TYT Rasyonel Sayılar konu anlatımı kapsamında rasyonel sayıların tanımı, kesir türleri, denk kesirler ve sadeleştirme, dört işlem, karşılaştırma ve sıralama, işlem tersleri ve problemler işlenecektir.
TYT Matematik konularının tamamına TYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
Rasyonel Sayıların Tanımı ve Kesir Türleri
Rasyonel Sayı Nedir?
a ve b birer tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere ab biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Her tam sayı, paydası 1 alınarak kesir biçiminde yazılabildiği için aynı zamanda rasyoneldir.
Payda hiçbir zaman 0 olamaz. Payın 0 olması ise mümkündür: b ≠ 0 iken 0b = 0’dır. Kesrin önündeki eksi işareti paya veya paydaya taşınabilir; fakat iki tarafta birden eksi bulunursa kesir pozitif olur.
Basit, Bileşik ve Tam Sayılı Kesirler
Payının mutlak değeri paydasının mutlak değerinden küçük olan kesirlere basit kesir denir. Pozitif bir basit kesir 0 ile 1, negatif bir basit kesir -1 ile 0 arasındadır. Payının mutlak değeri paydasına eşit veya büyük olan kesirler bileşik kesirdir.
Bileşik kesirler, tam kısım ile basit kesrin birlikte yazıldığı tam sayılı kesir biçimine dönüştürülebilir. Örneğin 175 = 325 olur. Negatif sayılarda işaret bütün sayıya aittir; -325 = −175 biçimindedir.
Denk Kesirler ve Sadeleştirme
Kesrin Değerini Değiştirmeyen İşlemler
Bir kesrin payı ve paydası sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılırsa ya da tam bölünebildikleri aynı sayıya bölünürse kesrin değeri değişmez. Bu yolla elde edilen kesirlere denk kesirler denir. Örneğin 35 = 1220 eşitliği, pay ve paydanın 4 ile genişletilmesiyle oluşur.
Pay ile paydanın 1’den başka ortak pozitif böleni yoksa kesir en sade hâlindedir. Denk iki kesir arasında içler-dışlar çarpımı yapılabilir: b ve d sıfırdan farklı olmak üzere ab = cd ise a * d = b * c’dir.
Rasyonel Sayılarda Dört İşlem
Toplama ve Çıkarma
Toplama ve çıkarma işleminde önce paydalar eşitlenir; ardından paylar işaretleriyle birlikte toplanır veya çıkarılır. Paydalar doğrudan toplanmaz. İşlem sonunda kesir sadeleştirilmeli, tam sayılı kesir varsa işlemden önce bileşik kesre çevrilmelidir.
Birden fazla eksi işareti bulunan ifadelerde parantez kullanmak hata riskini azaltır. Özellikle negatif bir kesrin çıkarılması, onun toplama işlemine göre tersinin eklenmesi demektir: a – (-b) = a + b.
Çarpma, Bölme ve İşlem Önceliği
Çarpma işleminde paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. İşlemi büyütmeden önce çapraz veya aynı doğrultuda sadeleştirme yapılabilir. Bölmede ilk kesir aynen bırakılır, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır. Bölen kesir 0 olamaz. Pozitif bir sayı 0 ile 1 arasındaki pozitif bir kesre bölündüğünde sonuç sayının kendisinden büyük olur; çünkü bu işlem 1’den büyük olan çarpma tersiyle çarpmaya eşdeğerdir.
Kesir çizgisi aynı zamanda parantez görevi görür. Büyük kesirlerde üstteki ve alttaki işlemler ayrı ayrı tamamlandıktan sonra bölme uygulanır. Parantez, üs, çarpma-bölme ve toplama-çıkarma sırası korunmadan yapılan kısa yollar yanlış sonuç verir.
Karşılaştırma, Sıralama ve Sayı Doğrusu
Kesirleri Karşılaştırma
Pozitif kesirlerde paydalar eşitse payı büyük olan, paylar eşitse paydası küçük olan kesir daha büyüktür. Her iki kısım da farklıysa payda eşitleme veya pozitif paydalarda çapraz çarpma kullanılabilir. Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür.
İki sıfırdan farklı basit kesir a ve b için 0 < |a| < 1 ve 0 < |b| < 1 olduğundan |a * b| < |a| ve |a * b| < |b| olur. Çarpanlardan biri 0 ise çarpım 0’dır; bu durumda çarpımın mutlak değeri sıfır olan çarpanın mutlak değerine eşittir.
Sayı doğrusunda sağdaki sayı daima daha büyüktür. İki rasyonel sayının tam ortasındaki sayı, toplamlarının yarısıdır. Ayrıca farklı iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı bulunur; yalnız paydaları eşitleyip ardışık görünen paylara bakmak arada sayı olmadığı anlamına gelmez.
İşlem Tersleri ve Cebirsel Kullanım
Toplamaya ve Çarpmaya Göre Ters
Bir rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi, işareti değiştirilmiş hâlidir; toplamları 0 olur. Sıfırdan farklı ab sayısının çarpma işlemine göre tersi ba‘dır; çarpımları 1 olur. Sıfırın çarpmaya göre tersi yoktur.
Bir kesrin pay ve paydasına aynı sayı eklemek veya ikisinden aynı sayıyı çıkarmak genellikle kesrin değerini korumaz. Değerin korunması için pay ve paydanın aynı sıfırdan farklı çarpanla çarpılması ya da bölünmesi gerekir.
Rasyonel Sayı Problemleri
Bütün, Kalan ve Oran İlişkisi
Bir çokluğun belirli bir kesri alındığında, kesir doğrudan başlangıç miktarıyla çarpılır. İkinci işlem kalanın bir kesri üzerinde yapılıyorsa taban değişmiştir; iki kesir doğrudan toplanamaz. Önce ilk işlemden sonra kalan oran bulunmalı, sonraki işlem bu kalan üzerinden hesaplanmalıdır. Bir aşamada kullanılan kısım ile kalan kısım aynı güncel bütüne göre veriliyorsa kesirlerinin toplamı 1 olur.
Kesir problemlerinde bütünü 1 veya uygun bir ortak kat olarak seçmek işlemleri sadeleştirir. Son durumda verilen miktarın başlangıcın hangi kesrine karşılık geldiği bulunursa başlangıç değeri tek denklemle hesaplanabilir. Bulunan başlangıç miktarı, verilen işlem adımları sırayla uygulandığında sorudaki son miktarı sağlamalıdır.
Çok Adımlı Kesir Modeli
Çok adımlı sorularda geriye doğru işlem yapmak çoğu zaman daha hızlıdır. Son kalan miktar biliniyorsa, bu miktarın bir önceki aşamadaki ve başlangıçtaki karşılığı sırayla belirlenir. Her aşamada kullanılan kesir ile kalan kesrin birbirine karıştırılmaması gerekir.