SAYI BASAMAKLARI VE ÇÖZÜMLEME

KPSS Sayı Basamakları ve Çözümleme konu anlatımı kapsamında rakam, sayı ve basamak kavramları, sayıların çözümlenmesi ve rakam koşullarına göre sayı oluşturma yöntemleri işlenecektir.
KPSS Matematik konularının tamamına KPSS konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

SAYI, RAKAM VE BASAMAK

Rakam, Sayı ve Basamak Sayısı

Rakam, sayıları yazmak için kullanılan işaretlerin her biridir. Onluk sayı sisteminde 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 olmak üzere on rakam vardır. Sayı ise bir miktarı veya sırayı bildiren matematiksel ifadedir. Örneğin 7 hem bir rakam hem bir sayıdır; 507 ise üç rakam kullanılarak yazılmış bir sayıdır.

Bir doğal sayıyı oluşturan rakamların adedi, o sayının basamak sayısını verir. 8 bir basamaklı, 42 iki basamaklı, 605 üç basamaklı ve 7304 dört basamaklıdır. Sayının içinde bulunan sıfırlar da basamak sayısına dâhildir. Buna karşılık sayının soluna yazılan sıfırlar yeni bir basamak oluşturmaz: 007 ile 7 aynı sayıdır.

n basamaklı pozitif bir doğal sayının en küçüğü 10ⁿ⁻¹, en büyüğü 10ⁿ − 1 olur. Buna göre üç basamaklı doğal sayılar 100 ile 999, dört basamaklı doğal sayılar 1000 ile 9999 arasındadır.

Sayı Değeri ve Basamak Değeri

Bir rakamın sayı değeri, rakamın kendisidir. 5308 sayısındaki 5’in sayı değeri 5, 3’ün sayı değeri 3’tür. Basamak değeri ise rakamın sayı değeri ile bulunduğu basamağın değerinin çarpımıdır. Aynı örnekte 5 binler basamağında bulunduğu için basamak değeri 5000; 3 yüzler basamağında bulunduğu için 300’dür.

Sıfırın bulunduğu basamak sayının yazılışında önemlidir; fakat sıfırın basamak değeri her zaman 0’dır. 507 ile 57’nin farklı sayılar olmasının nedeni, 507’deki sıfırın onlar basamağını korumasıdır.

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ

Onun Kuvvetleriyle Çözümleme

Bir sayıyı oluşturan rakamların basamak değerlerini toplayarak yazma işlemine çözümleme denir. Onluk sistemde sağdan sola doğru basamaklar 10’un artan kuvvetleriyle eşleşir: birler basamağı 10⁰, onlar basamağı 10¹, yüzler basamağı 10² ve binler basamağı 10³ değerindedir.

Örneğin 6405 sayısı:

6405 = 6 * 1000 + 4 * 100 + 0 * 10 + 5 * 1

6405 = 6000 + 400 + 5

biçiminde çözümlenir. Bu çözümlemede onlar basamağının katsayısı 0’dır ve 0 * 10 terimiyle gösterilir. Terimin değeri 0 olduğundan son yazılışta çıkarılabilir; bu çıkarma, 6’nın 6000, 4’ün 400 ve 5’in 5 olan basamak değerlerini değiştirmez. Çözümlemenin tersi de sık kullanılır: verilen basamak değerleri toplanarak sayı oluşturulur.

Harflerle Gösterilen Sayıların Çözümlemesi

Sorularda rakamları bilinmeyen sayılar harflerle gösterilebilir. Üst çizgi kullanılmadan yan yana yazılan AB ifadesi “A çarpı B” değil, A onlar ve B birler basamağında olmak üzere iki basamaklı sayıyı temsil eder. Bu durumda temel çözümlemeler şöyledir:

İki basamaklı AB ve BA sayıları birlikte kullanıldığında çözümleme önemli kısa yollar verir:

AB + BA = 11(A + B)

AB − BA = 9(A − B)

Benzer biçimde ABC − CBA = 99(A − C) olur. ABC, BCA ve CAB sayılarının toplamında ise her rakam bir kez yüzler, bir kez onlar ve bir kez birler basamağına geldiğinden toplam 111(A + B + C) biçimine dönüşür.

