TEK-ÇİFT, POZİTİF-NEGATİF VE ARDIŞIK SAYILAR

KPSS tek-çift, pozitif-negatif ve ardışık sayılar konu anlatımı kapsamında tam sayıların tek-çiftliği, pozitif ve negatif sayıların sıfıra göre konumu, ardışık sayıların gösterimi ve toplam özellikleri işlenecektir.
KPSS Matematik konularının tamamına KPSS konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

TEK VE ÇİFT SAYILAR

Tek ve Çift Sayıların Tanımı

Tek ve çift sayılar, tam sayıların 2 ile bölümünden kalanına göre ayrılır. İki ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift sayı denir. Her çift tam sayı, k bir tam sayı olmak üzere 2k biçiminde yazılabilir. İki ile bölündüğünde 1 kalanını veren tam sayılar ise tek sayıdır ve 2k + 1 ya da 2k − 1 biçiminde gösterilebilir.

Bir tam sayının tek veya çift olduğunu belirlemek için birler basamağına bakmak yeterlidir. Birler basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 olan sayılar çift; 1, 3, 5, 7 veya 9 olan sayılar tektir. Negatif sayılarda da aynı kural geçerlidir: −18 çift, −27 tektir. Sıfır da 0 = 2 * 0 olduğundan çift sayıdır.

Toplama ve Çıkarma İşlemlerinde Teklik–Çiftlik

Toplama ve çıkarma işlemlerinde sayıların işaretlerinden önce tek–çift özellikleri izlenebilir. Aynı türde iki sayının toplamı veya farkı çifttir; farklı türde iki sayının toplamı veya farkı tektir. Bunun nedeni, iki çift kısmın toplamının yine 2’nin katı olmasıdır.

İşlem	Sonuç	Örnek
Tek ± Tek	Çift	11 + 7 = 18
Çift ± Çift	Çift	20 − 8 = 12
Tek ± Çift	Tek	13 − 6 = 7
Çift ± Tek	Tek	18 + 5 = 23

Tek ve çift sayılar birden çok terimli toplamda birlikte bulunuyorsa çift terimler sonucu tek–çift bakımından değiştirmez. Sonucun tek olması için toplamda tek sayıda tek terim; çift olması için çift sayıda tek terim bulunmalıdır. Örneğin beş tek ve üç çift sayının toplamı tektir; çünkü tek terimlerin sayısı beştir.

Çarpma, Kuvvet ve Bölmede Teklik–Çiftlik

Bir çarpımın tek olabilmesi için çarpanların tamamının tek olması gerekir. Çarpanlardan en az biri çiftse çarpım çifttir. Bu nedenle bir ifadenin bütün çarpanlarını hesaplamak yerine tek bir çift çarpan görmek çoğu zaman sonucu belirlemeye yeter.

Pozitif tam sayı kuvvetlerinde tek sayının kuvveti tek, çift sayının kuvveti çifttir. 0! = 1 ve 1! = 1 olduğundan ikisi de tektir. n ≥ 2 için n! çifttir; çünkü çarpımın içinde 2 çarpanı bulunur.

Pay ve paydanın tek–çift olması tek başına bölümün tekliğini ya da çiftliğini belirlemez. Örneğin 12 : 4 = 3 tek, 12 : 6 = 2 çifttir. Tek-çift sınıflandırması yalnız bölüm tam sayı olduğunda uygulanabilir.

POZİTİF VE NEGATİF SAYILAR

Sayıların İşareti ve Sıfırın Konumu

Sıfırdan büyük sayılar pozitif, sıfırdan küçük sayılar negatiftir. Pozitif sayılar “+” işareti yazılmadan da gösterilebilir; 8 ile +8 aynı sayıdır. Negatif işareti ise sayının ayrılmaz parçasıdır. Sıfır ne pozitif ne de negatiftir; işaret sınıflandırmasının sınır noktasıdır.

Aynı işaretli sayılar toplanır ve ortak işaret korunur. Farklı işaretli sayılarda mutlak değeri büyük olan sayı sonucu belirler: −12 + 7 = −5, 15 + (−4) = 11. Sayı doğrusunda sağda yer alan sayı daha büyüktür.

