Sayı basamakları ve çözümleme, bir sayının rakamlarını yalnız yan yana duran semboller olarak değil, bulundukları konuma göre değer kazanan parçalar olarak ele alır. TYT’de bu temel bilgi; ters yazılan sayılar, rakamları değiştirilen sayılar, en büyük–en küçük değerler ve özgün tanımlı problemler içinde kullanılır.
Bu konuda sayı ile rakam arasındaki farkı, sayı ve basamak değerlerini, çok basamaklı sayıların cebirsel gösterimini, rakam değişikliklerinin sayıya etkisini ve basamak koşullarına bağlı sayma problemlerini inceleyeceğiz.
Rakam, Sayı ve Basamak Kavramları
Rakam ve Sayı Arasındaki Fark
Sayıları yazmak için kullanılan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 sembollerinin her birine rakam denir. Rakam sayısı on tanedir; fakat bu rakamlarla yazılabilecek doğal sayıların sayısı sonsuzdur. Örneğin 407 bir sayıdır ve 4, 0, 7 rakamlarından oluşur.
Bir sayının kaç basamaklı olduğu, yazımındaki rakam sayısıyla belirlenir. Bununla birlikte en soldaki rakam sıfır olamaz. Bu nedenle üç basamaklı bir doğal sayının yüzler basamağı 1 ile 9 arasında, diğer basamakları 0 ile 9 arasında değer alabilir. 052 yazımı üç basamaklı bir sayı değil, 52 sayısının başına gereksiz bir sıfır eklenmiş biçimidir.
Sayı Değeri ve Basamak Değeri
Bir rakamın sayı değeri, rakamın kendisidir. Basamak değeri ise rakamın sayı değeriyle bulunduğu basamağın değerinin çarpımıdır. 5836 sayısındaki 8’in sayı değeri 8, basamak değeri 800’dür. Aynı rakam farklı basamaklarda kullanıldığında sayı değeri değişmez, basamak değeri değişir.
Sağdan sola doğru basamaklar birler, onlar, yüzler, binler, on binler biçiminde ilerler ve her basamak bir öncekinin 10 katıdır. Bu yerleşim, onluk sayı sisteminin temelidir.
Basamak Çözümlemesi
İki ve Üç Basamaklı Sayıların Cebirsel Gösterimi
A ve B rakam olmak üzere iki basamaklı AB sayısı, çarpım anlamına gelmez; 10A + B biçiminde çözümlenir. Üç basamaklı ABC = 100A + 10B + C, dört basamaklı ABCD = 1000A + 100B + 10C + D olur.
Harfler rakam temsil ediyorsa her biri 0 ile 9 arasındadır. Sayının en soldaki harfi ayrıca sıfırdan farklı olmalıdır. Örneğin ABC üç basamaklıysa A ≠ 0’dır; B ve C sıfır olabilir. Aynı harfin tekrar kullanılması, o basamaklarda aynı rakamın bulunduğunu gösterir.
Özel biçimler çözümlemeyle hızlıca sadeleşir: AA = 11A, ABA = 101A + 10B, A0B = 100A + B ve AB0 = 10(10A + B) olur. Bu eşitlikler ezberlenmek yerine basamak değerlerinden kurulmalıdır.
Ters Yazılan Sayılar
İki basamaklı AB sayısının tersten yazılışı BA’dır. Bu sayıların toplamı AB + BA = 11(A + B), farkı ise AB – BA = 9(A – B) olur. Buna göre iki basamaklı bir sayı ile tersinin farkı her zaman 9’un katıdır.
Üç basamaklı ABC sayısı ters çevrildiğinde CBA olur. Fark ABC – CBA = 99(A – C) biçimindedir; ortadaki B rakamı farkta birbirini götürür. Sayının tersi de üç basamaklı kabul ediliyorsa C ≠ 0 koşulu unutulmamalıdır.
Rakam Değişiklikleri ve Basamak Denklemleri
Bir Rakam Değiştiğinde Sayı Nasıl Değişir?
Bir sayının birler basamağı k kadar artırılırsa sayı k; onlar basamağı k kadar artırılırsa 10k; yüzler basamağı k kadar artırılırsa 100k artar. Birden fazla rakam değişiyorsa etkiler işaretleriyle toplanır. Bu yöntem, yeni sayıyı baştan yazmadan net değişimi buldurur.
Rakam değişikliği sonunda ilgili rakamın 0 ile 9 arasında kalması gerekir. Örneğin onlar basamağı 8 olan bir sayı için “onlar basamağı 3 artırılıyor” ifadesi standart basamak yapısında doğrudan uygulanamaz; elde oluşuyorsa problemde ayrıca açıklanmalıdır.
Basamak Problemlerinde Denklem Kurma
Basamak probleminde önce harflerin rakam olduğu, ardından oluşturdukları sayının çözümlemesi yazılır. Örneğin ABC = 4 * AC bağıntısında 100A + 10B + C = 4(10A + C) kurulur. Denklem çözüldükten sonra A’nın sıfırdan farklı, bütün harflerin tam sayı ve 0–9 aralığında olduğu denetlenir.
Tek bir denklem birden fazla rakam üçlüsü verebilir. Bu durumda sorudaki “rakamları farklı”, “en büyük”, “kaç farklı” veya “rakamlar toplamı” gibi ek koşullar çözümün ayrılmaz parçasıdır. Cebirsel sonuç rakam sınırlarına uymuyorsa sayı modeli geçersizdir.
Rakam Koşullarıyla Sayı Oluşturma
En Büyük ve En Küçük Sayıyı Kurma
Bir sayı en büyük yapılacaksa en büyük uygun rakam en yüksek basamağa yerleştirilir. En küçük sayı kurulurken ise en soldaki basamağa sıfır yazılamayacağı için önce en küçük sıfırdan farklı rakam seçilir; sıfır varsa bundan sonraki en yüksek basamağa yerleştirilir.
Rakamlar toplamı sabitken sayıyı büyütmek için toplamın mümkün olan en büyük kısmı soldaki basamaklara aktarılır. Fakat her rakam en fazla 9 olabilir ve “rakamlar farklı” koşulunda hiçbir değer tekrar kullanılamaz.
Koşula Uyan Sayıları Sayma
“Kaç farklı sayı yazılabilir?” sorularında basamaklar bağımsızsa çarpma kuralı kullanılabilir. Ancak rakamlar toplamı, sıralama veya farklılık gibi koşullar basamakları birbirine bağlıyorsa doğrudan 9 * 10 * 10 hesabı yapılamaz. Önce koşul denklemle daraltılır, sonra geçerli rakam seçimleri sayılır.
Sıralama koşullarında seçilen rakam kümesinin kaç farklı diziliş oluşturduğu incelenir. A < B < C gibi kesin bir sıra varsa seçilen üç rakamın yalnız bir sıralaması uygundur. Sıfır seçilmişse ilk basamağa gelme yasağı ayrıca değerlendirilir.
Özgün Tanımlı Basamak Soruları
TYT’de bazen “dengeli sayı”, “simetrik sayı” veya başka bir adla yeni bir sayı türü tanımlanır. Bu adın önceden bilinmesi gerekmez. Önemli olan tanımı basamak denklemlerine çevirmek ve verilen örneği kuralın kontrolü için kullanmaktır.
Tanım içinde “birler ve yüzler basamağının toplamı onlar basamağının iki katıdır” deniyorsa ABC için A + C = 2B yazılır. Tanımın adından ek özellik çıkarılmaz; yalnız açıkça verilen koşullar uygulanır.