Taban aritmetiği ve sayı sistemleri, bir sayının hangi rakamlarla yazılabileceğini ve her basamağın değerinin neye göre oluştuğunu açıklar. Günlük hayatta onluk sistemi kullanırız; ancak aynı miktar ikilik, üçlük, beşlik veya başka bir tabanda farklı rakam dizileriyle gösterilebilir. Değişen sayının değeri değil, o değeri ifade etmek için kullanılan yazım sistemidir.
Bu konu, Sayı Basamakları ve Çözümleme bilgisini genelleştirir. Onluk sistemde sağdan sola 1, 10, 100 diye büyüyen basamak değerleri; b tabanında 1, b, b2, b3 biçiminde ilerler. Bu temel fikir kavrandığında taban dönüşümleri, bilinmeyen taban ve aynı tabanda işlem soruları tek bir mantıkla çözülebilir.
TABAN VE RAKAM KAVRAMI
Bir Tabanda Kullanılabilecek Rakamlar
Sayı tabanı, bir basamakta kaç farklı rakam kullanılabileceğini belirler. b tabanında 0’dan başlayarak b − 1’e kadar olan rakamlar bulunur. Dolayısıyla taban 1’den büyük bir tam sayı olmalı ve sayı içinde tabana eşit ya da tabandan büyük bir rakam yer almamalıdır.
| Taban | Kullanılabilecek Rakamlar | Geçerli Örnek | Geçersiz Örnek |
|---|---|---|---|
| 2 | 0, 1 | (10110)2 | (102)2 |
| 4 | 0, 1, 2, 3 | (321)4 | (403)4 |
| 7 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 | (5602)7 | (172)7 |
| 10 | 0–9 | 8046 | — |
Bir sayının en soldaki rakamı, sayı tek başına 0 değilse, sıfır olamaz. Örneğin (032)5 yazımı üç basamaklı bir beşlik sayı değildir; baştaki sıfır değeri değiştirmediği için bu gösterim (32)5 ile aynıdır. Taban 10’dan büyük olduğunda 10 ve üzerindeki rakam değerleri genellikle A, B, C gibi harflerle gösterilir; fakat temel KPSS sorularında çoğunlukla rakamları 0–9 arasında tutan tabanlar kullanılır.
B) (507)7
C) (431)5
D) (128)8
E) (064)7
Taban Değerine Göre Çözümleme
b tabanındaki bir sayıda basamak değerleri sağdan sola doğru b’nin artan kuvvetleridir. Birler basamağı b0, onun solundaki basamak b1, sonraki basamak b2 ile çarpılır. Bu nedenle:
(pqr)b = p * b2 + q * b1 + r * b0
Uygulamada rakamları A, B, C; tabanı x ile göstermek de aynı çözümlemeyi daha görünür kılar:
(ABC)x = A * x2 + B * x + C
Örneğin (243)5 sayısında 2’nin basamak değeri 2 * 52 = 50, 4’ün basamak değeri 4 * 5 = 20, 3’ün basamak değeri 3’tür. Sayının onluk sistemdeki değeri 73 olur. Virgülden sonraki basamaklar varsa kuvvetler −1, −2 diye devam eder; örneğin (10,2)3 = 1 * 3 + 0 + 2 * 3−1 biçiminde çözümlenir.
B) 68
C) 70
D) 73
E) 83
TABANLAR ARASINDA DÖNÜŞÜM
Farklı Bir Tabandan Onluk Sisteme Geçiş
Bir sayıyı kendi tabanından onluk sisteme çevirmek için çözümleme yapılır. Sağdan başlanır, her rakam bulunduğu basamağa karşılık gelen taban kuvvetiyle çarpılır ve sonuçlar toplanır. Bu yöntem bütün tam sayı tabanlarında aynıdır.
Örneğin (101101)2 sayısı:
1 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 2 + 1
32 + 8 + 4 + 1 = 45
değerine eşittir. Sıfırlı basamaklar toplamı değiştirmez; ancak rakamların hangi kuvvetle çarpılacağını belirlediği için atlanamaz.
