Sayı kümeleri ve sayı doğrusu, matematikte kullanılan sayıların hangi özelliklere sahip olduğunu ve birbirleriyle nasıl karşılaştırıldığını açıklar. Bir soruda değişkenin doğal, tam, rasyonel ya da gerçel sayı olduğunun belirtilmesi; alınabilecek değerleri, en küçük veya en büyük sonucu ve çözüm yöntemini doğrudan değiştirir.
Bu konu, KPSS Matematik konu anlatımları içinde sayıların temel dilini kurar. Temel işlemler ve işlem önceliği konusundaki hesaplamalar burada sayı kümeleri açısından sınıflandırılır; eşitsizlik, mutlak değer, bölme-bölünebilme ve denklem konularında kullanılacak sayı doğrusu düşüncesi de bu temele dayanır.
RAKAM, SAYI VE SAYMA SAYILARI
Rakam ile Sayı Arasındaki Fark
Rakamlar, sayıları yazmak için kullanılan sembollerdir. Onluk sayı sisteminde 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 olmak üzere on rakam vardır. Sayılar ise bir niceliği veya sırayı gösteren matematiksel ifadelerdir. Bu nedenle 7 hem bir rakam hem de tek basamaklı bir sayıdır; 27 bir sayıdır fakat rakam değildir. 27 sayısı, 2 ve 7 rakamlarıyla yazılmıştır.
Bir sayının yazılışındaki rakamın değeri bulunduğu basamağa göre değişir. 555 sayısındaki üç tane 5 aynı rakamdır; fakat soldan sağa basamak değerleri 500, 50 ve 5’tir. “Kaç rakam vardır?” sorusu ile “kaç sayı vardır?” sorusu bu nedenle birbirinden ayrılmalıdır.
B) 4
C) 7
D) 12
E) 9
Doğal Sayılar ve Pozitif Doğal Sayılar
Bu anlatımda doğal sayılar kümesi ℕ = {0, 1, 2, 3, …} biçiminde kullanılacaktır. Sıfırdan büyük doğal sayılar ise pozitif doğal sayılar ya da sayma sayılarıdır ve ℕ+ = {1, 2, 3, …} şeklinde gösterilir. Bazı kaynaklarda ℕ sembolünün 1’den başlatıldığı görülebilir; soruda özel bir tanım verilmişse o tanım esas alınır.
| Küme | Gösterim | Başlangıç |
|---|---|---|
| Doğal sayılar | ℕ = {0, 1, 2, 3, …} | 0 |
| Pozitif doğal sayılar | ℕ+ = {1, 2, 3, …} | 1 |
Doğal sayılar kümesinin en küçük elemanı 0’dır; en büyük elemanı yoktur. Pozitif doğal sayıların en küçük elemanı 1’dir. Üç nokta, sayıların aynı düzenle sonsuza doğru devam ettiğini belirtir; sonsuzluk ise kümenin bir elemanı değildir.
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
TAM SAYILAR
Negatif Tam Sayılar, Sıfır ve Pozitif Tam Sayılar
Tam sayılar kümesi; negatif tam sayıları, sıfırı ve pozitif tam sayıları birlikte kapsar: ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Doğal sayıların tamamı aynı zamanda tam sayıdır; bu ilişki ℕ ⊂ ℤ biçiminde gösterilir.
Sıfır ne pozitif ne de negatiftir. Pozitif tam sayılar sıfırın sağında, negatif tam sayılar sıfırın solunda yer alır. Negatif sayılarda işaretin yanındaki rakam büyüdükçe sayı küçülür: −8 < −3. Çünkü −8 sayı doğrusunda −3’ün solundadır.
B) −3 < −8
C) 0 < −1
D) −9 < −4
E) 2 < −5
RASYONEL SAYILAR
Kesir Biçiminde Yazılabilen Sayılar
a ve b birer tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere ab biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi ℚ ile gösterilir. Payda sıfır olamayacağı için 50 rasyonel sayı değildir; bu ifade tanımsızdır.
