Özel tanımlı işlemler, alışılmış toplama, çıkarma, çarpma ve bölme sembollerinden farklı bir işaretle verilen yeni işlem kuralını okuyup uygulamaya dayanır. KPSS Matematik sorularında sembolün görünüşü değil, soruda yazılan tanım geçerlidir. Aynı sembol başka bir soruda bütünüyle farklı bir kurala sahip olabilir.
Önceki Oran ve Orantı yazısında eşitlikleri ortak katsayı ve değişim ilişkileriyle kullanmıştık. Özel işlemlerde de verilen kural, bilinmeyenleri yerine koyacağımız bir cebirsel şablondur. Sıradaki Modüler Aritmetik konusu ise kalan sınıfları ve döngüsel hesaplamaları ele alacaktır.
ÖZEL TANIMLI İŞLEM NEDİR?
Sembolü Yeni Bir İki Değişkenli Kural Olarak Okuma
Boş olmayan bir A kümesinde iki elemanı alıp yine belirtilen hedef kümede bir sonuca götüren kurala ikili işlem denir. Sorularda bu işlem ★, △, ◇, ■ veya başka bir sembolle gösterilebilir. a ★ b = 2a − 3b + 4 tanımında ★ işareti standart çarpma değildir; solundaki a ve sağındaki b, verilen formüldeki yerlerine yazılır.
İşlemin tanımlandığı küme de önemlidir. Paydada değişken varsa sıfır yapan değerler, karekök varsa gerçel sonuç koşulu, tam sayılar kümesinde çalışılıyorsa tam sayı dışına çıkan sonuçlar ayrıca kontrol edilir. Kural, yalnız belirtilen tanım kümesinde geçerlidir.
| Okuma Adımı | Yapılacak İş | Sık Hata |
|---|---|---|
| 1 | Sembolün sol ve sağ bileşenini belirleyin. | İki bileşenin yerini değiştirmek |
| 2 | Değerleri tanımdaki a ve b yerlerine yazın. | Sembolü çarpma veya toplama sanmak |
| 3 | Parantez ve işlem önceliğini koruyun. | Negatif değerin işaretini kaybetmek |
| 4 | Sonucun tanım kümesine uygunluğunu kontrol edin. | Kısıtları yok saymak |
DOĞRUDAN İŞLEM DEĞERİ BULMA
Birinci ve İkinci Bileşeni Kurala Yerleştirme
a ★ b = 2a − 3b + 4 işleminde 5 ★ (−2) isteniyorsa a = 5 ve b = −2 alınır. İkinci terim negatif olduğu için −3 · (−2) ifadesi pozitife dönüşür. Değer yerleştirilmeden önce formülü yeniden düzenlemek gerekmez.
B) 12
C) 16
D) 20
E) 24
İÇ İÇE ÖZEL İŞLEMLER
Önce En İçteki İşlemi Tamamlama
(a ★ b) ★ c veya a ★ (b ★ c) gibi ifadelerde parantez sırası sonucu belirler. Önce en içteki özel işlem hesaplanır; bulunan sayı, dış işlemin ilgili bileşeni olur. İşlemde birleşme özelliği ayrıca verilmedikçe parantezlerin yeri değiştirilemez.
Örneğin a △ b = a² − b ise (3 △ 2) △ 4 işleminde önce 3 △ 2 = 7 bulunur. Dış işlem artık 7 △ 4’tür. Buna karşılık 3 △ (2 △ 4) farklı bir sonuç üretebilir.
B) 25
C) 35
D) 41
E) 45
ÖZEL İŞLEMLERDE BİLİNMEYEN BULMA
İşlem Tanımını Denklem Hâline Getirme
Özel işlemli bir eşitlikte sembol önce tanımına açılır, ardından normal denklem çözme kuralları uygulanır. x ◇ 3 = 13 ifadesi tek başına x ile 3’ün çarpımı değildir. a ◇ b = 3a − b + 1 tanımına göre sol taraf 3x − 3 + 1 olur.
Bilinmeyen özel işlemin iki tarafında da bulunabilir. Böyle bir durumda her bileşen ayrı ayrı tanıma yerleştirilir, parantezler açılır ve benzer terimler toplanır. Çözüm sonunda elde edilen değer başlangıçtaki özel işlem eşitliğinde kontrol edilmelidir.
B) 3
C) 5
D) 6
E) 7
BİRDEN FAZLA ÖZEL İŞLEM
Her Sembol İçin Kendi Tanımını Kullanma
Aynı soruda ★ ve △ gibi iki farklı işlem tanımlanabilir. Her sembol yalnız kendi kuralıyla açılır. (4 ★ 3) △ 2 ifadesinde önce parantez içindeki ★ işlemi, sonra çıkan sonuçla △ işlemi yapılır.
İki işlem birbirine benzer formüllerle verilse bile katsayılar ve bileşen sırası ayrı kontrol edilmelidir. Kısa bir çözüm tablosu kullanmak karışıklığı azaltır: sembol, tanım, yerleştirilen değerler ve bulunan ara sonuç yan yana yazılabilir.