B) 41
C) 43
D) 45
E) 47
Onluk Sistemden Farklı Bir Tabana Geçiş
Onluk sistemde verilen pozitif bir tam sayıyı b tabanına çevirmek için sayı sürekli b’ye bölünür. Her işlemde kalan kaydedilir; bölüm 0 olduğunda işlem sona erer. Yeni sayı, son kalandan ilk kalana doğru yazılır. Kalanların her biri 0 ile b − 1 arasında olmalıdır.
| İşlem | Bölüm | Kalan |
|---|---|---|
| 94 ÷ 3 | 31 | 1 |
| 31 ÷ 3 | 10 | 1 |
| 10 ÷ 3 | 3 | 1 |
| 3 ÷ 3 | 1 | 0 |
| 1 ÷ 3 | 0 | 1 |
Kalanlar aşağıdan yukarıya 1, 0, 1, 1, 1 biçiminde okunur; bu nedenle 94 = (10111)3 olur. Sonucun doğruluğu, elde edilen sayıyı yeniden çözümleyerek denetlenebilir: 1 * 81 + 0 * 27 + 1 * 9 + 1 * 3 + 1 = 94.
B) (10101)3
C) (10111)3
D) (11001)3
E) (11101)3
İki Farklı Taban Arasında Geçiş
Onluk olmayan bir tabandan yine onluk olmayan başka bir tabana geçerken güvenli genel yol iki aşamalıdır: önce kaynak sayı çözümlenerek onluk değeri bulunur, ardından bu değer hedef tabana sürekli bölünür. Böylece tabanlar arasında doğrudan ve ezbere bir kural aramak gerekmez.
Örneğin (132)4 sayısının onluk değeri 1 * 42 + 3 * 4 + 2 = 30 olur. 30 sayısı 5’e sürekli bölündüğünde kalanlar 0, 1, 1 gelir; tersten okununca (110)5 bulunur.
B) (110)5
C) (112)5
D) (120)5
E) (130)5
BİLİNMEYEN TABAN VE RAKAM SORULARI
Tabanı Denklemle Bulma
Tabanı bilinmeyen bir sayı onluk değeriyle birlikte verildiğinde sayı, taban değişkenine göre çözümlenir. Elde edilen denklem çözülür; fakat bulunan kökün gerçekten taban olabilmesi için 1’den büyük tam sayı olması ve sayıdaki bütün rakamlardan büyük olması gerekir.
Örneğin (213)x = 58 eşitliği 2x2 + x + 3 = 58 biçimine dönüşür. Denklem 2x2 + x − 55 = 0 olur ve pozitif tam sayı kökü x = 5’tir. Sayıda 3 rakamı bulunduğundan x > 3 koşulu da sağlanır.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Bilinmeyen Rakamı Bulma
Taban biliniyor, rakamlardan biri harfle gösteriliyorsa çözümleme doğrudan bu rakama göre denklem kurar. Bulunan değer mutlaka tam sayı ve 0 ile tabanın bir eksiği arasında olmalıdır. İlk basamaktaki bilinmeyen rakam için ayrıca sıfır olmama koşulu vardır.
Örneğin (3A)7 = 25 ise 3 * 7 + A = 25 eşitliğinden A = 4 bulunur. 4, yedilik sistemde kullanılabildiği için sonuç geçerlidir.
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
AYNI TABANDA DÖRT İŞLEM
Toplama ve Çıkarma
Aynı tabandaki sayılar onluk sistemdeki gibi basamak basamak toplanır. Bir sütundaki toplam tabana ulaştığında toplam tabana bölünür; kalan o sütuna yazılır, bölüm soldaki sütuna elde olarak aktarılır. Beşlik sistemde 5 birim bir üst basamakta 1 birime dönüştüğü için 3 + 4 = 12 değil, (12)5 anlamında “2 yaz, 1 elde” sonucunu verir.
Örneğin (324)5 + (143)5 işleminde birler sütunu 4 + 3 = 7 olduğundan 2 yazılıp 1 elde edilir. Sonraki sütunda 2 + 4 + 1 = 7 olur; yine 2 yazılıp 1 aktarılır. Son sütun 3 + 1 + 1 = 5 olduğundan 0 yazılır ve yeni basamak olarak 1 elde edilir. Sonuç (1022)5‘tir.
