Oran ve orantı, çoklukları birbirine göre karşılaştırmayı ve aralarındaki değişim ilişkisini eşitlik biçiminde kurmayı sağlar. KPSS Matematik sorularında yalnız içler-dışlar çarpımı yapmak yetmez; oranı doğru sırada yazmak, ortak katsayıyı seçmek, doğru ve ters orantıyı ayırmak, çoklu oranları birleştirmek ve sonucu verilen koşullarla sınamak gerekir.
Önceki Birinci Dereceden Denklemler yazısında eşitlik kurma ve bilinmeyeni bulma yöntemlerini işlemiştik. Oran-orantı bu denklem bilgisini karşılaştırma sorularına taşır. Sıradaki Özel Tanımlı İşlemler konusu ise verilen yeni işlem kuralını okuyup uygulama becerisine dayanacaktır.
ORAN KAVRAMI
İki Çokluğu Bölme Yoluyla Karşılaştırma
En az biri sıfırdan farklı iki çokluktan birincinin ikinciye bölümüne oran denir. a’nın b’ye oranı a/b veya a : b biçiminde gösterilir. Oranda sıra önemlidir: a’nın b’ye oranı ile b’nin a’ya oranı genel olarak aynı değildir. Payda konumundaki çokluk sıfır olamaz.
Aynı türden çokluklar karşılaştırılıyorsa önce birimler eşitlenir. Örneğin 2 metre ile 50 santimetrenin oranı doğrudan 2/50 değildir; 2 metre 200 santimetreye çevrilir ve oran 200/50 = 4 bulunur. Parça-bütün sorularında ise hangi oranın istendiğine dikkat edilir: kırmızıların mavilere oranı ile kırmızıların tüm nesnelere oranı farklıdır.
A) 13
B) 25
C) 35
D) 23
E) 32
ORANTI VE ORANTI SABİTİ
Eşit İki Oranı İçler-Dışlar Çarpımıyla Kullanma
İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. ab = cd = k eşitliğinde k, orantı sabitidir. b ve d sıfırdan farklı olmak üzere içler ile dışların çarpımları eşittir: a · d = b · c.
Bir oran k’ye eşitse terimler ortak katsayıyla yazılabilir: a/b = 3/5 ise a = 3k ve b = 5k alınır. Toplam, fark veya başka bir eşitlik verildiğinde bu gösterim bilinmeyenleri tek katsayıya indirir.
B) 21
C) 24
D) 27
E) 30
ORANTININ TEMEL ÖZELLİKLERİ
Oranı Bozmadan Terimlerin Yerini ve Biçimini Değiştirme
a/b = c/d orantısından, tanımlı olduğu sürece farklı fakat eş değer orantılar üretilebilir. Oranların tersleri alınabilir; içler veya dışlar kendi aralarında yer değiştirebilir. Pay ve paydanın toplamı ya da farkı kullanılırken işlem iki orana da aynı yapıda uygulanmalıdır.
| Başlangıç | Eş Değer Biçim | Açıklama |
|---|---|---|
| a/b = c/d | b/a = d/c | İki oranın da tersi alınır. |
| a/b = c/d | a/c = b/d | İçler yer değiştirir. |
| a/b = c/d | (a + b)/b = (c + d)/d | Her iki oranda paya payda eklenir. |
| a/b = c/d | (a − b)/b = (c − d)/d | Her iki oranda paydan payda çıkarılır. |
A) 13
B) 12
C) 23
D) 32
E) 2
ÇOKLU ORANLARI BİRLEŞTİRME
Ortak Terimi Eşitleyerek Üçlü Oran Kurma
İki ayrı oranda ortak bir terim bulunuyorsa bu terimin katsayıları eşitlenerek tek bir üçlü oran oluşturulur. Örneğin a : b = 2 : 3 ve b : c = 4 : 5 verilsin. Ortak terim b’nin katsayıları 3 ve 4 olduğundan ekokları 12 alınır. İlk oran 4, ikinci oran 3 ile genişletilirse a : b : c = 8 : 12 : 15 bulunur.
