Bölünebilme kuralları, uzun bölme işlemi yapmadan bir sayının belirli bir doğal sayıya tam bölünüp bölünmediğini anlamayı sağlar. TYT sorularında bu kurallar çoğunlukla bilinmeyen rakamları bulma, birden fazla bölünebilme koşulunu birleştirme ve kalan hesaplama biçiminde kullanılır.
Bu konuda 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 ve 11 ile bölünebilme kurallarını; bileşik sayılarda ortak koşul kurmayı ve bölünebilme bilgisiyle kalan bulmayı inceleyeceğiz.
Son Basamaklara Bağlı Kurallar
2, 5 ve 10 ile Bölünebilme
Bir doğal sayının birler basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 ise sayı 2 ile tam bölünür. Birler basamağı 0 ya da 5 ise sayı 5 ile; yalnız 0 ise 10 ile tam bölünür. Bu üç kuralda diğer basamakların değeri sonucu etkilemez.
Bir sayının 2’ye bölümünden kalan, son rakamının 2’ye bölümünden kalandır. Aynı biçimde 5 ve 10’a göre kalan da yalnız son rakamdan bulunabilir. Örneğin 3874 sayısının 5’e bölümünden kalan 4’tür.
4 ve 8 ile Bölünebilme
Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı 4’ün katıysa sayı 4 ile tam bölünür. Son üç basamağın oluşturduğu sayı 8’in katıysa sayı 8 ile tam bölünür. Bunun nedeni 100’ün 4’e, 1000’in ise 8’e tam bölünmesidir.
Son iki veya üç basamak sıfırla başlayabilir. 12 032 sayısında 4 için 32, 8 için 032 yani 32 incelenir. Kalan sorularında da bütün sayı yerine bu son bölüm kullanılabilir.
Rakamlar Toplamına Bağlı Kurallar
3 ve 9 ile Bölünebilme
Rakamları toplamı 3’ün katı olan sayılar 3 ile, 9’un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. Sayının bu bölenlere göre kalanı, rakamları toplamının aynı sayıya bölümünden kalanla aynıdır.
Örneğin 53 827 sayısının rakamları toplamı 25’tir. Bu nedenle sayı 3’e ve 9’a tam bölünmez; 3’e bölümünden kalan 1, 9’a bölümünden kalan 7’dir. Rakamlar toplamı tekrar toplanabilir: çok büyük bir toplamda aynı işlem tek basamak kalana kadar sürdürülebilir.
Çok Uzun Sayılarda Rakam Toplamı
Tekrarlanan rakam bloklarıyla yazılmış sayılarda sayının tamamını oluşturmak gerekmez. 123 bloğu n kez yan yana yazılmışsa rakamlar toplamı n * (1 + 2 + 3) = 6n olur. Böylece 3 veya 9’a göre kalan hızlıca hesaplanır.
Üslü veya basamak sayısı çok büyük ifadelerde de aynı yaklaşım kullanılabilir; fakat sayının ondalık yazımı bilinmiyorsa doğrudan rakam toplamı kuralı kullanılamaz. Böyle durumlarda kalan aritmetiği tercih edilir.
11 ile Bölünebilme
Alternatif Rakamlar Toplamı
Bir sayının rakamları sağdan veya soldan başlanarak sırayla artı ve eksi işaretli iki gruba ayrılır. Bu iki grubun toplamları arasındaki fark 0 veya 11’in katıysa sayı 11 ile tam bölünür.
ABCDE sayısı için A – B + C – D + E ifadesi kullanılabilir. Sonuç negatif çıkarsa mutlak değeri alınabilir ya da 11’in uygun katı eklenebilir. İşaretlere hangi uçtan başlandığı sonucu yalnız işaretçe değiştirir; bölünebilme kararını değiştirmez.
Bileşik Sayılarda Bölünebilme
Aralarında Asal Çarpanları Birleştirme
Bir sayı, aralarında asal iki sayının her birine tam bölünüyorsa bu sayıların çarpımına da tam bölünür. Örneğin 6 = 2 * 3 olduğundan 6 ile bölünebilmek için hem 2 hem 3; 15 = 3 * 5 için hem 3 hem 5 koşulu gerekir.
Çarpanlar aralarında asal değilse yalnız ayrı ayrı bölünmek çarpıma bölünmeyi garanti etmez. Bir sayının 4’e ve 6’ya bölünmesi, 24’e değil EKOK(4, 6) = 12’ye bölünmesini garanti eder. Bu yüzden 12 için 3 ve 4; 18 için 2 ve 9; 24 için 3 ve 8; 36 için 4 ve 9; 45 için 5 ve 9 koşulları kullanılabilir.
| Bölen | Birlikte uygulanacak kurallar |
|---|---|
| 6 | 2 ve 3 |
| 12 | 3 ve 4 |
| 15 | 3 ve 5 |
| 18 | 2 ve 9 |
| 24 | 3 ve 8 |
| 36 | 4 ve 9 |
| 45 | 5 ve 9 |
| 72 | 8 ve 9 |
Birden Fazla Kuralın Sırası
Birden fazla bölünebilme koşulu varsa önce en az basamağı etkileyen kural uygulanır. Son basamağı belirleyen 2, 5 veya 10; son iki basamağı belirleyen 4; son üç basamağı belirleyen 8 kuralları olası rakamları hızla azaltır. Ardından bütün rakamları kullanan 3, 9 veya 11 kuralı uygulanır.
Bu sıra zorunlu değildir; ancak gereksiz denemeyi azaltır. Rakamları farklı koşulu varsa her aday üretildikten sonra tekrar kontrol edilmelidir.
Bölünebilme ve Kalan İlişkileri
Kurallarla Kalan Bulma
Bir kural yalnız tam bölünmeyi değil, kalanı da buldurabilir. 3 ve 9 için rakamlar toplamının; 4 için son iki, 8 için son üç basamağın kalanı bütün sayının kalanıdır. 11 için alternatif toplam 11’e göre standart kalana çevrilir.
Örneğin 58 437’nin 9’a bölümünden kalan, 5 + 8 + 4 + 3 + 7 = 27 olduğundan 0’dır. 58 437’nin 8’e bölümünden kalanı ise 437’nin 8’e bölümünden kalan 5’tir.
Sayı Basamaklarıyla Birlikte Kullanım
Bölünebilme sorularında harfler rakam temsil eder. İlk basamaktaki harf sıfır olamaz; aynı harf tekrar ediyorsa aynı rakamı gösterir. Rakamların farklı olduğu belirtilmişse her aday bu koşulla elenir.
Bir sayının basamakları yer değiştirdiğinde 3 ve 9’a bölünebilme değişmez; çünkü rakamlar toplamı aynıdır. Buna karşılık 2, 4, 5, 8, 10 ve 11 kuralları basamak sırasından etkilenebilir.
Çarpımın Bölünebilirliği
Bir çarpımın belirli bir sayıya bölünebilmesi için gerekli asal çarpanlar çarpanların tamamında birlikte bulunmalıdır. Örneğin A * B çarpımının 12’ye bölünmesi için toplamda iki tane 2 ve bir tane 3 çarpanı bulunmalıdır; bunların tek bir çarpanda bulunması gerekmez.
“Çarpanlardan biri 12’ye bölünmelidir” çıkarımı yanlıştır. 4 * 3 çarpımı 12’ye bölünürken ne 4 ne 3 tek başına 12’ye bölünür. Bu tür sorularda çarpanların asal çarpan yapısı incelenir.