TYT küre konu anlatımı; kürenin merkez, yarıçap, büyük daire ve düzlemsel kesit özelliklerini; yüzey alanı ile hacim bağıntılarını; yarım küreyi ve kürenin küp, silindir, koni gibi cisimlerle ilişkisini kapsar. Küre sorularında yalnız formülü bilmek yetmez. Kesit düzleminin merkeze uzaklığı, cismin içten ya da dıştan teğet olması ve verilen alanın eğri yüzeyi mi yoksa toplam yüzeyi mi anlattığı doğru yorumlanmalıdır.
KÜRENİN TEMEL YAPISI
Küre, Merkez, Yarıçap ve Büyük Daire
Uzayda sabit bir O noktasına eşit uzaklıkta bulunan noktaların oluşturduğu yüzeye küre yüzeyi denir. Bu yüzeyin sınırladığı cisim küredir. Sabit O noktası kürenin merkezi, merkezden yüzeydeki herhangi bir noktaya uzanan doğru parçası yarıçap, merkezden geçen ve iki ucu küre yüzeyinde bulunan doğru parçası ise çaptır. Yarıçap r ise çap 2r’dir.
Kürenin merkezinden geçen bir düzlemin küreyle ara kesiti, yarıçapı kürenin yarıçapına eşit olan bir dairedir. Buna büyük daire denir. Merkezden geçmeyen kesitlerde oluşan dairenin yarıçapı r’den küçüktür. Kürenin hangi yönden kesildiği değil, kesen düzlemin merkeze uzaklığı belirleyicidir.
Kürenin Yüzey Alanı ve Hacmi
Yarıçapı r olan kürenin yüzey alanı A=4πr², hacmi V=4πr³/3 bağıntısıyla bulunur. Yarıçap k katına çıkarılırsa yüzey alanı k², hacim k³ katına çıkar. Bu nedenle yarıçapı iki katına çıkan bir kürenin yüzey alanı dört, hacmi sekiz katına çıkar.
Alan ve hacim birlikte verildiğinde iki bağıntıyı ayrı ayrı kullanmak yerine V/A=r/3 oranından yararlanılabilir. Benzer kürelerde yüzey alanları oranının karekökü yarıçaplar oranını, hacimler oranının küpkökü de yarıçaplar oranını verir.
Kürenin Düzlemsel Kesiti
Yarıçapı r olan küre, merkezden d kadar uzaktaki bir düzlemle kesildiğinde kesit bir dairedir. Kesit dairesinin yarıçapı ρ ile gösterilirse merkez, kesit merkezine indirilen dikme ve kesit yarıçapı bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgende r²=d²+ρ² bağıntısı geçerlidir. Düzlem merkeze yaklaştıkça ρ büyür; d=0 olduğunda kesit büyük daire olur. d=r olduğunda düzlem küreye yalnız bir noktada teğettir.
KÜRE PARÇALARI VE DÖNEL CİSİMLER
Yarım Kürede Alan ve Hacim
Kürenin merkezinden geçen düzlem küreyi iki eş yarım küreye ayırır. Yarım kürenin eğri yüzey alanı, küre yüzeyinin yarısı olduğundan 2πr²’dir. Yarım küre biçimli kap kapalı ya da tabanlı düşünülüyorsa dairesel tabanın πr² alanı da eklenir ve toplam yüzey alanı 3πr² olur. Hacmi ise küre hacminin yarısı, yani 2πr³/3tür.
Küre Dilimi ve Küresel Yüzey
Küre merkezinden çıkan iki yarı düzlemin küreden ayırdığı parçaya küre dilimi denir. Merkezdeki açı α derece ise dilimin hacmi, küre hacminin α/360’ı; eğri yüzeyi de küre yüzeyinin α/360’ıdır. Aynı düşünce, küresel yüzey üzerinde belirli merkez açısına karşılık gelen alanları karşılaştırırken kullanılır. Yalnız soruda istenen yüzeye dilimi sınırlayan düzlemsel yarım dairelerin dahil edilip edilmediğine dikkat edilmelidir.
Daire Parçalarının Döndürülmesi
Yarım daire, çapı çevresinde 360° döndürüldüğünde küre oluşur. Çeyrek daire, kendisini sınırlayan yarıçaplardan biri çevresinde döndürüldüğünde yarım küre meydana gelir. Dönme sorularında eksen üzerindeki noktalar sabit kalır; eksenden uzaklıklar dönel cismin yarıçapına dönüşür. Şeklin yalnız çember yayı mı yoksa dairesel bölgesi mi olduğu da önemlidir: yay dönerse yüzey, bölge dönerse hacimli cisim oluşur.
KÜRENİN DİĞER CİSİMLERLE İLİŞKİSİ
Küre ve Küp
Bir küre küpe içten teğetse kürenin çapı küpün ayrıtına eşittir: a=2r. Küp küreye içten çizilmişse, yani küpün bütün köşeleri küre yüzeyindeyse, kürenin çapı küpün uzay köşegenine eşittir: 2r=a√3. Bu iki durum birbirine karıştırılmamalıdır. Şekilde küre küpün içinde görünüyorsa teğet noktalarının yüzey ortalarında mı, köşelerde mi olduğu kontrol edilir.
Küre ve Silindir
Bir küre dik dairesel silindire hem tabanlardan hem yanal yüzeyden içten teğetse silindirin yarıçapı r, yüksekliği 2r olur. Bu durumda silindirin hacmi 2πr³, kürenin hacmi 4πr³/3 olduğundan kürenin silindire hacim oranı 2/3’tür. Silindirin küre dışında kalan hacmi ise silindir hacminin 1/3’üdür.
Küre ve Koni
Küre ile koninin birlikte verildiği sorularda teğetlik ve kesit ilişkisi eksenel kesitte incelenir. Tabanı kürenin büyük dairesi, tepesi kürenin karşı kutbu olan koninin taban yarıçapı r, yüksekliği 2r’dir. Hacmi 2πr³/3 olduğundan aynı kürenin hacminin yarısına eşittir. Küre koniye içten teğetse merkezden koninin eksenine alınan kesit, çembere çevrel ya da içteğet üçgen ilişkilerine dönüşebilir.
Küre Biçimli Cisimlerde Sıvı ve Yer Değiştirme
Tamamen sıvıya batırılan küre, kendi hacmi kadar sıvının yerini değiştirir. Taşma kabında taşan sıvı hacmi, silindirik kapta ise yükselen sıvı hacmi kürenin batan kısmının hacmine eşittir. Birden fazla eş küre için toplam yer değiştirme hacmi küre sayısıyla çarpılır. Küre bütünüyle batmıyorsa yalnız sıvı içinde kalan küresel parçanın hacmi hesaba katılır.