Bölme ve kalanlı işlemler, bir doğal sayının başka bir doğal sayı cinsinden nasıl ifade edildiğini inceler. TYT sorularında bölünen, bölen, bölüm ve kalan bazen doğrudan verilir; bazen de sayı basamakları, ardışık işlemler veya günlük bir paylaşım problemi içinde gizlenir.
Bu konuda bölme algoritmasını, kalan sınırını, olası bölen ve kalanları, aynı bölenle yapılan işlemleri ve cebirsel ifadelerde kalan bulmayı öğreneceğiz. Bölünebilme kuralları ise bir sonraki konu olan Bölünebilme Kuralları yazısında ele alınacaktır.
Bölme İşleminin Temel Yapısı
Bölünen, Bölen, Bölüm ve Kalan
N bir doğal sayı, d pozitif bir doğal sayı olmak üzere N sayısı d’ye bölündüğünde bölüm q ve kalan r ise temel eşitlik N = d * q + r biçimindedir. Burada N bölünen, d bölen, q bölüm ve r kalandır.
Örneğin 157 sayısının 12’ye bölümünde bölüm 13, kalan 1’dir; çünkü 157 = 12 * 13 + 1 olur. Eşitlik tek başına yeterli değildir. Bir bölme işleminin geçerli olabilmesi için kalan ayrıca 0 ≤ r < d koşulunu sağlamalıdır.
Kalanın Sınırı
Kalan negatif olamaz ve daima bölenden küçüktür. Bölen d ise kalan 0, 1, 2, …, d – 1 değerlerinden birini alabilir. Bu nedenle kalan en çok d – 1’dir. “Kalan 8’dir” denildiğinde bölenin en az 9 olması gerektiği hemen anlaşılır.
Kalan bölene eşit veya bölenden büyükse bölme tamamlanmamıştır. Örneğin N = 7 * 12 + 9 yazımı 7’ye göre geçerli bir bölüm–kalan gösterimi değildir. 9 = 7 + 2 olduğundan bir 7 daha bölüme aktarılır ve N = 7 * 13 + 2 biçimi elde edilir.
Bilinmeyen Bölme Öğelerini Bulma
Bölen veya Bölüm Bilinmiyorsa
Bölünen, bölüm ve kalan verildiğinde bölen d = (N – r) / q ile bulunabilir. Ancak elde edilen değerin pozitif tam sayı olması ve r < d koşulunu sağlaması gerekir. Benzer şekilde bölen biliniyorsa bölüm q = (N – r) / d olur.
Bazen bölüm veya bölen için yalnız bir aralık belirlenebilir. Bu durumda temel eşitlik ile kalan sınırı birlikte eşitsizliğe dönüştürülür. Bir önceki örnekte olduğu gibi N = dq + r ve r < d, dq ≤ N < d(q + 1) sonucunu verir.
Bölen ile Kalan Arasında Bağıntı
Kalanın bölen cinsinden verildiği sorularda sınır koşulu ayrıca değerlendirilir. Örneğin kalan d – 3 ise d ≥ 3 olmasının yanında kalan negatif olamayacağı için d ≥ 3 gerekir; kalan pozitif denmişse d > 3 olmalıdır.
Bölen ile bölüm yer değiştirdiğinde aynı sonuç çıkmak zorunda değildir. N = d * q + r eşitliğinde çarpım değişmese bile yeni kalan koşulu eski kalanın yeni bölenden küçük olmasını gerektirir. Bu ayrıntı, “bölen ile bölüm yer değiştirebilir mi?” sorularında belirleyicidir.
Kalan Üzerinden İşlem Yapma
Bir İfadenin Kalanını Bulma
N sayısının d’ye bölümünden kalan r ise N = dq + r yazılır. N yerine r kullanılarak toplam, fark ve çarpım ifadelerinin kalanı bulunabilir. Örneğin N’nin 7’ye bölümünden kalan 3 ise 5N + 4 ifadesi 7’ye göre 5 * 3 + 4 = 19 ile aynı kalanı verir; sonuç 5’tir.
Hesap sonunda bulunan değer bölenden büyükse yeniden bölünerek standart kalana indirgenir. Negatif sonuçlarda da bölenden uygun bir kat eklenir. Örneğin 8’e göre -3 kalanı, standart biçimde 5 olarak yazılır.
Aynı Bölene Göre Toplam ve Çarpım
A sayısının d’ye bölümünden kalan r, B sayısının kalanı s ise A + B’nin kalanı r + s; A * B’nin kalanı r * s üzerinden bulunur. Sonuç d’ye göre tekrar sadeleştirilir. Katsayılı ifadelerde her katsayı ilgili kalanla çarpılır.
Bu yöntem sayıların kendisini bulmayı gerektirmez. Ancak kullanılan bütün kalanlar aynı bölene ait olmalıdır. Farklı bölenlere göre verilen kalanlar doğrudan toplanamaz.
Bölünen Değiştiğinde Bölüm ve Kalan
N = dq + r iken N’ye d’nin k katı eklenirse bölüm k artar, kalan değişmez. N’ye d’nin katı olmayan bir sayı eklenirse önce r ile bu artış toplanır; toplam d’yi geçiyorsa bölüme aktarım yapılır.
Örneğin N’nin 12’ye bölümünde bölüm q, kalan 5 olsun. N + 34 = 12q + 39 = 12(q + 3) + 3 olur. Yeni bölüm q + 3, yeni kalan 3’tür.
Ardışık Bölme ve Paylaştırma Problemleri
Ardışık Bölme İşlemleri
Bir sayının önce bir sayıya, çıkan bölümün de başka bir sayıya bölündüğü sorularda her işlem için ayrı eşitlik kurulur. İkinci eşitlik birinciye yerleştirildiğinde başlangıç sayısı son bölüm cinsinden yazılabilir.
Örneğin N’nin 5’e bölümünde bölüm M, kalan 2; M’nin 3’e bölümünde bölüm K, kalan 1 ise M = 3K + 1 ve N = 5M + 2 olur. Böylece N = 15K + 7 elde edilir. Bu ifade N’nin 15’e bölümünden kalanın 7 olduğunu da gösterir.
Eşit Paylaştırma ve Artan Miktar
Bir nesne grubunun eşit kişilere dağıtılması bölme algoritmasının doğrudan yorumudur. Kişi sayısı bölen, kişi başına düşen miktar bölüm, dağıtılamayan miktar kalandır. Kalanın kişi sayısından küçük olması, yeni bir tam pay oluşturulamamasını ifade eder.
“Her kişiye bir tane daha verilseydi” türü koşullarda gereken ek miktar, bölen ile kalan arasındaki farktır. N = dq + r iken her gruba q + 1 nesne vermek için d – r ek nesne gerekir.
Özgün Tanımlı Bölme Soruları
TYT’de bölme bilgisi yeni bir sembol veya işlem tanımı içinde verilebilir. Böyle bir soruda sembolün günlük matematikteki anlamı aranmaz; tanımdaki bölüm ve kalan koşulları aynen eşitliğe çevrilir.
Tanım birden fazla durum içeriyorsa her durum ayrı incelenir. Sonuç bulunduğunda kalan sınırı mutlaka kontrol edilir; aksi hâlde cebirsel eşitliği sağlayan fakat geçerli bölme oluşturmayan değerler çözüme karışabilir.