AYT üçgenlerde eşlik ve benzerlik konu anlatımı kapsamında eşlik ve benzerlik kriterleri, doğru eleman eşleştirme, paralellikten doğan oranlar, uzunluk ve alan ölçekleri işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
EŞLİK VE BENZERLİĞİN TEMELİ
KARŞILIKLI ELEMANLAR VE YAZIM SIRASI
İki üçgenin biçimi ve büyüklüğü aynıysa üçgenler eştir; biçimleri aynı, büyüklükleri farklı olabiliyorsa benzerdir. Eşlikte karşılıklı bütün kenarlar ve açılar eşit, benzerlikte karşılıklı açılar eşit ve kenarlar aynı orandadır.
ABC≅DEF veya ABC∼DEF yazımında sıra bir bilgi taşır: A↔D, B↔E ve C↔F’dir. Buna göre AB↔DE, BC↔EF ve AC↔DF olur. Yanlış köşe eşleştirmesi doğru sayılarla bile yanlış oran üretir.
EşlikKarşılıklı kenarlar eşit, oran 1
BenzerlikKarşılıklı açılar eşit, kenar oranı k
Sıraİlk harf ilk harfle eşleşir
ÜÇGENLERDE EŞLİK KRİTERLERİ
Her altı elemanı ayrı ayrı göstermek gerekmez. Aşağıdaki üç koşuldan biri sağlanıyorsa üçgenlerin eşliği kesinleşir:
K-A-Kİki kenar ve aralarındaki açı
A-K-ABir kenar ve uçlarındaki iki açı
K-K-KÜç karşılıklı kenar
Örnek - 1
ABC≅DEF ve eşleşme A↔D, B↔E, C↔F’dir. AB=3x−1, DE=2x+5, AC=2y+1 ve DF=y+7 olduğuna göre x+y kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Eşlikten AB=DE ve AC=DF’dir. 3x−1=2x+5 eşitliğinden x=6; 2y+1=y+7 eşitliğinden y=6 bulunur. x+y=12’dir.
Örnek - 2
A, O, C noktaları ile B, O, D noktaları kendi aralarında doğrusaldır. AO=OC, m(BAO)=m(DCO), BO=3x−2 ve OD=x+8’dir. Buna göre BD kaç birimdir?
A) 20
B) 22
C) 24
D) 26
E) 28
AOB ve COD üçgenlerinde O açıları ters açıdır; birer açı daha eşit ve AO=OC’dir. A-K-A ile üçgenler eştir, dolayısıyla BO=OD olur. 3x−2=x+8 eşitliğinden x=5 ve BO=OD=13 bulunur. B–O–D doğrusal olduğundan BD=26’dır.
Cevap: D
Örnek - 3
ABC ve DEF üçgenlerinde AB=DE, BC=EF ve AC=DF’dir. m(A)=40° ve m(B)=65° olduğuna göre m(F) kaç derecedir?
A) 65
B) 70
C) 75
D) 80
E) 85
K-K-K eşliğinde AB↔DE ve BC↔EF olduğundan B↔E; buradan A↔D ve C↔F eşleşir. m(C)=180°−40°−65°=75° olduğuna göre m(F)=75°’dir.
Cevap: C
Örnek - 4
ABC ve DBC üçgenleri ortak BC kenarının farklı taraflarında bulunuyor ve birbirine eştir. AB=13, AC=15 ve BC=14 olduğuna göre oluşan ABDC dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 126
B) 144
C) 156
D) 168
E) 180
13–14–15 üçgeninde yarı çevre 21’dir. Heron bağıntısıyla alan √[21*8*7*6]=√7056=84 bulunur. İki eş üçgen farklı taraflarda olduğundan dörtgen alanı 2*84=168’dir.
Cevap: D
Dikkat
K-A-K kriterindeki açı, verilen iki kenarın arasındaki açı olmalıdır. İki kenar ve bu kenarlardan yalnız birinin karşısındaki açı genel durumda eşliği garanti etmez.
BENZERLİK TANIMI VE BENZERLİK ORANI
ABC∼DEF ve A↔D, B↔E, C↔F ise karşılıklı açı ölçüleri eşittir ve
Kenar oranıAB/DE=BC/EF=AC/DF=k
Çevre oranıÇevre(ABC)/Çevre(DEF)=k
Alan oranıAlan(ABC)/Alan(DEF)=k²
Aynı oran yükseklik, kenarortay, açıortay, içteğet ve çevrel çember yarıçapı gibi bütün karşılıklı doğrusal uzunluklarda da geçerlidir.
