EBOB, EKOK ve periyodik problemler, sayıların ortak bölen ve ortak kat yapısını günlük yaşam durumlarına dönüştürür. TYT’de yalnız işlem sonucu değil; bir sorunun EBOB mu, EKOK mu gerektirdiğini ayırt etme, verilen koşulları matematiksel modele çevirme ve birden fazla bilgiyi birlikte kullanma becerisi ölçülür.
Bu yazıda EBOB ve EKOK’un hesaplanmasını, iki sayı arasındaki temel bağıntıyı, eş parçalara ayırma ve ortak tekrar problemlerini, kalanlı modelleri ve çözümü hızlandıran sayı gösterimlerini ayrıntılı biçimde ele alacağız.
En Büyük Ortak Bölen (EBOB)
EBOB’un Tanımı ve Hesaplanması
İki veya daha fazla pozitif tam sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir. EBOB(a, b) biçiminde gösterilir. Örneğin 24 ile 36’nın ortak pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 olduğundan EBOB(24, 36) = 12’dir.
Sayılar asal çarpanlarına ayrıldığında ortak asal çarpanların küçük üsleri alınır. 252 = 2² * 3² * 7 ve 360 = 2³ * 3² * 5 olduğundan EBOB(252, 360) = 2² * 3² = 36 bulunur. İkiden fazla sayıda da yalnız bütün sayılarda ortak bulunan asal çarpanlar hesaba katılır.
Eş Parça ve Eş Grup Problemleri
Bir büyüklük artmayacak biçimde en büyük eş parçalara ayrılıyorsa ya da nesneler en fazla sayıda özdeş gruba dağıtılıyorsa EBOB kullanılır. Parça ölçüsü soruluyorsa EBOB’un kendisi; parça veya grup sayısı soruluyorsa toplam büyüklükler EBOB’a bölünür.
Dikdörtgen bir zemini en büyük eş karelerle kaplama, farklı uzunluktaki çubukları eş ve en uzun parçalara kesme, farklı türde ürünleri birbirine karıştırmadan eş kaplara ayırma bu modele örnektir. Çevreye eş aralıklarla direk yerleştirme sorularında ise köşelerin de seçilen aralığa uyması gerekir.
En Küçük Ortak Kat (EKOK)
EKOK’un Tanımı ve Hesaplanması
İki veya daha fazla pozitif tam sayının ortak pozitif katlarının en küçüğüne en küçük ortak kat denir. EKOK(a, b) biçiminde gösterilir. Asal çarpan gösteriminde sayılarda bulunan bütün asal çarpanların büyük üsleri alınır.
Örneğin 18 = 2 * 3², 24 = 2³ * 3 ve 30 = 2 * 3 * 5 olduğundan EKOK(18, 24, 30) = 2³ * 3² * 5 = 360’tır. Sayılardan biri diğerinin katıysa EBOB küçük sayıya, EKOK büyük sayıya eşittir. Aralarında asal sayıların EBOB’u 1, EKOK’u ise sayıların çarpımıdır.
Periyodik Olaylar ve İlk Ortak Tekrar
Belirli aralıklarla tekrarlanan olayların yeniden aynı anda gerçekleşeceği ilk süre EKOK ile bulunur. Zil, servis, nöbet, tur, bakım ve üretim döngüsü soruları bu yapıdadır. Başlangıç anları aynıysa periyotların EKOK’u doğrudan eklenir. Başlangıç anları farklıysa yalnız EKOK almak yetmez; zamanların her periyoda göre kalan koşulları birlikte sağlanmalıdır.
EBOB ile EKOK Arasındaki Bağıntı
İki Sayının Çarpımı
Pozitif iki tam sayı için EBOB(a, b) * EKOK(a, b) = a * b bağıntısı geçerlidir. Bu eşitlik üç veya daha fazla sayıya aynı biçimde uygulanmaz. İki sayıdan biri, EBOB ya da EKOK bilinmiyorsa eksik değer bu bağıntıyla bulunabilir.
Ortak Bölenle Parametreleme
EBOB(a, b) = d ise sayılar a = d * m ve b = d * n biçiminde yazılır. Burada m ile n aralarında asaldır; aksi hâlde d, en büyük ortak bölen olamaz. Bu gösterimde EKOK(a, b) = d * m * n olur. Toplam, fark veya sayı adedi sorularında aralarında asallık koşulu mutlaka denetlenmelidir.
Kalanlı EBOB ve EKOK Problemleri
Bir Sayının Birden Fazla Bölenle Aynı Kalanı Vermesi
Bir N sayısı a, b ve c sayılarına bölündüğünde aynı r kalanını veriyorsa N – r sayısı a, b ve c’nin ortak katıdır. En küçük uygun N değeri için genellikle N = EKOK(a, b, c) + r alınır. Aralık koşulu varsa ortak katların hangisinin aralığa düştüğü ayrıca belirlenir.
Farklı Sayıların Aynı Bölenle Aynı Kalanı Vermesi
Birden fazla sayı x ile bölündüğünde aynı kalanı veriyorsa bu sayıların ikili farkları x’e tam bölünür. En büyük x değeri, pozitif farkların EBOB’udur. Bulunan bölenin ortak kalandan büyük olması gerektiği unutulmamalıdır; çünkü kalan her zaman bölenden küçüktür.
EBOB ve EKOK Sorularında Sağlam Çözüm Alışkanlıkları
Önce sorunun neyi ortaklaştırdığını belirleyin: bölünen bir ölçü mü, tekrarlanan bir süre mi? Ardından sonucu değil, önce ortak bölen ya da ortak kat değerini bulun. Parça sayısı, paket içeriği, toplam süre veya saat bilgisi soruluyorsa bulunan değeri sorunun bağlamına yeniden uygulayın.
Sonucun koşulları sağlayıp sağlamadığını kısa bir kontrolle sınayın. En büyük parça bütün uzunlukları kalansız bölmeli; ilk ortak tekrar bütün periyotların katı olmalı; kalanlı sorularda kalan bölenden küçük kalmalıdır. Bu denetim, doğru yöntemi seçip son adımda yapılan hataları önemli ölçüde azaltır.