KPSS Taban Aritmetiği ve Sayı Sistemleri konu anlatımı kapsamında taban ve rakam kavramları, farklı tabanlarda sayıların gösterimi, tabanlar arasında dönüşüm, taban aritmetiği, bilinmeyen taban ve rakam soruları, tabana göre tek-çiftlik ve basamak sayısı işlenecektir.
KPSS Matematik konularının tamamına KPSS konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
TABAN VE RAKAM KAVRAMI
Bir Tabanda Kullanılabilecek Rakamlar
Sayı tabanı, bir basamakta kaç farklı rakam kullanılabileceğini belirler. b tabanında 0’dan başlayarak b − 1’e kadar olan rakamlar bulunur. Dolayısıyla taban 1’den büyük bir tam sayı olmalı ve sayı içinde tabana eşit ya da tabandan büyük bir rakam yer almamalıdır.
| Taban | Kullanılabilecek Rakamlar | Geçerli Örnek | Geçersiz Örnek |
|---|---|---|---|
| 2 | 0, 1 | (10110)2 | (102)2 |
| 4 | 0, 1, 2, 3 | (321)4 | (403)4 |
| 7 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 | (5602)7 | (172)7 |
| 10 | 0–9 | 8046 | — |
Bir sayının en soldaki rakamı, sayı tek başına 0 değilse, sıfır olamaz. Örneğin (032)5 yazımı üç basamaklı bir beşlik sayı değildir; baştaki sıfır değeri değiştirmediği için bu gösterim (32)5 ile aynıdır. Taban 10’dan büyük olduğunda 10 ve üzerindeki rakam değerleri genellikle A, B, C gibi harflerle gösterilir; fakat temel KPSS sorularında çoğunlukla rakamları 0–9 arasında tutan tabanlar kullanılır.
B) (507)7
C) (431)5
D) (128)8
E) (064)7
Taban Değerine Göre Çözümleme
b tabanındaki bir sayıda basamak değerleri sağdan sola doğru b’nin artan kuvvetleridir. Birler basamağı b0, onun solundaki basamak b1, sonraki basamak b2 ile çarpılır. Bu nedenle:
(pqr)b = p * b2 + q * b1 + r * b0
Uygulamada rakamları A, B, C; tabanı x ile göstermek de aynı çözümlemeyi daha görünür kılar:
(ABC)x = A * x2 + B * x + C
Örneğin (243)5 sayısında 2’nin basamak değeri 2 * 52 = 50, 4’ün basamak değeri 4 * 5 = 20, 3’ün basamak değeri 3’tür. Sayının onluk sistemdeki değeri 73 olur. Virgülden sonraki basamaklar varsa kuvvetler −1, −2 diye devam eder; örneğin (10,2)3 = 1 * 3 + 0 + 2 * 3−1 biçiminde çözümlenir.
(314)₅ sayısının onluk sistemdeki değeri kaçtır?
B) 74
C) 79
D) 89
E) 94
(314)₅ = 3 * 5² + 1 * 5 + 4 = 75 + 5 + 4 = 84.
Cevap: A
TABANLAR ARASINDA DÖNÜŞÜM
Farklı Bir Tabandan Onluk Sisteme Geçiş
Bir sayıyı kendi tabanından onluk sisteme çevirmek için çözümleme yapılır. Sağdan başlanır, her rakam bulunduğu basamağa karşılık gelen taban kuvvetiyle çarpılır ve sonuçlar toplanır. Bu yöntem bütün tam sayı tabanlarında aynıdır.
Örneğin (101101)2 sayısı:
1 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 2 + 1
32 + 8 + 4 + 1 = 45
değerine eşittir. Sıfırlı basamaklar toplamı değiştirmez; ancak rakamların hangi kuvvetle çarpılacağını belirlediği için atlanamaz.
(110110)₂ sayısının onluk sistemdeki karşılığı kaçtır?
B) 52
C) 56
D) 54
E) 58
Basamak değerleri 2⁵ + 2⁴ + 2² + 2 olduğundan 32 + 16 + 4 + 2 = 54 bulunur.
Cevap: D
Onluk Sistemden Farklı Bir Tabana Geçiş
Onluk sistemde verilen pozitif bir tam sayıyı b tabanına çevirmek için sayı sürekli b’ye bölünür. Her işlemde kalan kaydedilir; bölüm 0 olduğunda işlem sona erer. Yeni sayı, son kalandan ilk kalana doğru yazılır. Kalanların her biri 0 ile b − 1 arasında olmalıdır.
| İşlem | Bölüm | Kalan |
|---|---|---|
| 94 ÷ 3 | 31 | 1 |
| 31 ÷ 3 | 10 | 1 |
| 10 ÷ 3 | 3 | 1 |
| 3 ÷ 3 | 1 | 0 |
| 1 ÷ 3 | 0 | 1 |
Kalanlar aşağıdan yukarıya 1, 0, 1, 1, 1 biçiminde okunur; bu nedenle 94 = (10111)3 olur. Sonucun doğruluğu, elde edilen sayıyı yeniden çözümleyerek denetlenebilir: 1 * 81 + 0 * 27 + 1 * 9 + 1 * 3 + 1 = 94.