Çarpma, Bölme ve Kuvvetlerde İşaret

Çarpma ve bölmede aynı işaretli iki sayının sonucu pozitif, farklı işaretli iki sayının sonucu negatiftir. Birden fazla çarpan varsa negatif çarpanların sayısı sayılır: negatif çarpan sayısı çiftse sonuç pozitif, tekse sonuç negatiftir. Sıfır içeren çarpım ise diğer çarpanlardan bağımsız olarak sıfırdır.

İşaret İlişkisi	Çarpma/Bölme Sonucu	Örnek
(+) ile (+)	Pozitif	(+6) * (+2) = +12
(−) ile (−)	Pozitif	(−18) : (−3) = +6
(+) ile (−)	Negatif	(+5) * (−4) = −20
(−) ile (+)	Negatif	(−21) : (+7) = −3

Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir. Ancak parantez büyük önem taşır: (−3)² = 9, buna karşılık −3² = −9 olur. İkinci ifadede üs yalnız 3’e uygulanır; negatif işareti kuvvet işleminin dışında kalır.

ARDIŞIK SAYILAR

Ardışık Tam, Tek ve Çift Sayıların Gösterimi

Belirli bir kurala göre art arda gelen sayılara ardışık sayılar denir. Ardışık tam sayıların ortak farkı 1’dir ve n, n + 1, n + 2, … biçiminde gösterilir. n başlangıç sayısını temsil eder; yalnızca pozitif olmak zorunda değildir. Örneğin −2, −1, 0 ve 1 de ardışık dört tam sayıdır.

Ardışık tek sayılar ile ardışık çift sayıların ortak farkı 2’dir. Ardışık çift sayılar 2n, 2n + 2, 2n + 4, …; ardışık tek sayılar 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, … biçiminde yazılabilir. “n, n + 2, n + 4” gösterimi de aynı teklik–çiftlikte sayılar verir; fakat ilk terimin tek mi çift mi olduğu ayrıca bilinmelidir.

Ortanca Terim ve Ardışık Sayıların Toplamı

Terim sayısı tek olan eşit aralıklı bir dizide ortanca terim, bütün terimlerin aritmetik ortalamasıdır. Bu nedenle üç ardışık tam sayının toplamı ortadaki sayının 3 katına, beş ardışık sayının toplamı ortadaki sayının 5 katına eşittir. Örneğin 12, 13, 14, 15 ve 16’nın toplamı 5 * 14 = 70 olarak bulunabilir.

İlk terimi a, son terimi b ve ortak farkı r olan sonlu bir ardışık dizide terim sayısı:

Terim sayısı = b − ar + 1

İlk terim ile son terimin toplamı, ikinci terim ile sondan ikinci terimin toplamına eşittir; aritmetik dizide eşit uzaklıktaki uç terim çiftleri aynı toplamı verir. Terim sayısı tek olduğunda ortadaki terim eşleşmeden kalır ve ilk–son terim toplamının yarısına eşittir. Bu eşitlik, aritmetik dizinin toplamında ilk ve son terimlerin ortalamasının kullanılmasını açıklar.

Toplam ise ilk ve son terimin ortalaması ile terim sayısının çarpımıdır:

Toplam = a + b2 * terim sayısı

Terim sayısı formülündeki (b − ar) iki uç arasındaki eşit aralıkların sayısını verir. İlk terim de diziye ait olduğundan terim sayısına 1 eklenir; böylece ilk ve son terim birlikte sayılır. Ardışık tam sayılarda ortak fark 1, ardışık tek veya çift sayılarda 2’dir.

Özel Ardışık Toplamlar

1’den n’e kadar olan pozitif tam sayıların toplamı n(n + 1)2 formülüyle bulunur. İlk n pozitif çift sayının toplamı n(n + 1), ilk n pozitif tek sayının toplamı ise n²‘dir. Bu formüller, terimleri tek tek toplamak yerine dizinin yapısını kullanır.

Dizi	Son Terim	Toplam
1 + 2 + 3 + … + n	n	n(n + 1)2
2 + 4 + 6 + … + 2n	2n	n(n + 1)
1 + 3 + 5 + … + (2n − 1)	2n − 1	n2