TYT asal sayılar ve asal çarpanlara ayırma konu anlatımında asal sayının temel özellikleri, asallık testi, aralarında asallık, asal çarpan gösterimi, bölen sayısı ve bölen toplamı ele alınacaktır. TYT Matematik konularının tamamına TYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
Asal Sayılar
Asal Sayının Tanımı ve Temel Özellikleri
1’den büyük, yalnız 1’e ve kendisine tam bölünebilen doğal sayılara asal sayı denir. İlk asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 biçiminde ilerler. 1 asal değildir; çünkü yalnız bir pozitif böleni vardır. 0 ve negatif sayılar da bu tanım kapsamında asal kabul edilmez.
2, tek çift asal sayıdır. 2’den büyük bütün çift sayılar 2’ye bölündüğü için bileşiktir. Asal rakamlar 2, 3, 5 ve 7’dir. İki asal sayının toplamı veya farkı her zaman asal olmaz; bu nedenle sonuç ayrıca sınanmalıdır.
Bir Sayının Asal Olup Olmadığını Sınama
n > 1 doğal sayısının asal olup olmadığını anlamak için √n’den küçük veya eşit asal bölenleri denemek yeterlidir. n bileşikse çarpanlarından en az biri √n’den küçük veya eşittir. Örneğin 113 için √113 yaklaşık 10,6 olduğundan yalnız 2, 3, 5 ve 7 kontrol edilir.
Son rakamı çift ya da 5 olan, rakamlar toplamı 3’ün katı olan sayılar ilgili küçük asal sayılara bölünür. Bu hızlı kontrollerden sonra kalan asal bölenler denenir. Hiçbiri bölmüyorsa sayı asaldır.
Aralarında Asal Sayılar
Ortak Böleni 1 Olan Sayılar
1’den başka ortak pozitif böleni olmayan iki veya daha fazla doğal sayı aralarında asaldır. Sayıların ayrı ayrı asal olması gerekmez. Örneğin 8 ile 15 aralarında asaldır; 8 ve 15 bileşik olduğu hâlde ortak asal çarpanları yoktur.
Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır. Ardışık iki tek sayı da aralarında asaldır; çünkü ortak bölenleri farkları olan 2’yi bölmeli, fakat iki sayı da tek olduğu için 2 ortak bölen olamaz. 1, bütün pozitif doğal sayılarla aralarında asaldır.
Aralarında Asallığın Cebirsel Kullanımı
Aralarında asal iki sayının çarpımı belirli bir sayıya bölünüyorsa asal çarpanlar iki sayı arasında paylaştırılabilir. Ayrıca a ile b aralarında asal ve a, b * c çarpımını bölüyorsa a sayısı c’yi bölmek zorundadır.
Kesir sadeleştirmelerinde pay ile paydanın aralarında asal olduğu bilgisi, eşit iki kesrin pay ve paydalarını ayrı ayrı eşleştirmeyi sağlar. Ancak ortak çarpan bulunduğunda bu ayrım doğrudan yapılamaz.
Asal Çarpanlara Ayırma
Asal Çarpan Gösterimi
Ardışık bölme yönteminde her adımda bölüm yeni bölünen olur; işlem bölüm 1 olana kadar sürdürülür. 360 sayısının asal çarpanlarına ayrılması aşağıdaki görselde gösterilmiştir.
Tablodaki asal bölenlerin çarpımı 360’ı verir: 360 = 23 * 32 * 5. Üsler, ilgili asal bölenin kaç kez kullanıldığını gösterir.
N = 2⁴ * 3² * 5 sayısı için N60 işleminin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Tam Kare ve Tam Küp İçin Üsler
Bir doğal sayının tam kare olması için asal çarpan gösterimindeki bütün üsler çift; tam küp olması için bütün üsler 3’ün katı olmalıdır. Eksik üsler uygun çarpanla tamamlanabilir.
Örneğin 540 = 2² * 3³ * 5’tir. Tam kare yapmak için 3 ve 5 üslerini çift sayıya tamamlamak gerekir; en küçük çarpan 3 * 5 = 15’tir. 540 * 15 = 8100 = 90² olur.
Pozitif Bölen Sayısı ve Bölen Toplamı
Pozitif Bölen Sayısı Formülü
N = pᵃ * qᵇ * rᶜ biçiminde farklı asal sayıların çarpımı olarak yazılmışsa her bölen, bu asal sayıların üslerinden bağımsız seçimlerle oluşur. p’nin üssü 0 ile a arasında a + 1, q’nun üssü b + 1 ve r’nin üssü c + 1 farklı değer alır.
Bu nedenle N’nin pozitif bölen sayısı (a + 1)(b + 1)(c + 1) olur. Tam sayı bölenleri sorulursa her pozitif bölenin negatifi de bulunduğundan sonuç iki katına çıkar. Sıfır hiçbir sayının böleni değildir.
Pozitif Bölenlerin Toplamı
N = pᵃ * qᵇ ise pozitif bölenlerin toplamı (1 + p + p² + … + pᵃ)(1 + q + q² + … + qᵇ) biçiminde bulunur. Her parantez, o asal çarpanın bölen içindeki olası kuvvetlerini temsil eder.
Örneğin 12 = 2² * 3 olduğundan bölen toplamı (1 + 2 + 4)(1 + 3) = 7 * 4 = 28’dir. Gerçekten 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 olur.
Belirli Özellikteki Bölenler
Tek, Çift veya Belirli Bir Sayının Katı Bölenler
Tek bölenlerde 2’nin üssü zorunlu olarak 0’dır; diğer asal çarpanların üsleri serbestçe seçilir. Çift bölen sayısı, toplam bölen sayısından tek bölen sayısı çıkarılarak bulunabilir.
Bir bölenin 12’nin katı olması isteniyorsa bölen içinde en az 2² * 3 bulunmalıdır. Zorunlu üsler sabitlendikten sonra kalan üs seçimleri sayılır. İstenen asal çarpan sayı içinde yeterli kuvvette yoksa böyle bir bölen bulunamaz.
Bölen Sayısından Sayının Yapısını Bulma
Pozitif bölen sayısı verildiğinde bu sayı çarpanlarına ayrılır ve üslerin bir fazlası olarak yorumlanır. Örneğin 12 bölenli bir sayı p¹¹, p⁵q, p³q² veya p²qr gibi farklı asal çarpan yapılarında olabilir.
En küçük sayı soruluyorsa büyük üs en küçük asal sayıya verilmelidir. Ayrıca aynı üs yapısında asal sayılar küçükten büyüğe seçilir. Böylece çarpım en küçük olur.
Bir sayının asal çarpan gösterimindeki üsler, pozitif bölenlerini oluşturan asal çarpan seçimlerini belirler. Bölen sayısı, bölenlerin toplamı ve belirli asal çarpan koşullarını sağlayan bölenlerin sayısı bu seçimler üzerinden hesaplanır.