82 sayısının üçlük sistemdeki karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?
B) (10001)₃
C) (10100)₃
D) (10000)₃
E) (11001)₃
82 sayısı 3’e art arda bölündüğünde kalanlar sırasıyla 1, 0, 0, 0, 1 olur. Kalanlar sondan başa okununca (10001)₃ elde edilir.
Cevap: B
İki Farklı Taban Arasında Geçiş
Onluk olmayan iki taban arasında dönüşümde önce kaynak sayı basamak değerleri toplamıyla onluk değere çevrilir; ardından bu değer hedef tabana sürekli bölünerek yazılır. Hedef tabandaki gösterimin onluk çözümlemesi, kaynak sayının onluk değerine eşittir.
Örneğin (132)4 sayısının onluk değeri 1 * 42 + 3 * 4 + 2 = 30 olur. 30 sayısı 5’e sürekli bölündüğünde kalanlar 0, 1, 1 gelir; tersten okununca (110)5 bulunur.
(231)₄ sayısının beşlik sistemdeki karşılığı hangisidir?
B) (110)₅
C) (130)₅
D) (200)₅
E) (140)₅
Önce (231)₄ = 2 * 4² + 3 * 4 + 1 = 45 bulunur. 45 sayısı 5’e bölündüğünde kalanlar sırasıyla 0, 4, 1 olur; tersten okununca (140)₅ elde edilir.
Cevap: E
BİLİNMEYEN TABAN VE RAKAM SORULARI
Tabanı Denklemle Bulma
Tabanı bilinmeyen bir sayı onluk değeriyle birlikte verildiğinde sayı, taban değişkenine göre çözümlenir. Elde edilen denklem çözülür; fakat bulunan kökün gerçekten taban olabilmesi için 1’den büyük tam sayı olması ve sayıdaki bütün rakamlardan büyük olması gerekir.
Örneğin (213)x = 58 eşitliği 2x2 + x + 3 = 58 biçimine dönüşür. Denklem 2x2 + x − 55 = 0 olur ve pozitif tam sayı kökü x = 5’tir. Sayıda 3 rakamı bulunduğundan x > 3 koşulu da sağlanır.
(241)ₓ = 97 olduğuna göre x kaçtır?
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Çözümleme 2x² + 4x + 1 = 97 denklemini verir. x² + 2x − 48 = 0 olduğundan (x + 8)(x − 6) = 0 ve pozitif kök x = 6 bulunur. 4 rakamı 6 tabanında kullanılabilir.
Cevap: C
Bilinmeyen Rakamı Bulma
Taban biliniyor, rakamlardan biri harfle gösteriliyorsa çözümleme doğrudan bu rakama göre denklem kurar. Bulunan değer mutlaka tam sayı ve 0 ile tabanın bir eksiği arasında olmalıdır. İlk basamaktaki bilinmeyen rakam için ayrıca sıfır olmama koşulu vardır.
Örneğin (3A)7 = 25 ise 3 * 7 + A = 25 eşitliğinden A = 4 bulunur. 4, yedilik sistemde kullanılabildiği için sonuç geçerlidir.
(A2)₇ + (3A)₇ toplamının onluk sistemdeki değeri 63 olduğuna göre A rakamı kaçtır?
B) 2
C) 3
D) 6
E) 7
(A2)₇ = 7A + 2 ve (3A)₇ = 21 + A olduğundan 8A + 23 = 63 olur. Buradan A = 5 bulunur; 5, yedilik sistemde geçerli bir rakamdır.
Cevap: A
AYNI TABANDA DÖRT İŞLEM
Toplama ve Çıkarma
Aynı tabandaki sayılar onluk sistemdeki gibi basamak basamak toplanır. Bir sütundaki toplam tabana ulaştığında toplam tabana bölünür; kalan o sütuna yazılır, bölüm soldaki sütuna elde olarak aktarılır. Beşlik sistemde 5 birim bir üst basamakta 1 birime dönüştüğü için 3 + 4 = 12 değil, (12)5 anlamında “2 yaz, 1 elde” sonucunu verir.
Örneğin (324)5 + (143)5 işleminde birler sütunu 4 + 3 = 7 olduğundan 2 yazılıp 1 elde edilir. Sonraki sütunda 2 + 4 + 1 = 7 olur; yine 2 yazılıp 1 aktarılır. Son sütun 3 + 1 + 1 = 5 olduğundan 0 yazılır ve yeni basamak olarak 1 elde edilir. Sonuç (1022)5‘tir.