Üçlü oranın toplamı verilmişse her terim ortak bir k katsayısıyla çarpılır. Fark veya başka bir doğrusal bağıntı verilmişse de aynı temsil kullanılır. Oran terimlerinin mümkün olan en sade tam sayılarla yazılması işlem yükünü azaltır.
B) 48
C) 60
D) 72
E) 80
EŞİT ÇARPIMLI ZİNCİRLER
Ortak Değeri Uygun Kat Seçerek Değişkenleri Bulma
2x = 3y = 5z gibi bir zincirde ortak değer gelişigüzel k seçilirse kesirli ifadeler oluşabilir. Katsayıların ortak katı kullanılırsa değişkenler tam katsayılı yazılır. 2, 3 ve 5’in ekoku 30 olduğundan ortak değer 30k alınır; böylece x = 15k, y = 10k, z = 6k elde edilir.
Zincirin x/a = y/b = z/c biçiminde verilmesi durumunda ise doğrudan x = ak, y = bk, z = ck yazılır. İki gösterim birbirine benzer görünse de katsayılarla değişkenlerin ilişkisi terstir.
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
DOĞRU ORANTI
Birlikte Artan veya Azalan Çoklukları Modelleme
İki çokluktan biri belli bir katına çıktığında diğeri de aynı katına çıkıyorsa bu çokluklar doğru orantılıdır. x ile y doğru orantılıysa y = kx ve y/x = k yazılır. Doğru orantıda bölüm sabittir.
Satın alınan ürün sayısı ile toplam ücret, sabit hızda süre ile alınan yol ve aynı nitelikteki madde miktarları sık görülen doğru orantı örnekleridir. Ancak başlangıçta sabit bir ekleme varsa ilişki doğrudan y = kx olmayabilir. Örneğin x + 1 ile y − 2 doğru orantılı denildiğinde sabit oran bu iki ifadenin kendileri arasında kurulur.
B) 11
C) 12
D) 14
E) 16
DOĞRU ORANTILI PAYLAŞIM
Toplamı Verilen Oran Paylarına Ayırma
Bir toplam 2 : 3 : 4 oranında paylaştırılacaksa paylar 2k, 3k ve 4k olarak yazılır. Toplam 9k’dir. Önce bir payın değeri, ardından istenen parça bulunur. Fark verilirse ilgili oran terimlerinin farkı kullanılır.
Paylaşımda oranların hangi kişiye veya maddeye ait olduğu sırayla korunmalıdır. “A, B ve C sırasıyla 2, 3 ve 4 ile orantılıdır” ifadesinde A = 2k, B = 3k ve C = 4k’dir. Oran terimlerini kişilere ters sırada dağıtmak sık yapılan bir hatadır.
B) 150
C) 180
D) 210
E) 240
TERS ORANTI
Biri Artarken Diğeri Azalan Çoklukları Modelleme
İki çokluktan biri belli bir katına çıkarken diğeri aynı oranda küçülüyorsa bu çokluklar ters orantılıdır. x ile y ters orantılıysa x · y = k ve y = k/x yazılır. Ters orantıda çarpım sabittir.
Aynı işi yapan eş güçteki işçi sayısı ile bitirme süresi, sabit yol için hız ile süre ve bir bütünü eşit paylaştırmada kişi sayısı ile kişi başına düşen miktar ters orantıya örnektir. Fakat iş miktarı, çalışma hızı veya başka bir koşul değişiyorsa yalnız iki değişkenin çarpımını sabit kabul etmek doğru olmaz.
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
TERS ORANTILI PAYLAŞIM
Verilen Sayıların Terslerini Tam Sayı Oranına Çevirme
Bir miktar 2, 3 ve 5 ile ters orantılı paylaştırılacaksa paylar 1/2 : 1/3 : 1/5 oranındadır. Kesirlerden kurtulmak için paydaların ekoku olan 30 ile genişletilir ve 15 : 10 : 6 oranı elde edilir. En büyük sayıyla ters orantılı olan kişi en küçük payı alır.
