TYT noktanın analitiği konu anlatımı; bir noktanın koordinat düzlemindeki yerini okumaktan başlayarak noktalar arasındaki uzaklık, orta nokta, doğru parçasını belli bir oranda bölen nokta, üçgenin ağırlık merkezi ve koordinatlarla alan hesabına kadar uzanır. Bu konuda cebirsel işlem ile geometrik anlam birlikte yürür. Formülü ezberlemekten çok, koordinatların hangi doğru parçasına veya şekle ait olduğunu doğru belirlemek önemlidir.
DİK KOORDİNAT SİSTEMİ VE NOKTALAR
Koordinat Düzlemi, Apsis ve Ordinat
Birbirini dik kesen iki sayı doğrusunun oluşturduğu düzleme dik koordinat düzlemi denir. Yatay eksen x ekseni, düşey eksen y eksenidir. Eksenlerin kesiştiği O(0, 0) noktası orijindir. P(a, b) noktasında ilk bileşen a, noktanın apsisi; ikinci bileşen b ise ordinatıdır.
Noktadan y eksenine çizilen dikmenin işaretli uzunluğu apsisi, x eksenine çizilen dikmenin işaretli uzunluğu ordinatı verir. P(a, b) noktasının x eksenine uzaklığı |b|, y eksenine uzaklığı |a| kadardır. Bir nokta x eksenindeyse ordinatı 0; y eksenindeyse apsisi 0’dır.
Bölgeler ve İşaret Düzeni
Eksenler düzlemi dört bölgeye ayırır. I. bölgede x ve y pozitif; II. bölgede x negatif, y pozitif; III. bölgede her ikisi negatif; IV. bölgede x pozitif, y negatiftir. İşaret tablosu yalnız bölgeyi bulmak için değil, parametreli noktalarda eşitsizlik kurmak için de kullanılır.
Eksen üzerindeki noktalar hiçbir bölgeye ait değildir. Ayrıca koordinat düzleminde bir noktanın konumu sıralı ikiliyle belirtildiği için (a, b) ile (b, a) genellikle farklı noktalardır. Yalnız a=b olduğunda bu iki gösterim aynı noktayı verir.
Eksenlere Göre Simetri
P(a, b) noktasının x eksenine göre simetriği (a, −b), y eksenine göre simetriği (−a, b), orijine göre simetriği ise (−a, −b) noktasıdır. y=x doğrusuna göre yansımada koordinatlar yer değiştirir ve (b, a) elde edilir. y=−x doğrusuna göre yansımada hem yer değiştirme hem işaret değişimi görülür: (−b, −a).
Bu kurallar dönüşüm sorularında doğrudan kullanılabilir; ancak birkaç yansıma art arda verildiğinde her adımı sırasıyla uygulamak gerekir. Örneğin önce x eksenine, sonra y eksenine göre yansıma, orijine göre yansımayla aynı sonucu verir.
NOKTALAR ARASINDAKİ BAĞINTILAR
İki Nokta Arasındaki Uzaklık
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki yatay değişim x₂−x₁, düşey değişim y₂−y₁’dir. Bu iki değişim bir dik üçgenin dik kenarlarını oluşturur. Pisagor bağıntısından
|AB|=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]
elde edilir. Farkların hangi sırayla alındığı sonucu değiştirmez; çünkü kareleri alınır. Aynı apsise sahip iki nokta arasındaki uzaklık ordinat farkının, aynı ordinata sahip iki nokta arasındaki uzaklık apsis farkının mutlak değeridir.
Bir Noktanın İki Noktaya Eşit Uzaklığı
P(x, y) noktasının A ve B noktalarına eşit uzaklıkta olması |PA|=|PB| anlamına gelir. Kareköklerle işlem yapmak yerine uzaklıkların kareleri eşitlenir. Böylece ikinci dereceden görünen ifadelerde x² ve y² terimleri çoğu zaman sadeleşir ve doğrusal bir bağıntı elde edilir.
A ve B’ye eşit uzaklıktaki bütün noktalar, AB doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir. Bu geometrik yorum, bilinmeyen nokta bir eksen ya da verilen bir doğru üzerindeyse çözümü hızlandırır.
Doğru Parçasının Orta Noktası
A(x₁, y₁) ile B(x₂, y₂) doğru parçasının orta noktası M ise M’nin apsisi uç noktaların apsislerinin, ordinatı da ordinatlarının aritmetik ortalamasıdır:
M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Orta nokta bağıntısı ters yönde de kullanılabilir. Bir uç ile orta nokta verildiğinde diğer uç; 2xₘ−x₁ ve 2yₘ−y₁ işlemleriyle bulunur.
Paralelkenarda Köşegenlerin Orta Noktası
Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar. ABCD paralelkenarında A ile C karşılıklı, B ile D karşılıklı köşelerse AC ve BD köşegenlerinin orta noktaları aynıdır. Bu nedenle koordinat düzleminde
A+C=B+D
bileşen eşitliği kullanılabilir. Üç köşe biliniyorsa dördüncü köşe D=A+C−B biçiminde bulunur. Köşelerin çevresel sırası doğru belirlenmezse yanlış köşegenler eşleştirilir.
Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Nokta
C noktası AB doğru parçasını içten AC/CB=m/n oranında bölüyorsa C, A’dan B’ye doğru toplam m+n payın m payı kadar ileridedir. Koordinatları
C((n·x₁+m·x₂)/(m+n), (n·y₁+m·y₂)/(m+n))
olur. A’nın katsayısı karşı parçanın n, B’nin katsayısı karşı parçanın m değeridir. Dıştan bölmede payda m−n olur; sonuç doğru parçasının dışında kalabileceği için işaret kontrolü yapılmalıdır. Oran 1 olduğunda içten bölme orta noktaya dönüşür.
KOORDİNATLARLA ÜÇGEN VE ALAN
Üçgenin Ağırlık Merkezi
Üçgende kenarortayların kesiştiği G noktası ağırlık merkezidir. Köşe koordinatlarının aritmetik ortalaması alınarak bulunur:
G((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)
Ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında böler. Koordinatlar toplamı sorularında formülü iki ayrı bileşene uygulamak gerekir. Bir köşe bilinmiyorsa 3G=A+B+C eşitliği kullanılabilir.
Koordinatları Verilen Üçgenin Alanı
Bir kenar x ya da y eksenine paralelse taban ve yükseklik doğrudan koordinat farklarından bulunabilir. Genel durumda A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃) üçgeninin alanı determinant düzeniyle hesaplanır:
Alan = 1/2 · |x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|
Mutlak değer alanın pozitif olmasını sağlar. Aynı doğru üzerindeki üç noktada bu ifade 0 çıkar. Dörtgen alanında şekil iki üçgene ayrılabilir ya da köşeler çevresel sırayla yazılarak aynı çapraz çarpım mantığı genişletilebilir.