Çıkarmada üstteki rakam alttakinden küçükse soldaki basamaktan 1 alınır. Alınan 1, çalışılan taban kadar birimdir. Üçlük sistemde komşu basamaktan alınan 1, mevcut sütuna 3 ekler; beşlik sistemde 5 ekler.
B) (1022)5
C) (1122)5
D) (1202)5
E) (1220)5
B) (1120)3
C) (1201)3
D) (1210)3
E) (1220)3
Çarpma ve Bölme
Çarpma da aynı tabanın elde kuralıyla yürütülür. Bir basamaktaki çarpım tabandan büyükse sonuç tabana bölünür; kalan yazılır, bölüm elde olarak aktarılır. İşlemi doğrudan yapmak mümkün olsa da özellikle öğrenme aşamasında her iki sayıyı onluk sisteme çevirip sonucu yeniden hedef tabana dönüştürmek güvenli bir kontrol yöntemidir.
Örneğin (23)5 * (14)5 işleminde sayılar onluk sistemde 13 ve 9’dur. Çarpım 117 olur. 117 = 4 * 52 + 3 * 5 + 2 olduğundan sonuç (432)5‘tir.
Bölmede bölüm ve kalan aynı sistemde yazılır. Karmaşık bir uzun bölme yerine önce onluk değerlere geçmek hata riskini azaltabilir. Örneğin (132)5 ÷ (3)5 işleminde 42 ÷ 3 = 14 bulunur; 14 = (24)5 olduğundan bölüm (24)5, kalan 0’dır.
TEKLİK, ÇİFTLİK VE BASAMAK SAYISI
Tabana Göre Teklik ve Çiftlik
Taban çiftse bütün yüksek basamaklar çift sayı olan tabanın kuvvetlerini içerir. Bu nedenle sayının tek veya çift olduğunu yalnız birler basamağı belirler. Örneğin (1103)4, son rakamı 3 olduğu için tektir.
Taban tekse tabanın bütün kuvvetleri tektir. Tek sayıların toplamında tek–çiftlik, kullanılan rakamların toplamına bağlıdır. Bu durumda rakamları toplamı tek olan sayı tek, çift olan sayı çifttir. Örneğin (2112)3 sayısının rakamları toplamı 6 olduğundan sayı çifttir.
| Tabanın Niteliği | Tek–Çiftlik Kontrolü | Örnek |
|---|---|---|
| Çift taban | Yalnız son rakama bakılır. | (2301)6 tektir. |
| Tek taban | Rakamlar toplamına bakılır. | (2413)5; toplam 10, sayı çifttir. |
Bir Sayının Farklı Tabandaki Basamak Sayısı
Onluk değeri N olan bir sayının b tabanında n basamaklı olması için:
bn−1 ≤ N < bn
eşitsizliği sağlanır. Sayı tam bir taban kuvvetiyse yazımı 1’in ardından kuvvet kadar sıfırdan oluşur. Örneğin 38 = (32)4 = 94 olduğundan dokuzluk sistemde (10000)9 biçiminde yazılır ve beş basamaklıdır.
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
TABAN SORULARINDA TEMEL NOKTALAR
Taban sorularında en sık yapılan hatalar, saymak gerekirın tabanını rakam gibi işlemde kullanmak, sürekli bölmede kalanları yukarıdan aşağıya yazmak ve bilinmeyen taban denkleminde rakam sınırını kontrol etmemektir. Çözüm sonunda şu üç adım kısa bir güvenlik kontrolü sağlar:
- Sonuçtaki bütün rakamlar tabandan küçük mü?
- Dönüşüm yapıldıysa sonuç yeniden çözümlendiğinde başlangıçtaki onluk değeri veriyor mu?
- Bilinmeyen taban bulunduysa taban 1’den büyük ve sayıdaki en büyük rakamdan büyük mü?
Bu kontroller, uzun hesaplarda küçük bir elde veya kalan hatasını erken yakalar.