir. Alanlar bu oranın karesiyle, hacimler küpüyle değişir.
Kesik koninin hacmi çoğu TYT sorusunda büyük koni hacminden küçük koni hacmi çıkarılarak daha güvenli bulunur. Doğrudan bağıntı kullanılacaksa alt taban yarıçapı R, üst taban yarıçapı r ve kesik koni yüksekliği h için V=πh(R²+Rr+r²)/3’tür. Ancak eksik yüksekliği benzerlikle tamamlamak, özellikle şekilli sorularda işlem hatasını azaltır.
Koni Biçimli Kaplarda Sıvı
Koni biçimli kaplarda sıvı yüzeyi tabana paralel olduğunda sıvının oluşturduğu koni, kabın bütünüyle benzerdir. Sıvı yüksekliğinin kap yüksekliğine oranı k ise sıvı hacminin toplam hacme oranı k³ olur. Kap ters çevrildiğinde boş ve dolu bölgelerin şekli değişebileceğinden yalnız yükseklik oranına bakılarak aynı sonuç kullanılamaz; yeni durumda benzer koninin hangi bölge olduğu belirlenmelidir.
Sıvı başka bir kaba aktarılırken hacim korunur. Koniden silindire veya silindirden koniye aktarım sorularında her cismin kendi hacim bağıntısı yazılır. Aynı taban yarıçapı ve yüksekliğe sahip koninin hacmi, silindirin hacminin üçte biridir.