B) 90
C) 100
D) 120
E) 160
BİLEŞİK ORANTI
Birden Fazla Doğru ve Ters İlişkiyi Birlikte Kurma
Bir değişken bir çoklukla doğru, başka bir çoklukla ters orantılıysa bileşik orantı oluşur. x; y ile doğru, z ile ters orantılıysa x = k · y/z yazılır. İş sorularında yapılan iş; işçi sayısı, günlük çalışma süresi, gün sayısı ve birim çalışma hızıyla doğru orantılıdır.
| İlişki | Sabit Biçim | Kontrol Sorusu |
|---|---|---|
| x ile y doğru orantılı | x/y = k | y iki katına çıkınca x de iki katına çıkıyor mu? |
| x ile y ters orantılı | x · y = k | y iki katına çıkınca x yarıya iniyor mu? |
| x, y ile doğru; z ile ters | x · z/y = k | Her değişkenin etkisi ayrı ayrı doğru yönde mi? |
Bileşik orantıda tablo kurmak güvenlidir. Aynı işi karşılaştırırken işçi · saat · gün çarpımları eşitlenir. İş miktarı değişiyorsa eşitliğe iş miktarı da katılır; iş üç katına çıkarsa gerekli toplam emek de üç katına çıkar.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
DOĞRU VE TERS ORANTI GRAFİKLERİ
Grafiğin Biçiminden Orantı Türünü Tanıma
y = kx doğru orantısının grafiği orijinden geçen bir doğrudur. k pozitifse x arttıkça y artar; doğrunun eğimi k orantı sabitini verir. Bir ilişkinin doğrusal olması tek başına doğru orantı için yeterli değildir: y = kx + b grafiği b ≠ 0 iken orijinden geçmez ve y/x sabit değildir.
y = k/x ters orantısının grafiği doğru değil, eksenlere yaklaşan eğri biçimindedir. k pozitifken x büyüdükçe y küçülür; fakat her noktada x · y = k korunur. Grafik sorularında rastgele bir noktanın koordinatları kullanılarak k bulunabilir.
| Özellik | Doğru Orantı | Ters Orantı |
|---|---|---|
| Denklem | y = kx | y = k/x |
| Sabit kalan | y/x | x · y |
| Grafik | Orijinden geçen doğru | Eksenlere yaklaşan eğri |
| Değişim | Biri artarken diğeri aynı oranda artar. | Biri artarken diğeri aynı oranda azalır. |
B) 40
C) 45
D) 50
E) 54
B) 9
C) 12
D) 16
E) 24
ORAN VE ORANTIDA TEMEL NOKTALAR
- Oranı istenen sırada yazılır; a’nın b’ye oranı a/b’dir.
- Aynı türden çoklukları karşılaştırmadan önce birimlerini eşitlenir.
- Parça-parça oranı ile parça-bütün oranını birbirine karıştırmamak gerekir.
- Payda konumundaki ifadenin sıfır olamayacağını göz önünde bulundurulur.
- Orantı sabitini kullanırken bütün oranları aynı k’ye bağlamak gerekir.
- Çoklu oranlarda ortak terimin katsayılarını önce eşitlenir.
- Eşit çarpımlı zincirde ortak değeri katsayıların ekokuyla seçmek gerekir.
- Doğru orantıda bölümün, ters orantıda çarpımın sabit kaldığını kontrol edilir.
- Ters orantılı paylaşımda verilen sayıların önce terslerini almak gerekir.
- Bileşik orantıda her değişkenin sonucu artırıp azaltma yönünü ayrı ayrı sınamak gerekir.
- Bulduğunuz payların toplamını başlangıçtaki toplamla karşılaştırılır.