ÜÇGENLERDE BENZERLİK KRİTERLERİ
Benzerlik üç farklı yeterli koşulla kurulabilir: iki karşılıklı açının eşliği A-A, iki kenarın orantılı ve aralarındaki açının eşliği K-A-K, üç kenarın orantılı olması K-K-K. A-A sağlanınca üçüncü açılar da otomatik eşittir.
Örnek - 5
İki üçgende eş ölçülü açıların kolları sırasıyla 6 ve 8 birim; diğer üçgende 9 ve 12 birimdir. Küçük üçgende bu açının karşısındaki kenar 10 birim olduğuna göre büyük üçgendeki karşılığı kaç birimdir?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
9/6=12/8=3/2 ve aradaki açılar eşit olduğundan K-A-K benzerliği vardır. Büyük üçgendeki karşılık 10*3/2=15 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 6
A, O, C ve B, O, D doğrusal; AB∥CD’dir. AO=x+1, OC=6, BO=8 ve OD=12 olduğuna göre x kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
AOB ve COD üçgenlerinde O açıları ters, paralellikten doğan açılar eşittir. A-A benzerliğinden AO/OC=BO/OD olur. (x+1)/6=8/12=2/3 olduğundan x+1=4 ve x=3’tür.
Cevap: B
Örnek - 7
Kenarları 6, 9 ve 12 birim olan bir üçgene benzer diğer üçgenin en kısa kenarı 10 birimdir. Büyük üçgen alanının küçük üçgen alanına oranı kaçtır?
A) 5/3
B) 16/9
C) 2
D) 25/9
E) 10/3
K-K-K benzerliğinde uzunluk oranı 10/6=5/3’tür. Alan oranı bunun karesi olduğundan 25/9 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 8
ABC∼FDE, AB=12, BC=15, AC=18 ve FD=8’dir. Buna göre DE+FE kaç birimdir?
A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
E) 26
Yazım sırasından AB↔FD, BC↔DE ve AC↔FE’dir. İkinci üçgenin birinciye oranı 8/12=2/3 olur. DE=15*2/3=10 ve FE=18*2/3=12 olduğundan toplam 22’dir.
Cevap: C
Dikkat
Benzerlik oranının yönü sabit tutulmalıdır. İlk oran küçük/büyük seçildiyse bütün kenar, çevre ve yardımcı eleman oranları aynı yönde; alan oranı da bu oranın karesi olarak yazılır.
BENZERLİKTE UZUNLUK VE ALAN ÖLÇEKLERİ
ÇEVRE VE YARDIMCI ELEMAN ORANLARI
Benzer üçgenlerde karşılıklı bütün doğrusal ölçüler aynı k oranıyla değişir. Bir kenar 4/7 oranındaysa ilgili yükseklik, kenarortay, açıortay ve çevre de 4/7 oranındadır. Ancak farklı türde iki yardımcı eleman doğrudan birbirine oranlanmaz.
Örnek - 9
Benzer iki üçgenin karşılıklı kenar oranı 3/5 ve çevreleri arasındaki fark 28 birimdir. Çevreleri toplamı kaç birimdir?
A) 98
B) 105
C) 112
D) 119
E) 126
Çevreler 3t ve 5t olsun. Fark 2t=28 olduğundan t=14’tür. Toplam 8t=112 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 10
Küçük ve büyük benzer üçgenlerin benzerlik oranı 4/7’dir. Karşılıklı iki kenarortayın uzunlukları arasındaki fark 9 birim olduğuna göre bu kenarortayların toplamı kaç birimdir?
A) 27
B) 30
C) 33
D) 36
E) 39
Kenarortaylar 4t ve 7t biçimindedir. 3t=9 olduğundan t=3; toplam 11t=33’tür.
Cevap: C
BENZERLİK VE ALAN İLİŞKİSİ
Uzunluk oranı k ise alan oranı k²’dir. Alan oranından uzunluk oranına geçerken pozitif karekök alınır. Özellikle “alan farkı” sorularında alanları k²’nin pay ve paydasıyla temsil etmek işlem yükünü azaltır.
Örnek - 11
Benzer iki üçgenin küçükten büyüğe kenar oranı 3/5 ve alanları arasındaki fark 64 birimkaredir. Alanları toplamı kaç birimkaredir?
A) 120
B) 128
C) 132
D) 136
E) 144
Alanlar 9u ve 25u’dur. Fark 16u=64 olduğundan u=4; toplam 34u=136 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 12
Benzer iki üçgenin çevreleri oranı 2/3’tür. Küçük üçgenin alanı 40 birimkare olduğuna göre büyük üçgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 72
B) 80
C) 90
D) 96
E) 100
Çevre oranı uzunluk oranıdır. Alan oranı 4/9 olduğundan 40/A=4/9 ve A=90 bulunur.
