Asal sayılar ve asal çarpanlara ayırma, doğal sayıların çarpımsal yapısını anlamayı sağlar. TYT’de bu konu; asal sayı özellikleri, aralarında asallık, bir sayının asal çarpanlarını bulma, pozitif bölen sayısını hesaplama ve belirli özelliğe sahip bölenleri sayma sorularıyla karşımıza çıkar.
Bu yazıda asal sayıların temel özelliklerini, asal olup olmadığını sınama yöntemini, aralarında asal sayıları, asal çarpan gösterimini ve bölen formüllerini ayrıntılı biçimde inceleyeceğiz.
Asal Sayılar
Asal Sayının Tanımı ve Temel Özellikleri
1’den büyük, yalnız 1’e ve kendisine tam bölünebilen doğal sayılara asal sayı denir. İlk asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 biçiminde ilerler. 1 asal değildir; çünkü yalnız bir pozitif böleni vardır. 0 ve negatif sayılar da bu tanım kapsamında asal kabul edilmez.
2, tek çift asal sayıdır. 2’den büyük bütün çift sayılar 2’ye bölündüğü için bileşiktir. Asal rakamlar 2, 3, 5 ve 7’dir. İki asal sayının toplamı veya farkı her zaman asal olmaz; bu nedenle sonuç ayrıca sınanmalıdır.
Bir Sayının Asal Olup Olmadığını Sınama
n > 1 doğal sayısının asal olup olmadığını anlamak için √n’den küçük veya eşit asal bölenleri denemek yeterlidir. n bileşikse çarpanlarından en az biri √n’den küçük veya eşittir. Örneğin 113 için √113 yaklaşık 10,6 olduğundan yalnız 2, 3, 5 ve 7 kontrol edilir.
Son rakamı çift ya da 5 olan, rakamlar toplamı 3’ün katı olan sayılar ilgili küçük asal sayılara bölünür. Bu hızlı kontrollerden sonra kalan asal bölenler denenir. Hiçbiri bölmüyorsa sayı asaldır.
Aralarında Asal Sayılar
Ortak Böleni 1 Olan Sayılar
1’den başka ortak pozitif böleni olmayan iki veya daha fazla doğal sayı aralarında asaldır. Sayıların ayrı ayrı asal olması gerekmez. Örneğin 8 ile 15 aralarında asaldır; 8 ve 15 bileşik olduğu hâlde ortak asal çarpanları yoktur.
Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır. Ardışık iki tek sayı da aralarında asaldır; çünkü ortak bölenleri farkları olan 2’yi bölmeli, fakat iki sayı da tek olduğu için 2 ortak bölen olamaz. 1, bütün pozitif doğal sayılarla aralarında asaldır.
Aralarında Asallığın Cebirsel Kullanımı
Aralarında asal iki sayının çarpımı belirli bir sayıya bölünüyorsa asal çarpanlar iki sayı arasında paylaştırılabilir. Ayrıca a ile b aralarında asal ve a, b * c çarpımını bölüyorsa a sayısı c’yi bölmek zorundadır.
Kesir sadeleştirmelerinde pay ile paydanın aralarında asal olduğu bilgisi, eşit iki kesrin pay ve paydalarını ayrı ayrı eşleştirmeyi sağlar. Ancak ortak çarpan bulunduğunda bu ayrım doğrudan yapılamaz.
Asal Çarpanlara Ayırma
Asal Çarpan Gösterimi
1’den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı biçiminde tek türlü yazılabilir; yalnız çarpanların sırası değişebilir. Bu gösterime sayının asal çarpanlarına ayrılması denir. Örneğin 360 = 2³ * 3² * 5’tir.
Çarpan ağacı veya ardışık bölme yöntemi kullanılabilir. Hangi yöntem seçilirse seçilsin dalların sonunda yalnız asal sayılar kalmalıdır. Üs, ilgili asal çarpanın kaç kez tekrarlandığını gösterir.
Tam Kare ve Tam Küp İçin Üsler
Bir doğal sayının tam kare olması için asal çarpan gösterimindeki bütün üsler çift; tam küp olması için bütün üsler 3’ün katı olmalıdır. Eksik üsler uygun çarpanla tamamlanabilir.
Örneğin 540 = 2² * 3³ * 5’tir. Tam kare yapmak için 3 ve 5 üslerini çift sayıya tamamlamak gerekir; en küçük çarpan 3 * 5 = 15’tir. 540 * 15 = 8100 = 90² olur.
Pozitif Bölen Sayısı ve Bölen Toplamı
Pozitif Bölen Sayısı Formülü
N = pᵃ * qᵇ * rᶜ biçiminde farklı asal sayıların çarpımı olarak yazılmışsa her bölen, bu asal sayıların üslerinden bağımsız seçimlerle oluşur. p’nin üssü 0 ile a arasında a + 1, q’nun üssü b + 1 ve r’nin üssü c + 1 farklı değer alır.
Bu nedenle N’nin pozitif bölen sayısı (a + 1)(b + 1)(c + 1) olur. Tam sayı bölenleri sorulursa her pozitif bölenin negatifi de bulunduğundan sonuç iki katına çıkar. Sıfır hiçbir sayının böleni değildir.
Pozitif Bölenlerin Toplamı
N = pᵃ * qᵇ ise pozitif bölenlerin toplamı (1 + p + p² + … + pᵃ)(1 + q + q² + … + qᵇ) biçiminde bulunur. Her parantez, o asal çarpanın bölen içindeki olası kuvvetlerini temsil eder.
Örneğin 12 = 2² * 3 olduğundan bölen toplamı (1 + 2 + 4)(1 + 3) = 7 * 4 = 28’dir. Gerçekten 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 olur.
Belirli Özellikteki Bölenler
Tek, Çift veya Belirli Bir Sayının Katı Bölenler
Tek bölenlerde 2’nin üssü zorunlu olarak 0’dır; diğer asal çarpanların üsleri serbestçe seçilir. Çift bölen sayısı, toplam bölen sayısından tek bölen sayısı çıkarılarak bulunabilir.
Bir bölenin 12’nin katı olması isteniyorsa bölen içinde en az 2² * 3 bulunmalıdır. Zorunlu üsler sabitlendikten sonra kalan üs seçimleri sayılır. İstenen asal çarpan sayı içinde yeterli kuvvette yoksa böyle bir bölen bulunamaz.
Bölen Sayısından Sayının Yapısını Bulma
Pozitif bölen sayısı verildiğinde bu sayı çarpanlarına ayrılır ve üslerin bir fazlası olarak yorumlanır. Örneğin 12 bölenli bir sayı p¹¹, p⁵q, p³q² veya p²qr gibi farklı asal çarpan yapılarında olabilir.
En küçük sayı soruluyorsa büyük üs en küçük asal sayıya verilmelidir. Ayrıca aynı üs yapısında asal sayılar küçükten büyüğe seçilir. Böylece çarpım en küçük olur.