MODÜLER ARİTMETİK

KPSS Modüler Aritmetik konu anlatımı kapsamında bölme algoritması ve standart kalan, modüler denklik ve kalan sınıfları, negatif sayılarla işlemler, modüler işlem kuralları ve modüler ters, kuvvetler ile tekrarlı dizilerde periyotlar, gün ve saat problemleri işlenecektir.
KPSS Matematik konularının tamamına KPSS konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

MODÜLER ARİTMETİK VE EŞLİK TANIMI

Aynı Modüle Göre Aynı Kalanı Veren Sayıları Okuma

m > 1 bir doğal sayı; a ve b tam sayılar olsun. a − b farkı m ile tam bölünüyorsa “a, m modülüne göre b’ye denktir” denir ve a ≡ b (mod m) biçiminde yazılır. Eş değer anlatımla a ile b’nin m’ye bölümünden kalanlar aynıdır.

KALAN SINIFLARI VE NEGATİF SAYILAR

Bir Eşliğin Sonsuz Temsilcisinden Standart Kalanı Seçme

a ≡ r (mod m) ise r’ye m‘nin tam katları eklenip çıkarılabilir. Bu nedenle aynı sınıfın sonsuz temsilcisi vardır: r, r + m, r − m, r + 2m, … Standart kalan istendiğinde 0 ≤ r < m aralığındaki tek değer seçilir.

Negatif bir sayıda da aynı kural geçerlidir. Örneğin −23 ≡ −3 (mod 5) yazılabilir; fakat en küçük negatif olmayan kalan soruluyorsa −3’e 5 eklenir ve −23 ≡ 2 (mod 5) elde edilir.

DENK SAYILARI BELİRLEME

Genel Çözümü Tam Sayı Parametresiyle Yazma

x ≡ r (mod m) eşliği x = r + km biçiminde yazılabilir; burada k herhangi bir tam sayıdır. Bu ifade, aynı kalan sınıfındaki bütün sayıları tek satırda gösterir. Belirli bir aralık verildiyse uygun k değerleri seçilerek listedeki sayılar bulunur.

MODÜLER İŞLEM ÖZELLİKLERİ

Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Kuvveti Küçük Kalana İndirme

a ≡ b (mod m) ve c ≡ d (mod m) ise bu eşlikler aynı modülde toplanabilir, çıkarılabilir ve çarpılabilir. Pozitif tam sayı kuvvetlerinde de denk sayılar denk kalır. Böylece büyük sayılar önce küçük kalana indirgenir, işlem daha sonra yapılır.

DOĞRUSAL MODÜLER DENKLEMLER

ax ≡ b (mod m) Eşliğinde Çözüm Koşulunu Kullanma

ax ≡ b (mod m) eşliğinin çözümü için d = EBOB(a,m) bulunur. d sayısı b’yi bölmüyorsa çözüm yoktur. d, b’yi bölüyorsa mod m içinde d farklı çözüm vardır; katsayı, sağ taraf ve modül d’ye bölünerek daha küçük bir eşliğe geçilir.

a’nın mod m’ye göre tersi t, a*t ≡ 1 (mod m) eşitliğini sağlayan kalandır. Bu ters, EBOB(a,m)=1 olduğunda vardır. Ters t bulunduğunda ax ≡ b (mod m) eşliğinin iki tarafı t ile çarpılarak x yalnız bırakılır. Normal cebirdeki gibi her sayı doğrudan sadeleştirilemez; sadeleştirmenin modülü ve çözüm sayısını nasıl etkilediği kontrol edilmelidir.

KUVVETLERDE PERİYOT BULMA

Tekrarlayan Kalan Dizisinin Uzunluğunu Belirleme

a bir tam sayı, m > 1 ve n ≥ 0 bir tam sayı olsun. aⁿ sayısının m ile bölümünden kalanı r_n ile gösterelim. EBOB(a, m) = 1 ise r₀ = 1‘den başlayan kalan dizisi doğrudan periyodiktir. EBOB(a, m) > 1 olduğunda ise döngüden önce bir başlangıç bölümü bulunabilir.

İlk tekrar r_i = r_j (0 ≤ i < j) biçimindeyse başlangıç bölümünün uzunluğu μ = i, döngü uzunluğu λ = j − i olur. n ≥ μ için

r_n = r_{μ + ((n − μ) mod λ)}.

n < μ olduğunda kalan başlangıç bölümündeki r_n değeridir. μ > 0 ise üssü yalnız λ‘ya göre indirgemek doğru değildir; periyot indirgemesi başlangıç bölümünden sonraki indislerde geçerlidir.

Örneğin 2ⁿ mod 8 kalanları, n = 0‘dan başlayarak r₀ = 1, r₁ = 2, r₂ = 4, r₃ = 0, r₄ = 0, … biçimindedir. İlk tekrar r₃ = r₄ olduğundan μ = 3 ve λ = 1‘dir. Başlangıç bölümündeki kalanlar 1, 2, 4; n ≥ 3 için kalan 0’dır.

7ⁿ mod 10 kalan dizisi n = 0‘dan başlayarak 1, 7, 9, 3 biçiminde döner; r₀ = r₄ olduğundan μ = 0 ve λ = 4‘tür. 2026 ≡ 2 (mod 4) olduğundan r₂₀₂₆ = r₂ = 9‘dur.

BÜYÜK ÜSLÜ İFADELERİN KALANI

Simetrik Kalanları ve Kısa Döngüleri Birlikte Kullanma

Bir toplamın her terimi ayrı ayrı modüle indirilebilir. Modüle yakın sayıları negatif temsilciyle yazmak işlemi kısaltır: 19 ≡ −1 (mod 20) ve 23 ≡ 3 (mod 20) gibi. Tek kuvvetlerde zıt kalanların kuvvetleri birbirini götürebilir.

GÜN VE TAKVİM SORULARI

Yedi Günlük Döngüde İleri ve Geri Sayma

Haftanın günleri 7 adımda tekrar eder. İleri tarih için gün sayısının 7’ye göre kalanı kadar ileri; geçmiş tarih için kalan kadar geri gidilir. “Bugün pazartesi, 7 gün sonra” ifadesinde sonuç yine pazartesidir; başlangıç günü sıfırıncı konum olarak alınır.

ORTAK PERİYOT VE BİRLİKTE TEKRAR

Farklı Döngüleri EKOK ile Aynı Anda Başlatma

İki olay sırasıyla a ve b adımda bir gerçekleşiyorsa birlikte tekrar aralığı EKOK(a,b)‘dir. Başlangıçtaki ortak gerçekleşme “birinci kez” sayılıyorsa n’inci ortak buluşmaya kadar n − 1 aralık geçer. Bulunan toplam gün daha sonra 7’ye göre değerlendirilir.

PERİYODİK HARF, IŞIK VE SIRA DÜZENLERİ

Konum Numarasını Döngü Uzunluğuna Göre İndirme

Tekrar eden bir kelime, renk dizisi, lamba sırası veya oturma düzeninde önce en küçük tekrar bloğu bulunur. İstenen sıra numarası blok uzunluğuna bölünür. Kalan 1 ise ilk, kalan 2 ise ikinci eleman seçilir; kalan 0 olduğunda bloğun son elemanı alınır.