Cevap: C
DİK ÜÇGENDE YÜKSEKLİKTEN GELEN BENZERLİK
Dik üçgende dik köşeden hipotenüse indirilen yükseklik, büyük üçgenle birbirine benzer iki küçük üçgen oluşturur. Hipotenüs parçaları p ve q, yükseklik h ise h²=pq; hipotenüs c=p+q ve dik kenar kareleri c ile komşu izdüşümün çarpımına eşittir.
Örnek - 13
Bir dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik hipotenüsü 9 ve 16 birimlik parçalara ayırıyor. Üçgenin çevresi kaç birimdir?
A) 54
B) 56
C) 58
D) 60
E) 62
Hipotenüs 25’tir. Dik kenarlar √(25*9)=15 ve √(25*16)=20 olur. Çevre 15+20+25=60’tır.
Cevap: D
Örnek - 14
Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik 6 birim, hipotenüs parçalarından biri 4 birimdir. Dik kenarların toplamı kaç birimdir?
A) 4√13
B) 5√13
C) 6√13
D) 8√5
E) 9√3
h²=pq bağıntısından 36=4q ve q=9; hipotenüs 13’tür. Dik kenarlar √(13*4)=2√13 ve √(13*9)=3√13 olduğundan toplam 5√13’tür.
Cevap: B
Dikkat
Alan oranı k değil k²’dir. Buna karşılık yükseklik, kenarortay ve açıortay gibi doğrusal uzunlukların oranı doğrudan k’dir.
PARALEL DOĞRULARLA BENZERLİK
TEMEL ORANTI TEOREMİ
ABC üçgeninde D∈AB, E∈AC ve DE∥BC ise ADE∼ABC’dir. Bu benzerlikten AD/AB=AE/AC=DE/BC ve parçalı biçimde AD/DB=AE/EC oranları elde edilir. Tersi de önemlidir: iki kenar aynı oranda bölünüyorsa birleştiren doğru üçüncü kenara paraleldir.
Örnek - 15
ABC üçgeninde D∈AB, E∈AC ve DE∥BC’dir. AD=6, DB=3 ve AE=8 olduğuna göre EC kaç birimdir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
AD/DB=AE/EC olduğundan 6/3=8/EC ve EC=4 bulunur.
Cevap: B
Örnek - 16
Görselde DE∥BC ve DBCE dörtgeninin alanı 80 birimkaredir. Buna göre ADE üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 48
B) 56
C) 60
D) 64
E) 72
AD/AB=8/12=2/3 olduğundan ADE/ABC alan oranı 4/9’dur. Dörtgen alanı toplamın 5/9’u ve 80 olduğuna göre toplam alan 144; ADE alanı 64’tür. EC=5 bilgisi oranı kontrol ettiren ek veridir.
Cevap: D
Örnek - 17
ABC üçgeninde D∈AB ve E∈AC’dir. AD=8, DB=4, AE=10, EC=5 ve BC=18 olduğuna göre ADE üçgeninin çevresi kaç birimdir?
A) 26
B) 28
C) 30
D) 32
E) 36
AD/DB=8/4=2 ve AE/EC=10/5=2 olduğundan temel orantı teoreminin tersine göre DE∥BC’dir. AD/AB=8/12=2/3; DE=18*2/3=12 olur. Çevre 8+10+12=30’dur.
Cevap: C
THALES VE EŞ ARALIKLI PARALELLER
En az üç paralel doğru iki kesen üzerinde karşılıklı orantılı parçalar oluşturur. Üçgenin yüksekliği boyunca eş aralıklarla çizilen paralellerde tepeye benzer üçgenlerin uzunluk oranları 1:n, 2:n, 3:n…; alan oranları bunların kareleridir. Dört eş yükseklikli şeridin alan katsayıları yukarıdan aşağı 1, 3, 5 ve 7 olur.
Örnek - 18
Birbirine paralel üç doğru iki keseni A–B–C ve D–E–F sırasıyla kesiyor. AB=6, BC=9, DE=x+1 ve EF=2x−2 olduğuna göre DE+EF kaç birimdir?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
Thales’e göre AB/BC=DE/EF’dir. 6/9=(x+1)/(2x−2) eşitliğinden 3(x+1)=2(2x−2), x=7 bulunur. DE=8 ve EF=12; toplam 20’dir.