Her tam sayı rasyoneldir. Çünkü herhangi bir n tam sayısı n1 biçiminde yazılabilir. Örneğin −6 = −61 ve 0 = 05‘tir. Böylece ℤ ⊂ ℚ ilişkisi elde edilir.
Sonlu ondalık sayılar ile belirli bir rakam veya rakam grubunun sürekli tekrar ettiği devirli ondalık sayılar da rasyoneldir. Örneğin 0,25 = 14 ve 0,333… = 13‘tür. Bir rasyonel sayının farklı kesir gösterimleri olabilir; 12, 24 ve 50100 aynı sayıyı temsil eder.
B) 0,4
C) 0,121212…
D) 38
E) √2
İRRASYONEL SAYILAR
Kesir Biçiminde Yazılamayan Gerçel Sayılar
İki tam sayının oranı biçiminde yazılamayan gerçel sayılara irrasyonel sayı denir. Ondalık açılımları sonsuza kadar sürer ve belirli bir rakam grubu tekrar etmez. İrrasyonel sayılar ℝ \ ℚ ile gösterilebilir.
Tam kare olmayan pozitif sayıların karekökleri irrasyoneldir: √2, √3, √5 ve √7 bunlara örnektir. Buna karşılık √9 = 3 ve √16 = 4 olduğundan bu sayılar rasyoneldir. π ve e de irrasyonel sayılardır. Bir köklü ifadenin bulunması, sayının otomatik olarak irrasyonel olduğu anlamına gelmez; kökün sadeleşip sadeleşmediği kontrol edilmelidir.
B) −123
C) 0,125
D) √183
E) 2,777…
GERÇEL SAYILAR VE KÜMELERİN KAPSAMI
Sayı Kümelerinin Birbirini Kapsaması
Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi gerçel sayılar kümesini oluşturur. Gerçel sayılar ℝ ile gösterilir ve sayı doğrusu üzerindeki her noktaya bir gerçel sayı karşılık gelir. Temel kapsama zinciri ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ biçimindedir. İrrasyonel sayılar da ℝ’nin alt kümesidir; ancak ℚ ile ortak elemanları yoktur.
| Sayı | Bulunduğu En Dar Temel Küme | Aynı Zamanda Bulunduğu Kümeler |
|---|---|---|
| 6 | Doğal sayı | ℕ, ℤ, ℚ, ℝ |
| −4 | Tam sayı | ℤ, ℚ, ℝ |
| 35 | Rasyonel sayı | ℚ, ℝ |
| √3 | İrrasyonel sayı | ℝ \ ℚ, ℝ |
B) ℤ ⊂ ℚ
C) ℚ ⊂ ℝ
D) √5 ∈ ℝ
E) π ∈ ℚ
SAYI DOĞRUSU
Sayıların Konumu ve Sıralanması
Sayı doğrusu, gerçel sayıların soldan sağa doğru küçüğünden büyüğüne sıralandığı doğrusal gösterimdir. Başlangıç noktası 0’dır. Pozitif sayılar 0’ın sağında, negatif sayılar 0’ın solunda bulunur. İki sayı karşılaştırılırken sağda olan büyük, solda olan küçüktür.
Kesirli ve ondalık sayılar da sayı doğrusu üzerinde yer alır. Örneğin 12 sayısı 0 ile 1’in, −1,5 sayısı −2 ile −1’in arasındadır. Paydaları eşitlemek, ondalık gösterime çevirmek veya yaklaşık değer kullanmak sayıların doğru konumunu belirlemeyi kolaylaştırır.
B) a < b < c
C) b < a < c
D) a < c < b
E) b < c < a
Karşıt Sayılar ve Sıfıra Uzaklık
Sayı doğrusunda sıfırın iki yanında eşit uzaklıkta bulunan sayılara birbirinin karşıtı denir. 5 ile −5, 32 ile −32 karşıt sayılardır. Bir sayının karşıtı işareti değiştirilerek bulunur; a sayısının karşıtı −a’dır. Sıfırın karşıtı yine sıfırdır.
