Kümeler ve küme problemleri, nesneleri ortak bir özelliğe göre sınıflandırmayı ve bu sınıflar arasındaki ilişkileri sayısal olarak incelemeyi sağlar. Alt küme sayısı, birleşim, kesişim, fark ve tümleme kuralları; anket, tercih, ders veya etkinlik sorularının ortak matematik dilidir.
Önceki Modüler Aritmetik yazısında sayıları kalan sınıflarına ayırmıştık. Bu konuda elemanları kümeler içinde düzenleyeceğiz. Sıradaki Fonksiyonlar konusu ise iki küme arasında kurulan özel eşlemeleri ele alacaktır.
KÜME KAVRAMI VE GÖSTERİMİ
Elemanları Liste, Ortak Özellik ve Venn Şemasıyla Belirtme
Bir küme, birbirinden ayırt edilebilen nesnelerin iyi tanımlanmış topluluğudur. “Güzel sayılar” kişiden kişiye değişebileceği için küme belirtmez; “10’dan küçük asal sayılar” ise elemanları kesin olduğundan bir kümedir. Kümeler genellikle büyük harfle, elemanlar küçük harfle gösterilir.
a ∈ A, a’nın A kümesinin elemanı; a ∉ A ise elemanı olmadığı anlamına gelir. Elemanları tek tek yazmaya liste yöntemi, ortak koşulla tanımlamaya ortak özellik yöntemi denir. A={2,4,6,8} ile A={x | x, 10’dan küçük pozitif çift tam sayı} aynı kümeyi belirtir. Elemanları kapalı bir eğri içinde göstermek Venn şemasıdır.
| Gösterim | Okunuşu | Örnek |
|---|---|---|
| x ∈ A | x, A’nın elemanıdır. | 3 ∈ {1,3,5} |
| x ∉ A | x, A’nın elemanı değildir. | 2 ∉ {1,3,5} |
| s(A) | A’nın eleman sayısıdır. | s({a,b,c})=3 |
B) {2} ∈ A
C) {1} ∈ A
D) 4 ∈ A
E) s(A)=4
KÜME TÜRLERİ
Boş, Eşit, Denk ve Evrensel Kümeleri Ayırt Etme
Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ∅ ya da { } ile gösterilir. {∅} ise boş değildir; boş kümeyi eleman olarak içeren tek elemanlı bir kümedir. Elemanları aynı olan kümeler eşit, yalnızca eleman sayıları aynı olan kümeler denktir. İncelenen bütün elemanları kapsayan küme evrensel kümedir ve E ile gösterilir.
B) {0}
C) {x ∈ N | x+1=x}
D) {x ∈ Z | x²=1}
E) {1}
ALT KÜME VE KAPSAMA
Bir Kümenin Her Elemanının Diğer Kümede Bulunması
A kümesinin her elemanı B kümesinde de bulunuyorsa A, B’nin alt kümesidir ve A ⊆ B yazılır. A alt küme olduğu hâlde A ile B eşit değilse A, B’nin öz alt kümesidir. Boş küme her kümenin; her küme de kendisinin alt kümesidir. A ⊆ B ve B ⊆ A birlikte doğruysa A=B olur.
B) B ⊆ A
C) A ⊆ B
D) A=B
E) s(A)=s(B)
ALT KÜME SAYISI
Elemanları Seçme veya Seçmeme Kararlarını Sayma
n elemanlı bir kümenin her elemanı alt kümeye alınabilir veya alınmayabilir. Her eleman için iki bağımsız seçenek bulunduğundan toplam alt küme sayısı 2ⁿ, öz alt küme sayısı 2ⁿ−1 olur. Tam r elemanlı alt kümelerin sayısı ise C(n,r) olur.
B) 36 ve 35
C) 63 ve 62
D) 64 ve 63
E) 64 ve 62
BELİRLİ ELEMANLARI İÇEREN ALT KÜMELER
Zorunlu ve Yasak Elemanları Ayırdıktan Sonra Serbest Seçim Yapma
Bir elemanı içermesi istenen alt kümelerde o eleman baştan seçilir; içermemesi istenen eleman seçim havuzundan çıkarılır. Kalan elemanlar serbesttir. Alt kümenin eleman sayısı da verilmişse, zorunlu elemanlar yerleştirildikten sonra eksik sayı kadar eleman uygun havuzdan kombinasyonla seçilir.
B) 18
C) 20
D) 24
E) 30
EVRENSEL KÜME VE TÜMLEME
Evrensel Kümede Olup A Kümesinde Olmayanları Bulma
A kümesinin tümleyeni, evrensel kümede bulunup A’da bulunmayan elemanlardan oluşur ve A′ ya da Aᶜ ile gösterilir. Sonlu bir evrensel kümede s(A′)=s(E)−s(A) bağıntısı geçerlidir. Ayrıca A∪A′=E ve A∩A′=∅ olur.
