Bölme ve kalanlı işlemler, bir doğal sayının başka bir doğal sayı içinde kaç kez bulunduğunu ve geriye ne kaldığını belirler. Bölme sorularında yalnız işlemi yapmak değil; bölünen, bölen, bölüm ve kalan arasındaki bağıntıyı doğru kurmak gerekir. Sabit veya değişken verilen bu dört öğeden biri, diğerleri yardımıyla bulunabilir.
Bu konu, Taban Aritmetiği ve Sayı Sistemleri yazısındaki kalan düşüncesini onluk sisteme taşır. Burada kurulan bölme algoritması; sonraki Bölünebilme Kuralları, modüler aritmetik ve sayı problemlerinin de temelidir.
BÖLME İŞLEMİNİN TEMEL KAVRAMLARI
Bölünen, Bölen, Bölüm ve Kalan
Doğal sayılarda bir bölme işlemi dört öğeden oluşur. Bölünen parçalanan sayı, bölen kaçarlı gruplama yapılacağını gösteren sayı, bölüm oluşan tam grup sayısı, kalan ise tam gruplara ayrılamayan miktardır. Bölen sıfır olamaz; çünkü bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
| Öğe | Sembol | Anlamı |
|---|---|---|
| Bölünen | A | Bölme işlemine giren ana sayı |
| Bölen | B | Grup büyüklüğü; B ≠ 0 |
| Bölüm | C | Oluşan tam grup sayısı |
| Kalan | K | Gruplama sonrasında artan miktar |
Örneğin 653 sayısı 29’a bölündüğünde bölüm 22, kalan 15’tir. Çünkü 29 sayısı 653 içinde 22 kez bulunur; 29 * 22 = 638 ve 653 − 638 = 15 olur.
B) 35
C) 37
D) 39
E) 44
Bölme Algoritması ve Sağlama
Bölme işleminin dört öğesi şu temel bağıntıyla birbirine bağlanır:
Bölünen = Bölen * Bölüm + Kalan
A = B * C + K
Bu eşitlik, hem bilinmeyen öğeyi bulmak hem de yapılmış bir bölmeyi kontrol etmek için kullanılır. Eşitliğin sağ tarafı bölüneni vermiyorsa bölüm veya kalan yanlıştır. Kalan için ayrıca 0 ≤ K < B koşulu sağlanmalıdır.
Kalan 0 olduğunda bölme kalansızdır; başka bir ifadeyle A sayısı B’ye tam bölünür. Kalanın pozitif olduğu durumda ise bölünen, bölenin tam katı değildir.
B) 204
C) 219
D) 220
E) 221
KALAN SINIRI VE EN BÜYÜK–EN KÜÇÜK DEĞERLER
Kalanın Alabileceği Değerler
Bölen B ise kalan 0, 1, 2, …, B − 1 değerlerinden birini alabilir. Bu nedenle kalanın alabileceği B farklı değer vardır ve bütün olası kalanların toplamı:
0 + 1 + 2 + … + (B − 1) = B * (B − 1) / 2
olur. Bir soruda kalan pozitif deniyorsa 0 kapsam dışı bırakılır; fakat değerlerin toplamı değişmez. Kalanın en büyük olması isteniyorsa doğrudan B − 1 kullanılır.
Bölen ve bölüm sabitken bölünenin en küçük değeri kalan 0 alınarak, en büyük değeri kalan B − 1 alınarak bulunur. Kalanın sıfırdan farklı olduğu açıkça belirtilirse en küçük kalan 1’dir.
Değişkenli Kalan Koşulları
Kalan bir değişkenle verilmişse önce 0 ≤ K < B eşitsizliği çözülür. Bölünenin en büyük veya en küçük değeri ancak değişkenin geçerli aralığı belirlendikten sonra hesaplanır.
Örneğin bölen x + 5, bölüm x ve kalan 14 ise 14 < x + 5 olmalıdır. Pozitif tam sayılarda x’in en küçük değeri 10’dur. Bu değer bölme eşitliğine yazıldığında bölünenin en küçük değeri bulunur.
B) 159
C) 164
D) 169
E) 174
B) 58
C) 60
D) 62
E) 68
BÖLME EŞİTLİĞİYLE PROBLEM ÇÖZME
Toplam veya Fark Bilgisi Verilen İşlemler
Bölünen ile bölenin toplamı ya da farkı verildiğinde iki denklem birlikte kullanılır. Önce bölme algoritması yazılır, sonra toplam veya fark bağıntısı eklenir. Böylece iki bilinmeyenli denklem sistemi tek bilinmeyene indirgenir.