Cevap: C
Örnek - 19
Görselde ABC üçgeni yüksekliği boyunca eş aralıklı paralellerle dört şeride ayrılmıştır. Ortadaki iki renkli şeridin alanları toplamı 48 birimkaredir. ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 72
B) 80
C) 88
D) 96
E) 108
Dört eş aralıkta şerit alan katsayıları 1, 3, 5, 7’dir. Ortadaki iki şerit 8u=48 verdiğinden u=6’dır. Bütün üçgen 16u=96 birimkaredir.
Cevap: D
Örnek - 20
Alanı 144 birimkare olan ABC üçgeninde BC’ye paralel iki doğru, AB ve AC kenarlarını A’dan itibaren 1/3 ve 2/3 oranlarında kesiyor. İki paralel arasındaki bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 32
B) 40
C) 48
D) 56
E) 64
Üstteki benzer üçgenin alanı 144*(1/3)²=16; ikinci paralelin üstündeki üçgenin alanı 144*(2/3)²=64’tür. Aradaki alan 64−16=48’dir.
Cevap: C
KELEBEK BENZERLİĞİ
AB∥CD ve AC ile BD doğruları O’da kesişiyorsa AOB∼COD olur. O’daki açılar ters, diğer açılar paralellikten eşittir. AO/OC=BO/OD=AB/CD oranı kurulurken aynı çaprazın parçaları eşleştirilir.
Örnek - 21
Görselde AB∥CD ve AOB üçgeninin alanı 24 birimkaredir. COD üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 48
B) 50
C) 52
D) 54
E) 60
AOB ile COD’nin uzunluk oranı AO/OC=6/9=2/3’tür. Alan oranı 4/9 olduğundan 24/A(COD)=4/9 ve A(COD)=54 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 22
AB∥CD, A–O–C ve B–O–D doğrusal; AO=4, OC=10, BO=6 ve CD=15’tir. AOB üçgeninin çevresi kaç birimdir?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 18
E) 20
Benzerlik oranı AO/OC=4/10=2/5’tir. AB/CD=2/5 olduğundan AB=6 bulunur. AOB çevresi AO+BO+AB=4+6+6=16’dır.
Cevap: C
Dikkat
Paralellik yalnız şeklin görünüşünden kabul edilmez. Ok işareti, açık paralellik bilgisi veya temel orantı teoreminin tersini sağlayan oran bulunmalıdır.
DÖNÜŞÜM, GÖLGE VE MODELLEME
KATLAMA VE DÖNDÜRMEDE EŞLİK
Katlama bir doğruya göre yansıma, döndürme ise bir merkez etrafında sabit açılı harekettir. Her ikisi de uzunluk ve açı ölçülerini korur. Katlama doğrusundaki noktalar sabit kalır; döndürmede merkezden karşılıklı noktalara uzaklıklar eşittir.
Örnek - 23
Görselde ABC üçgeni A merkezi etrafında 60° döndürülerek ADE üçgenine taşınıyor. BDEC dörtgeninin çevresi kaç birimdir?
A) 24
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
Döndürme uzunlukları korur: BD=AB=5, DE=BC=8 ve EC=AC=7’dir. Dörtgen çevresi BD+DE+EC+CB=5+8+7+8=28 olur.
Cevap: C
Örnek - 24
ABC üçgeni AD doğrusu boyunca katlandığında B noktası AC üzerindeki E noktasına geliyor. AB=10, AC=16, BC=18 ve BD=7 olduğuna göre CDE üçgeninin çevresi kaç birimdir?
A) 20
B) 22
C) 24
D) 26
E) 28
Katlamada B, E’ye gittiğinden AB=AE=10 ve BD=DE=7’dir. CE=AC−AE=6; CD=BC−BD=11 olur. CDE çevresi 6+7+11=24’tür.
Cevap: C
GÖLGE, ÖLÇEK VE FOTOĞRAF
Aynı anda düz zemine düşen güneş ışınları paraleldir; dik cisimler ve gölgeleri benzer dik üçgenler oluşturur. Harita, fotoğraf, baskı ve model sorularında uzunluklar ölçekle, alanlar ölçeğin karesiyle değişir.
Örnek - 25
Görselde aynı anda oluşan gölgeler verilmiştir. Direğin yüksekliği kaç metredir?
A) 9
B) 9,5
C) 10
D) 10,5
E) 11
Yükseklik/gölge oranı sabittir. x/14=1,8/2,4=3/4 olduğundan x=14*3/4=10,5 metredir.
Cevap: D
Örnek - 26
Kenar uzunlukları oranı 3/2 olan dikdörtgen bir fotoğraf, biçimi korunarak alanı 150 cm² olacak şekilde basılıyor. Baskının uzun kenarı kaç santimetredir?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 20
E) 25
Kenarlar 3t ve 2t olsun. Alan 6t²=150 olduğundan t²=25 ve t=5’tir. Uzun kenar 3t=15 cm’dir.