BASAMAKLARDA DEĞİŞİM

Bir Rakam Değiştiğinde Sayının Değişimi

Bir rakamın değeri k kadar artırılırsa sayı, o basamağın değeri ile k’nın çarpımı kadar artar. Aynı rakam k kadar azaltılırsa sayı aynı miktarda azalır. Birler basamağındaki 1 birimlik değişim sayıyı 1; onlar basamağındaki değişim 10; yüzler basamağındaki değişim 100; binler basamağındaki değişim 1000 etkiler.

Birden fazla basamak aynı anda değiştiriliyorsa etkiler işaretleriyle toplanır. Örneğin yüzler basamağını 2 artırıp onlar basamağını 3 azaltmak sayıyı 2 * 100 − 3 * 10 = 170 artırır. Sorunun verdiği değişikliklerin uygulanabilmesi için yeni rakamların 0 ile 9 arasında kalması gerekir.

Rakamların Yer Değiştirmesi

İki rakamın yeri değiştirildiğinde rakamların sayı değerleri aynı kalır; basamak değerleri değişir. İki basamaklı AB sayısında A ile B yer değiştirildiğinde BA elde edilir ve iki sayı arasındaki fark 9’un katıdır.

Üç basamaklı ABC sayısında yüzler ve birler basamakları yer değiştirildiğinde CBA oluşur. Ortadaki B rakamı aynı basamakta kaldığı için fark üzerinde etkili değildir:

ABC − CBA = 99(A − C)

RAKAM KOŞULLARIYLA SAYI OLUŞTURMA

En Büyük ve En Küçük Sayıyı Kurma

Belirli rakamlarla en büyük sayıyı oluşturmak için büyük rakamlar yüksek değerli basamaklara yerleştirilir. En küçük sayı kurulurken en küçük rakam en sola yazılır; ancak sıfır en başa gelemez. Sıfır varsa ilk basamağa sıfırdan farklı en küçük rakam, ikinci basamağa sıfır, kalan basamaklara da küçükten büyüğe diğer rakamlar yerleştirilir.

Rakamlar toplamı gibi ek bir koşul varsa yüksek basamağı olabildiğince büyütürken kalan rakamların koşulu sağlayıp sağlayamadığı kontrol edilir. Rakamların farklı olması isteniyorsa seçilen her rakam bir kez kullanılabilir.

Tekrarlanan Rakamlar ve Palindrom Sayılar

Aynı rakamın birden fazla basamakta kullanıldığı sayılar çözümlemeyle kısa biçimde yazılabilir. AA sayısı 11A, AAA sayısı 111A, ABA sayısı ise 101A + 10B olur. Bu dönüşümler tekrar eden rakamlı denklemleri sadeleştirir.

Tersten okunuşu kendisiyle aynı olan sayılara palindrom sayı denir. Üç basamaklı palindromlar ABA biçimindedir. A yüzler basamağında bulunduğundan 1 ile 9 arasında, B ise 0 ile 9 arasında seçilebilir. Dört basamaklı palindromlar ABBA biçiminde yazılır.

Sayının Rakamları Toplamıyla İlişkisi

Bir sayının kendisi ile rakamları toplamı arasında ilişki verildiğinde sayı önce basamaklarına ayrılır. İki basamaklı AB sayısı için sayı 10A + B, rakamlar toplamı A + B olur. Verilen kat veya fark ilişkisi bu iki ifade arasında denklem kurularak çözülür.

Çözümden çıkan A ve B değerlerinin rakam koşullarını sağlaması gerekir. A sıfır olamaz; her iki rakam da tam sayı ve 0 ile 9 arasında olmalıdır. Denklem cebirsel olarak daha geniş bir çözüm kümesi verse bile rakam koşullarına uymayan değerler elenir.