TYT PRİZMALAR VE KÜP

TYT prizmalar ve küp konu anlatımı; dik prizmanın temel elemanlarını, yüzey alanı ve hacim bağıntılarını, dikdörtgenler prizması ile küpte köşegenleri, açınımları ve yüzey üzerinde en kısa yolu birlikte ele alır. Katı cisim sorularında uzunluk, alan ve hacim birimleri birbirinden ayrılmalı; görünmeyen ayrıtlar da cismin yapısına dâhil edilmelidir.

PRİZMALARIN TEMEL YAPISI

Prizma ve Dik Prizma

Birbirine paralel ve eş iki çokgensel tabanın karşılıklı köşelerinin birleştirilmesiyle prizma oluşur. Prizma, tabanındaki çokgene göre üçgen prizma, dörtgen prizma veya altıgen prizma gibi adlandırılır. Yan ayrıtlar taban düzlemlerine dikse cisim dik prizmadır; bu durumda yan yüzler dikdörtgendir ve yan ayrıt uzunluğu prizmanın yüksekliğine eşittir.

Tabanı n kenarlı olan bir prizmanın iki tabanında toplam 2n köşe, tabanlarda 2n ve yanlarda n olmak üzere 3n ayrıt, iki taban ile n yan yüzden oluşan n+2 yüz bulunur. Bu sayımlar Euler bağıntısı olan köşe−ayrıt+yüz=2 eşitliğini de sağlar. Eğik prizmada yan ayrıt ile taban düzlemleri arasındaki dik uzaklık aynı değildir; hacimde kullanılan yükseklik her zaman iki taban düzlemi arasındaki dik uzaklıktır.

Yanal Alan, Toplam Alan ve Hacim

Dik prizmanın yan yüzleri, tabanın her ayrıtı için bir dikdörtgenden oluşur. Bu dikdörtgenlerin alanları toplandığında yanal alan=taban çevresi·h elde edilir. İki eş taban da eklendiğinde toplam yüzey alanı yanal alan+2·taban alanı olur. Hacim ise taban şekli ne olursa olsun taban alanı·h bağıntısıyla hesaplanır.

Alan ve hacim aynı tür büyüklük değildir. Uzunluklar santimetre verilmişse yüzey alanı santimetrekare, hacim santimetreküp cinsindendir. Tabanı düzgün olmayan bir prizma sorusunda önce taban alanı ve taban çevresi ayrı ayrı bulunmalıdır: taban alanı hacmi, taban çevresi ise yanal alanı belirler. Bir prizmanın bütün ayrıtları toplamı istenirse taban ayrıtları iki kez, yan ayrıtlar ise tabandaki köşe sayısı kadar sayılır.

DİKDÖRTGENLER PRİZMASI VE KÜP

Dikdörtgenler Prizmasının Alanı ve Hacmi

Ayrıtları a, b ve c olan dikdörtgenler prizmasının üç farklı yüzü ab, ac ve bc alanlı dikdörtgenlerdir. Her yüzün karşısında özdeşi bulunduğundan toplam yüzey alanı 2(ab+ac+bc), hacmi abcdir. Prizmanın bir yüzeyi üzerine yatırılması hacmi değiştirmez; yalnız taban alanı ve buna bağlı yükseklik değişir.

Dikdörtgenler prizmasında karşılıklı yüzler eş ve paraleldir. Toplam ayrıt uzunluğu 4(a+b+c) olur; çünkü a, b ve c uzunluklarının her birinden dörder ayrıt vardır. Hacim ve yüzey alanı birlikte verildiğinde yalnız ezber bağıntı yazmak yerine ab, ac ve bc yüz alanlarını değişken olarak görmek işlemi kısaltabilir. Örneğin yüz alanları x, y ve z ise toplam alan 2(x+y+z), hacmin karesi ise xyz çarpımına bağlıdır.

Yüzey Köşegeni ve Cisim Köşegeni

Bir dikdörtgen yüzün köşegeni iki ayrıtın oluşturduğu dik üçgenden bulunur. a ve c ayrıtlarını taşıyan yüzün köşegeni √(a²+c²)’dir. Cisim köşegeni ise karşılıklı iki köşeyi cismin içinden birleştirir; yüzey köşegeniyle üçüncü ayrıtın oluşturduğu dik üçgenden d=√(a²+b²+c²) bağıntısı elde edilir.

Küpün Temel Bağıntıları

Bütün ayrıtları a olan dikdörtgenler prizmasına küp denir. Altı yüzü de eş kare olduğundan yüzey alanı 6a², hacmi a³tür. Bir karenin köşegeni küpün yüzey köşegenini verir ve a√2’dir. Cisim köşegeni ise üç eş ayrıt kullanılarak a√3 bulunur.