Cevap: B
ÜÇGEN İÇİNE YERLEŞTİRİLEN ŞEKİLLER
Üçgen içine tabana paralel kenarlı kare veya dikdörtgen yerleştirildiğinde üstte kalan küçük üçgen, büyük üçgene benzerdir. Şeklin yüksekliği büyük üçgenin yüksekliğinden çıkarılır; kalan yükseklik oranı paralel kenarın uzunluğunu verir.
Örnek - 27
Görselde KLMN karesi ABC üçgeninin içine yerleştirilmiştir. Karenin bir kenarı kaç birimdir?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 15
Karenin kenarı x olsun. Üstteki benzer üçgenin yüksekliği 20−x, tabanı x’tir. x/30=(20−x)/20 eşitliğinden 20x=600−30x, 50x=600 ve x=12 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 28
Tabanı 18 ve yüksekliği 12 birim olan bir üçgenin içine, bir kenarı taban üzerinde ve yüksekliği 6 birim olan bir dikdörtgen yerleştiriliyor. Dikdörtgenin üst köşeleri üçgenin yan kenarları üzerinde olduğuna göre dikdörtgenin çevresi kaç birimdir?
A) 24
B) 27
C) 30
D) 32
E) 36
Dikdörtgenin üstünde kalan küçük üçgenin yüksekliği 12−6=6, yani büyük yüksekliğin yarısıdır. Paralel kesitin uzunluğu da tabanın yarısı olan 9’dur. Dikdörtgen çevresi 2*(9+6)=30’dur.
Cevap: C
Dikkat
Katlama ve döndürme uzunlukları değiştirmez; ölçeklendirme ise değiştirir. Soruda uygulanan dönüşüm belirlenmeden “şekiller eş” veya “şekiller benzer” sonucu yazılmaz.
AYT DÜZEYİ BİRLEŞİK UYGULAMALAR
AÇIORTAY İLE PARALELLİĞİ BİRLEŞTİRME
Açıortay ve paralel doğru aynı şekildeyse önce açıortayla kenar oranı, sonra paralellikle benzerlik kurulabilir. Paralellik ayrıca yöndeş açılar üreterek ikizkenar bir küçük üçgen oluşturabilir.
Örnek - 29
ABC üçgeninde AD, A açısının açıortayı ve D∈BC’dir. D’den AB’ye paralel çizilen doğru AC’yi E’de kesiyor. AB=12, BD=6 ve DC=4 olduğuna göre DE kaç birimdir?
A) 4
B) 9/2
C) 24/5
D) 5
E) 16/3
Açıortaydan AB/AC=BD/DC=6/4=3/2; AC=8 olur. DE∥AB olduğundan CDE∼CBA ve CE/CA=CD/CB=4/10=2/5’tir. CE=16/5, AE=8−16/5=24/5 bulunur. Paralellikten ∠ADE=∠DAB ve açıortaydan ∠DAB=∠DAE olduğundan ADE ikizkenardır; DE=AE=24/5’tir.
Cevap: C
BENZERLİK VE ALAN FARKINI BİRLEŞTİRME
Bir kelebek veya iç içe üçgen düzeninde uzunluk oranı verilip alan farkı soruluyorsa önce alan katsayıları k² ile yazılır. Fark birim katsayıyı, toplam ise doğrudan istenen alanı verir.
Örnek - 30
AB∥CD olan bir kelebek düzeninde A–O–C ve B–O–D doğrusal, AO/OC=2/3’tür. COD ve AOB üçgenlerinin alanları arasındaki fark 65 birimkare olduğuna göre bu iki üçgenin alanları toplamı kaç birimkaredir?
A) 143
B) 156
C) 169
D) 182
E) 195
Alanlar 4u ve 9u oranındadır. Fark 5u=65 olduğundan u=13; toplam 13u=169 bulunur.
Cevap: C
Dikkat
Birleşik sorularda benzer üçgenlerin adlandırılması ve eşleşme sırasının kurulması, bütün oranları aynı anda yazmaktan daha güvenlidir. Yalnız gerekli karşılıklı elemanlar oranlanır; alan gerektiğinde doğrusal oranın karesi kullanılır.
Eşlik sorularında korunmuş elemanları, benzerlik sorularında ise eş açıları ve oran yönünü işaretlemek güvenli başlangıçtır. Paralel doğrular, katlama, döndürme veya gölge verildiğinde önce hangi üçgenlerin eş ya da benzer olduğu açıkça yazılmalıdır.