Çıkarmada üstteki rakam alttakinden küçükse soldaki basamaktan 1 alınır. Alınan 1, çalışılan taban kadar birimdir. Üçlük sistemde komşu basamaktan alınan 1, mevcut sütuna 3 ekler; beşlik sistemde 5 ekler.
(243)₅ + (134)₅ işleminin sonucu kaçtır?
B) (431)₅
C) (442)₅
D) (1002)₅
E) (432)₅
Birler basamağında 3 + 4 = 7 olduğundan 2 yazılır ve 1 elde aktarılır. Beşler basamağında 4 + 3 + 1 = 8 olduğundan 3 yazılır ve yine 1 elde aktarılır. Son basamakta 2 + 1 + 1 = 4 olur. Sonuç (432)₅’tir.
Cevap: E
B) (1120)3
C) (1201)3
D) (1210)3
E) (1220)3
Çarpma ve Bölme
Çarpma aynı tabanın elde kuralıyla yürütülür. Her sütundaki rakam çarpımlarının toplamına önceki sütundan gelen elde eklenir. Bu toplam tabana eşit veya tabandan büyükse tabana bölünür; kalan o basamağın rakamı, bölüm sonraki sütunun toplamına eklenen elde olur. Toplam tabandan küçükse olduğu gibi o basamağa yazılır ve elde aktarılmaz. Örneğin altılık sistemde 2 * 3 = 6 = 10₆ olduğundan bu basamağa 0 yazılır ve sonraki sütunun toplamına 1 elde eklenir. Onluk sistemde hesaplanan çarpım hedef tabana dönüştürüldüğünde, elde edilen gösterimin onluk çözümlemesi aynı değeri verir.
Örneğin (23)5 * (14)5 işleminde sayılar onluk sistemde 13 ve 9’dur. Çarpım 117 olur. 117 = 4 * 52 + 3 * 5 + 2 olduğundan sonuç (432)5‘tir.
Bölmede bölüm ve kalan aynı sistemde yazılır. Onluk tabanda hesaplanan bölüm ve kalan hedef tabana dönüştürüldüğünde de değerleri korunur; bölünen = bölen * bölüm + kalan eşitliği aynı sayısal değerlerle sağlanır. Örneğin (132)5 ÷ (3)5 işleminde 42 ÷ 3 = 14 bulunur; 14 = (24)5 olduğundan bölüm (24)5, kalan 0’dır.
TEKLİK, ÇİFTLİK VE BASAMAK SAYISI
Tabana Göre Teklik ve Çiftlik
Taban çiftse bütün yüksek basamaklar çift sayı olan tabanın kuvvetlerini içerir. Bu nedenle sayının tek veya çift olduğunu yalnız birler basamağı belirler. Örneğin (1103)4, son rakamı 3 olduğu için tektir.
Taban tekse tabanın bütün kuvvetleri tektir. Tek sayıların toplamında tek–çiftlik, kullanılan rakamların toplamına bağlıdır. Bu durumda rakamları toplamı tek olan sayı tek, çift olan sayı çifttir. Örneğin (2112)3 sayısının rakamları toplamı 6 olduğundan sayı çifttir.
| Tabanın Niteliği | Tek–Çiftlik Kontrolü | Örnek |
|---|---|---|
| Çift taban | Yalnız son rakama bakılır. | (2301)6 tektir. |
| Tek taban | Rakamlar toplamına bakılır. | (2413)5; toplam 10, sayı çifttir. |
Bir Sayının Farklı Tabandaki Basamak Sayısı
N pozitif bir tam sayı, b ≥ 2 olan bir tam sayı taban ve n ≥ 1 olan bir tam sayı olmak üzere, N’nin b tabanında n basamaklı olması için:
bn−1 ≤ N < bn
eşitsizliği sağlanır. N = 0 sayısı her tabanda tek basamaklı olarak (0)b biçiminde yazılır. Sayı tam bir taban kuvvetiyse yazımı 1’in ardından kuvvet kadar sıfırdan oluşur. Örneğin 38 = (32)4 = 94 olduğundan dokuzluk sistemde (10000)9 biçiminde yazılır ve beş basamaklıdır.
5⁴ sayısı üçlük sistemde yazıldığında kaç basamaklı olur?
B) 6
C) 4
D) 5
E) 7
5⁴ = 625 olur. 625 = 2 * 3⁵ + 1 * 3⁴ + 2 * 3³ + 0 * 3² + 1 * 3 + 1 olduğundan (212011)₃ biçiminde yazılır. Bu sayı altı basamaklıdır.
Cevap: B