B) 9
C) 11
D) 13
E) 15
PARÇALI TANIMLANAN İŞLEMLER
Bileşenlerin Sırasına Göre Doğru Kuralı Seçme
İşlem, a > b ve a ≤ b gibi durumlara göre farklı formüllerle tanımlanabilir. Her işlem çağrısında sol ve sağ bileşen yeniden karşılaştırılır. İç içe bir ifadede ilk işlemden çıkan sonuç, dış işlem için yeni bir karşılaştırma oluşturur.
| Koşul | İşlem Kuralı | Örnek |
|---|---|---|
| a > b | a ■ b = a + b | 5 ■ 2 = 7 |
| a ≤ b | a ■ b = b − a | 3 ■ 7 = 4 |
B) 7
C) 9
D) 11
E) 14
SIRALI İKİLİLER ÜZERİNDE İŞLEM
Koordinat Bileşenlerini Tanımdaki Yerlerine Yazma
Özel işlem yalnız sayılar arasında değil, sıralı ikililer veya başka matematiksel nesneler üzerinde de tanımlanabilir. (a, b) ◇ (c, d) = (a + 2c, d − b) tanımında sonuç yine iki bileşenli bir sıralı ikilidir.
Birinci sonuç bileşeni için a ve c, ikinci sonuç bileşeni için b ve d kullanılır. Sıralı ikililerin yerleri değiştirildiğinde sonuç genellikle değişir; bu nedenle işlem değişmeli kabul edilemez.
B) (4, 6)
C) (5, 5)
D) (5, 11)
E) (7, 5)
DEĞİŞME ÖZELLİĞİ
a ★ b ile b ★ a İfadelerini Karşılaştırma
Her a ve b için a ★ b = b ★ a oluyorsa işlemin değişme özelliği vardır. Bunu kontrol etmek için tanımda a ile b’nin yerleri değiştirilir ve iki ifade karşılaştırılır. Toplam, çarpım, ab ve a² + b² gibi simetrik yapılar değişmeyi destekler; farklı katsayılar genellikle özelliği bozar.
İşlem tablosunda değişme özelliği, sonuçların ana köşegene göre simetrik olmasıyla anlaşılır. Ancak tek birkaç örneğin eşit çıkması yeterli değildir; özellik bütün eleman çiftleri için sağlanmalıdır.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN
İşleme Giren Elemanı Değiştirmeyen Değeri Bulma
A kümesindeki her x için x ★ e = e ★ x = x oluyorsa e, ★ işleminin etkisiz veya birim elemanıdır. Birim eleman varsa tektir. Yalnız sağdan veya yalnız soldan etkisiz olan bir değer, iki taraflı birim eleman koşulunu otomatik olarak sağlamaz.
a ★ b = a + b − 4 işleminde x ★ e = x koşulu x + e − 4 = x olur ve e = 4 bulunur. İşlem değişmeli olduğu için diğer yön de sağlanır.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
TERS VE YUTAN ELEMAN
Birim Elemanı Üreten ve Her Sonucu Kendisine Dönüştüren Değerler
İşlemin birim elemanı e ise x ile işleme girdiğinde e sonucunu veren x′ değerine x’in tersi denir: x ★ x′ = x′ ★ x = e. Ters aranırken önce birim eleman bulunur. Normal toplama veya çarpmadaki ters kavramı doğrudan kullanılamaz; özel işlemin kuralı esas alınır.
Her x için x ★ y = y ★ x = y oluyorsa y, işlemin yutan elemanıdır. Yutan eleman varsa tektir ve işlemine göre tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman olmak zorunda değildir.
B) 1
C) 2
D) −1
E) Yoktur
İŞLEM TABLOLARI
Satır ve Sütun Kesişiminden Sonucu Okuma
Sonlu bir kümedeki işlem tabloyla verilebilir. Yaygın kullanımda soldaki ilk sütun birinci bileşeni, üstteki ilk satır ikinci bileşeni gösterir. a ★ b için a satırı ile b sütununun kesişimindeki değer okunur. Sorudaki tablo yönlendirmesi farklıysa o açıklama önceliklidir.
Birim elemanın satırı ve sütunu kümenin elemanlarını aynı sırayla bırakır. Yutan elemanın satırı ve sütunu bütünüyle kendisinden oluşur. Bir x elemanının tersi, x satır veya sütununda birim elemanı veren bileşendir. Ana köşegene göre simetri ise değişme özelliğini gösterir.
| ★ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 |
| 2 | 0 | 2 | 1 |
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
ÖZEL TANIMLI İŞLEMLERDE TEMEL NOKTALAR
- Sembolü bildiğiniz standart bir işlem gibi yorumlamamak gerekir; yalnız verilen tanımı kullanılır.
- Sol ve sağ bileşenleri tanımdaki yerlerine doğru sırayla yazılır.
- Negatif veya çok terimli bileşenleri paranteze almak gerekir.
- İç içe işlemlerde en içteki parantezden başlamak gerekir.
- Birden fazla sembol varsa her biri için kendi kuralını kullanmak gerekir.
- Parçalı tanımda her yeni işlem çağrısında koşulu yeniden kontrol edilir.
- Değişme özelliği için a ★ b ile b ★ a’yı bütün elemanlar açısından karşılaştırılır.
- Birim elemanda hem x ★ e = x hem de e ★ x = x koşullarını sınamak gerekir.
- Ters elemanı aramadan önce işlemin birim elemanını bulmak gerekir.
- Yutan elemanın her elemanla işlem sonucunu kendisine çevirdiğini doğrulamak gerekir.
- Tabloda birinci bileşenin satırda mı sütunda mı olduğunu başlıktan kontrol edilir.
- Sonucun tanım kümesine ait olup olmadığını denetlemek gerekir.