B) 10
C) 12
D) 18
E) 48
BİRLEŞİM VE KESİŞİM
“Veya” ile Birleşimi, “Ve” ile Kesişimi Okuma
A veya B kümelerinden en az birinde bulunan elemanlar A∪B birleşimini; hem A’da hem B’de bulunan elemanlar A∩B kesişimini oluşturur. Ortak elemanlar birleşimde bir kez sayılmalıdır. Bu nedenle s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B) bağıntısı kullanılır.
| İfade | Küme dili | Bölge |
|---|---|---|
| A veya B | A∪B | En az bir kümeye girenlerin tamamı |
| A ve B | A∩B | Ortak bölge |
| Yalnız A | A\B | A’da olup B’de olmayanlar |
| Hiçbiri | (A∪B)′ | Birleşimin dışı |
B) 26
C) 30
D) 33
E) 40
FARK VE AYRIK KÜMELER
Bir Kümede Olup Diğerinde Olmayan Elemanları Ayırma
A\B, A’da olup B’de olmayan elemanları; B\A ise B’de olup A’da olmayan elemanları gösterir. Genel olarak bu iki küme eşit değildir. Ortak elemanı bulunmayan, yani kesişimi boş olan kümelere ayrık kümeler denir. Ayrık iki kümede s(A∪B)=s(A)+s(B) olur.
B) {3,4}
C) {5}
D) {1,2,5}
E) ∅
KÜME İŞLEMLERİNİN ÖZELLİKLERİ
Dağılma ve De Morgan Kurallarıyla İfadeleri Dönüştürme
Birleşim ve kesişim değişme ve birleşme özelliklerine sahiptir. Ayrıca A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ve A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) dağılma kuralları geçerlidir. De Morgan kurallarında tümleyen parantezin içine girerken birleşim ile kesişim yer değiştirir: (A∪B)′=A′∩B′ ve (A∩B)′=A′∪B′.
| Özellik | Birleşim | Kesişim |
|---|---|---|
| Etkisiz eleman | A∪∅=A | A∩E=A |
| Yutan eleman | A∪E=E | A∩∅=∅ |
| Kendisiyle işlem | A∪A=A | A∩A=A |
| Tümleyeniyle işlem | A∪A′=E | A∩A′=∅ |
İKİ KÜMELİ PROBLEMLER
Ortak Bölgeden Başlayıp Yalnız ve Hiçbiri Bölgelerini Tamamlama
İki kümeli problemlerde önce kesişim yazılır. Kümelerin toplam sayılarından ortak bölge çıkarılarak yalnız A ve yalnız B bulunur. En az birini yapanlar birleşimdir; toplam kişi sayısından birleşim çıkarılırsa hiçbirini yapmayanlar elde edilir.
B) 26
C) 30
D) 34
E) 40
ÜÇ KÜMELİ PROBLEMLER
Merkezdeki Üçlü Kesişimden Dışa Doğru İlerleme
Üç kümeli bir Venn şemasında en güvenli sıra merkezden başlamaktır. Önce üç kümenin ortak bölgesi yazılır. Ardından ikili kesişimlerden merkezdeki sayı çıkarılarak yalnız iki kümeye ait bölgeler bulunur. Sonra yalnız bir kümeye ait bölgeler ve en son hiçbiri tamamlanır.
Şemada “A ve B” ifadesinin C’yi de kapsayıp kapsamadığı sorunun dilinden belirlenir. “Yalnız A ve B” denmişse üçlü kesişim alınmaz; “A ile B’nin kesişimi” denmişse üçlü ortak bölge de bu kesişimin içindedir.
B) 12
C) 13
D) 15
E) 17
KÜME PROBLEMLERİ TEMEL NOKTALAR
- Kümenin iyi tanımlanmış olup olmadığını kontrol etmek gerekir.
- Eleman ile tek elemanlı kümeyi birbirine karıştırmamak gerekir.
- {∅} kümesinin boş olmadığını göz önünde bulundurmak gerekir.
- Alt küme sayısında 2ⁿ, r elemanlı alt kümelerde C(n,r) kullanılır.
- Zorunlu elemanı baştan seçmek gerekir, yasak elemanı havuzdan çıkarmak gerekir.
- “Veya” için birleşim, “ve” için kesişim bölgesini okumak gerekir.
- Birleşimde ortak elemanları iki kez saymamak gerekir.
- Fark işleminde sıranın önemli olduğunu hatırlamak gerekir.
- De Morgan kuralında hem kümelerin tümleyenini almak gerekir hem işlem sembolünü değiştirin.
- Üç kümeli soruda merkezden dışa doğru ilerlemek gerekir.
- “Yalnız”, “en az”, “en çok” ve “hiçbiri” ifadelerini ayrı bölgeler olarak yorumlamak gerekir.