AÇINIMLAR VE UYGULAMALAR

Prizma ve Küp Açınımları

Katı cismin yüzleri ayrıtlarından kesilip aynı düzleme yatırıldığında açınım elde edilir. Açınımda yüzlerin büyüklüğü değişmez; yalnız komşuluk düzeni düzleme taşınır. Bir küp açınımı altı eş kareden oluşur. Katlama sırasında üst üste gelecek iki yüz aynı anda cismin farklı yüzlerini oluşturamayacağı için açınım sorularında yüz komşulukları ve karşıt yüzler izlenir.

Bir yüzün açınımda yan yana görünmesi, katlandığında mutlaka karşıt yüz olacağı anlamına gelmez; ortak kenarı bulunan kareler küpte komşu yüzlere dönüşür. Karşıt yüzleri belirlemek için bir yüz sabit tutulup çevresindeki yüzlerin doksan derece katlandığı düşünülür. Küp üzerinde aynı köşede buluşan üç yüz birbirine karşıt olamaz. Sayı veya sembol yerleştirilmiş açınımlarda bu komşuluk bilgisi, görülemeyen yüzü zihinde çevirmeden bulmayı sağlar.

Yüzey Üzerinde En Kısa Yol

Bir prizmanın farklı yüzlerinde bulunan iki nokta arasındaki en kısa yüzey yolu, geçilecek yüzler aynı düzleme açılarak bulunur. Açınımda başlangıç ve bitiş noktalarını birleştiren doğru parçası en kısa yoldur. Aynı iki nokta için farklı yüz çiftleri açılabiliyorsa her olasılığın dikdörtgen köşegeni hesaplanır ve en küçüğü seçilir.

Birim Küpler ve Boyalı Yüzler

Büyük bir küp eş küçük küplere ayrıldığında küçük küplerin boyalı yüz sayısı konumlarına göre değişir. Köşedeki küçük küplerin üç, ayrıt üzerindekilerin iki, yüzlerin iç kısmındakilerin bir yüzü boyalıdır; tamamen içeride kalanların boyalı yüzü yoktur. n×n×n bir küpte içte kalan küçük küp sayısı n en az 3 olmak üzere (n−2)³tür.

Tam boyalı n×n×n küpte üç yüzü boyalı küp sayısı her zaman 8’dir. İki yüzü boyalı olanlar köşeler dışındaki ayrıt küpleridir ve sayıları 12(n−2) olur. Yalnız bir yüzü boyalı olanlar altı yüzün iç bölgelerinde yer alır; sayıları 6(n−2)²dir. Bu dört grup 8+12(n−2)+6(n−2)²+(n−2)³=n³ eşitliğiyle bütün küçük küpleri vermelidir.

Parça Çıkarma ve Yüzey Alanı Değişimi

Bir katı cisimden parça çıkarıldığında hacim, çıkarılan parçanın hacmi kadar azalır. Yüzey alanındaki değişim ise yalnız dışarıdan kaybolan alanla belirlenmez; kesimle açığa çıkan yeni iç yüzler de hesaba katılır. Köşeden birim küp çıkarılırsa dışarıdaki üç kare kaybolur, aynı büyüklükte üç yeni kare açığa çıkar ve toplam yüzey alanı değişmez. Yüzün ortasından oyuk açıldığında ise yeni iç yüzler alanı artırabilir.

Sıvı Seviyesi ve Taban Değişimi

Prizma biçimli kaplarda sıvı hacmi korunur. Kap başka bir yüzü üzerine çevrildiğinde yeni sıvı yüksekliği sıvı hacmi/yeni taban alanı ile bulunur. Kaba tamamen batan katı cisimler atılırsa taşma olmadığı sürece sıvı seviyesindeki artış, batan cisimlerin toplam hacminin kabın taban alanına bölünmesine eşittir.

Sıvı probleminde önce kabın hangi yüzünün taban olduğu belirlenmelidir. Kap eğilmeden yalnız başka bir yüzü üzerine çevriliyorsa sıvı hacmi sabit kalır; yeni taban alanı büyüdükçe yükseklik küçülür. Bir cisim sıvıda tamamen batmıyorsa yer değiştirdiği hacim cismin bütün hacmi değildir; sorunun verdiği batma oranı veya taşan sıvı miktarı esas alınır. Kap doluysa eklenen cismin yer değiştirdiği hacim kadar sıvı taşar.