Bir sayının sıfıra olan uzaklığı negatif olamaz. Bu uzaklık daha sonra mutlak değerle gösterilecektir. Örneğin −7 ile 0 arasındaki uzaklık 7 birim, 4 ile 0 arasındaki uzaklık 4 birimdir. İki nokta arasındaki uzaklık da büyük sayıdan küçük sayı çıkarılarak bulunabilir.
B) 6
C) 8
D) 10
E) 24
ARALIKLARIN SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERİMİ
Açık, Kapalı ve Yarı Açık Aralıklar
Sayı doğrusunda belirli iki sayı arasındaki değerler aralık gösterimiyle yazılabilir. Uç nokta aralığa dâhilse köşeli parantez, dâhil değilse normal parantez kullanılır. [a, b] kapalı aralığı a ve b’yi içerir; (a, b) açık aralığı iki uç noktayı da içermez.
| Eşitsizlik | Aralık Gösterimi | Uç Noktalar |
|---|---|---|
| a ≤ x ≤ b | [a, b] | İkisi de dâhil |
| a < x < b | (a, b) | İkisi de hariç |
| a ≤ x < b | [a, b) | a dâhil, b hariç |
| a < x ≤ b | (a, b] | a hariç, b dâhil |
Sonsuzluk bir sayı veya uç nokta olmadığı için ∞ ve −∞ ile birlikte her zaman normal parantez kullanılır. Örneğin x ≥ 2 koşulu [2, ∞), x < 5 koşulu (−∞, 5) biçiminde yazılır.
B) (−2, 4)
C) (−2, 4]
D) [−2, 4)
E) (−∞, 4]
SAYI KÜMESİ KOŞULUNUN SONUCA ETKİSİ
Değişkenin Alabileceği Değerleri Belirleme
Bir soruda değişkenin ait olduğu küme mutlaka okunmalıdır. x > 2 koşulunu sağlayan en küçük doğal sayı 3’tür; fakat aynı koşulu sağlayan en küçük gerçel sayı yoktur. Çünkü 2’den büyük seçilen her gerçel sayıyla 2 arasında başka bir gerçel sayı bulunabilir.
Benzer biçimde −3 < x < 2 koşulundaki x bir tam sayıysa yalnızca −2, −1, 0 ve 1 değerlerini alır. x gerçel sayıysa bu iki uç arasında sonsuz sayıda değer vardır. En küçük–en büyük değer, eleman sayısı ve toplam sorularında sayı kümesi bilgisi çözümün ayrılmaz parçasıdır.
B) 6
C) 7
D) 8
E) Sonsuz
HIZLI TEKRAR TABLOSU
| Küme | Temel Özellik | Örnek |
|---|---|---|
| Doğal sayılar (ℕ) | 0’dan başlayan tam sayılar | 0, 4, 19 |
| Tam sayılar (ℤ) | Negatif tam sayılar, 0 ve pozitif tam sayılar | −8, 0, 12 |
| Rasyonel sayılar (ℚ) | ab, b ≠ 0 biçiminde yazılabilir | −3, 25, 0,75 |
| İrrasyonel sayılar | Kesir biçiminde yazılamaz; ondalığı devirsiz ve sonsuzdur | √2, π, e |
| Gerçel sayılar (ℝ) | Rasyonel ve irrasyonel sayıların tamamı | Sayı doğrusundaki bütün noktalar |
GENEL DEĞERLENDİRME
Sayı kümelerinde temel ilişki ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ zinciridir. İrrasyonel sayılar da gerçel sayıların içindedir; ancak rasyonel değildir. Sayı doğrusunda sağa gidildikçe değer büyür, sola gidildikçe küçülür. Aralık gösteriminde uç noktanın dâhil olup olmadığı parantez türünü belirler ve sonsuzluk hiçbir zaman kapalı uç olamaz.
Sonraki konu: Tek-Çift, Pozitif-Negatif ve Ardışık Sayılar