Örneğin bölüm 7, kalan 2 ve bölünen ile bölenin toplamı 170 ise:
A = 7B + 2
A + B = 170
eşitlikleri birlikte çözülür. İlk eşitlik ikincide yerine yazıldığında 8B + 2 = 170 olur.
B) 147
C) 149
D) 151
E) 156
Ardışık Bölme İşlemlerini Birleştirme
Bir sayının başka bir sayıya, o sayının da üçüncü bir sayıya bölünmesi verildiğinde her işlem için ayrı eşitlik kurulur. Sonra ara değişken yerine yazılarak ilk sayı son değişken cinsinden ifade edilir.
A = 4B + 3 ve B = 2C + 1 ise ikinci eşitlik birincide yerine yazılır:
A = 4 * (2C + 1) + 3 = 8C + 7
İşlem sonunda her kalanın kendi böleninden küçük olduğu ayrıca kontrol edilmelidir. İlk işlemde 3 < B, ikinci işlemde 1 < C koşulları korunur.
B) 8C + 4
C) 8C + 7
D) 10C + 5
E) 10C + 7
BÖLEN İLE BÖLÜMÜN YER DEĞİŞTİRMESİ
Yer Değiştirme Koşulu
A = B * C + K eşitliğinde B * C çarpımı, C * B ile aynıdır. Bu nedenle bölen ile bölüm yer değiştirdiğinde cebirsel eşitlik bozulmaz. Ancak yeni işlemde de kalan, yeni bölenden küçük olmalıdır.
Başlangıçta bölen B, bölüm C ise yer değiştirme sonrasında yeni bölen C olur. Dolayısıyla işlem ancak K < C koşuluyla geçerlidir. Bu durumda A sayısının C’ye bölümünde bölüm B, kalan yine K olur.
B) 4
C) 7
D) 9
E) 10
BASAMAK ÖRÜNTÜLERİNDE BÖLME
Tekrarlanan Sayı Blokları
Bir sayı bloğu yan yana tekrarlandığında sayı basamak değerleriyle ayrıştırılabilir. Üç basamaklı XYZ sayısı iki kez yazılırsa:
XYZXYZ = 1000 * XYZ + XYZ = 1001 * XYZ
olur. Bu nedenle XYZXYZ sayısının XYZ’ye bölümü 1001, kalanı 0’dır. Aynı düşünce iki basamaklı bir blok için ABAB = 101 * AB; üç tekrar için ABABAB = 10101 * AB biçimini verir.
| Yapı | Çarpanlara Ayrılmış Biçim | Blokla Bölüm |
|---|---|---|
| ABAB | 100 * AB + AB = 101 * AB | 101 |
| XYZXYZ | 1000 * XYZ + XYZ = 1001 * XYZ | 1001 |
| ABABAB | 10000 * AB + 100 * AB + AB | 10101 |
B) 246
C) 1000
D) 1001
E) 1002
KALANLARLA İŞLEM YAPMA
Toplam, Fark, Çarpım ve Kuvvetin Kalanı
İki sayının aynı pozitif tam sayıya bölümünden kalanlar biliniyorsa büyük sayıların kendisini hesaplamadan toplamın, farkın ve çarpımın kalanı bulunabilir. A sayısının m ile bölümünden kalan a, B sayısının m ile bölümünden kalan b olsun.
| İşlem | Önce Hesaplanacak İfade | Son Adım |
|---|---|---|
| A + B | a + b | Sonucu m’ye böl, kalanı al. |
| A − B | a − b | Negatifse m’nin katını ekle. |
| A * B | a * b | Sonucu m’ye böl, kalanı al. |
| An | an | Sonucu m’ye böl, kalanı al. |
Bulunan ara sonuç m’den büyük veya m’ye eşitse yeniden m’ye bölünür. Sonuç negatifse 0 ile m − 1 arasına gelene kadar m eklenir. Böylece kalan her zaman geçerli aralıkta tutulur.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
BÖLME SORULARINDA TEMEL NOKTALAR
Bölme sorularında doğru denklemi kurmak, çoğu zaman uzun işlem yapmaktan daha önemlidir. Çözüm tamamlandığında şu kontroller uygulanabilir:
- Bölen sıfırdan farklı mı?
- Kalan 0 ile bölenin bir eksiği arasında mı?
- Bölen * Bölüm + Kalan işlemi bölüneni veriyor mu?
- En büyük veya en küçük değer sorusunda önce kalan sınırı kullanıldı mı?
- Bölen ile bölüm yer değiştirdiyse kalan yeni bölenden de küçük mü?
Bu denetimler, özellikle değişkenli bölme ve art arda verilen işlemlerde yanlış değeri erken fark etmeyi sağlar.