AYT üçgende açı-kenar bağıntıları konu anlatımı kapsamında açıların karşılarındaki kenarlarla ilişkisi, açı ve kenar sıralaması, üçgen eşitsizliği ve uzunluk sınırları işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
ÜÇGENDE AÇI VE KARŞI KENAR İLİŞKİSİ
BÜYÜK AÇININ KARŞISINDA BÜYÜK KENAR
ABC üçgeninde A, B ve C açılarının karşısındaki kenarlar sırasıyla a, b ve c ile gösterilsin. A>B ise a>b; A=B ise a=b olur. Teoremin tersi de geçerlidir: a>b verildiğinde A>B sonucuna ulaşılır. Bu nedenle açı ve karşı kenar sıralamaları aynı yöndedir.
Birden fazla üçgen ortak kenarla birleştiğinde her üçgende ayrı sıralama yapılır; ortak kenar iki zinciri birbirine bağlayan köprü olarak kullanılır. Şeklin gözle uzun görünmesi hiçbir zaman kanıt değildir.
Örnek - 1
ABC üçgeninde ∠A=3x+5°, ∠B=2x+25° ve ∠C=x+30°’dir. Kenarlar a, b, c karşılarındaki açılara göre adlandırıldığına göre doğru sıralama hangisidir?
A) a>b>c
B) a=b>c
C) b>a>c
D) c>a=b
E) a>c>b
Açıların toplamından 6x+60=180 ve x=20 bulunur. ∠A=65°, ∠B=65°, ∠C=50° olduğundan a=b>c’dir.
Cevap: B
Örnek - 2
ABC üçgeninde BC=3x−7, AC=x+5 ve AB=2x−3’tür. A>B>C ve x tam sayı olduğuna göre x kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
A>B>C olduğundan karşı kenarlar BC>AC>AB olmalıdır. 3x−7>x+5 eşitsizliği x>6; x+5>2x−3 eşitsizliği x<8 verir. Tek tam sayı x=7’dir. Kenarlar 14, 12 ve 11 olup üçgen eşitsizliğini de sağlar.
Cevap: C
Örnek - 3
ABC üçgeninde ∠A=2x+10°, ∠B=x+25° ve ∠C=3x−5° olduğuna göre kenarların küçükten büyüğe sıralanışı hangisidir?
A) a<b<c
B) b<a<c
C) c<b<a
D) b<c<a
E) a<c<b
6x+30=180 olduğundan x=25’tir. ∠A=60°, ∠B=50°, ∠C=70°; dolayısıyla b<a<c bulunur.
Cevap: B
Örnek - 4
Görseldeki ABCD dörtgeninde köşegen AC’dir. Verilen açılara göre beş doğru parçasının büyükten küçüğe sıralanışı hangisidir?
A) AD>CD>AC>AB>BC
B) CD>AD>AC>BC>AB
C) AC>AD>CD>AB>BC
D) AD>AC>CD>AB>BC
E) BC>AB>AC>CD>AD
ABC üçgeninde 75°>65°>40° olduğundan AC>AB>BC’dir. ACD üçgeninde 80°>55°>45° olduğundan AD>CD>AC’dir. Ortak AC üzerinden zincirler birleştirilirse AD>CD>AC>AB>BC elde edilir.
Cevap: A
Örnek - 5
Kenar uzunlukları a=7, b=x+2 ve c=2x−1 olan bir üçgende a<b<c’dir. x tam sayı olduğuna göre mümkün x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 24
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
7<x+2<2x−1 sıralaması x>5 verir. En büyük kenar için üçgen eşitsizliği 7+x+2>2x−1, yani x<10’dur. x=6,7,8,9 ve toplam 30’dur.
Cevap: D
Dikkat
A açısının komşu kenarları b ve c, karşı kenarı a’dır. Sıralama yapılırken açıyı komşu kenarla eşleştirmek en yaygın hatadır.
ÜÇGEN EŞİTSİZLİĞİ
ÜÇÜNCÜ KENARIN AÇIK ARALIĞI
Kenarları a, b ve c olan bir üçgende her kenar diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçüktür. İki kenar a ve b biliniyorsa üçüncü kenar için |a−b|<c<a+b yazılır. Uç değerlerde şekil doğrusal hâle geldiği için eşitsizlik mutlaka açıktır.
Örnek - 6
Kenarları 7, 11 ve x+2 birim olan bir üçgenin çevresi 30 birimden küçüktür. x pozitif tam sayı olduğuna göre x kaç farklı değer alır?
A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
E) 7
|11−7|<x+2<18 eşitsizliğinden 2<x<16 gelir. Çevre koşulu x+20<30, yani x<10’dur. x=3,4,5,6,7,8,9 olmak üzere 7 değer vardır.
Cevap: E
Örnek - 7
Kenarları x, x ve 14 birim olan ikizkenar bir üçgenin çevresi en fazla 40 birimdir. x tam sayı olduğuna göre x kaç farklı değer alır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Üçgen eşitsizliğinden 2x>14 ve x≥8; çevreden 2x+14≤40 ve x≤13 bulunur. 8,9,10,11,12,13 olmak üzere 6 değer vardır.
Cevap: C
Örnek - 8
Kenarları x+2, 2x+1 ve 4x−3 birim olan bir üçgende x pozitif tam sayıdır. Mümkün bütün x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 12
B) 15
C) 10
D) 18
E) 21
Üç eşitsizlik birlikte yazılır. (x+2)+(2x+1)>4x−3 koşulu x<6; diğer ikisi x≥1 için zaten sağlanır. x=1,2,3,4,5 ve toplam 15’tir.
Cevap: B
Örnek - 9
Çevresi 31 birim olan, kenar uzunlukları birbirinden farklı pozitif tam sayılardan oluşan bir üçgenin en uzun kenarı 14 birimdir. Böyle kaç farklı kenar üçlüsü vardır?
A) 3
B) 4
C) 6
D) 5
E) 7
Diğer kenarlar a<b<14 ve a+b=17 olsun. b=17−a<14 olduğundan a>3; a<b olduğundan a≤8’dir. a=4,5,6,7,8 değerleri 5 farklı üçlü verir. Ayrıca a+b=17>14 olduğundan üçgen eşitsizliği sağlanır.
Cevap: D
Örnek - 10
Görselde AC=x köşegeni ABCD dörtgenini iki üçgene ayırmaktadır. x tam sayı olduğuna göre kaç farklı değer alabilir?
A) 9
B) 10
C) 12
D) 13
E) 11
ADC üçgeninden |8−6|<x<14; ABC üçgeninden |9−7|<x<16 gelir. Kesişim 2<x<14’tür. x=3’ten 13’e kadar 11 tam sayı değeri alır.
Cevap: E
Örnek - 11
Ortak bir x kenarına sahip iki üçgenin diğer kenarları sırasıyla 5 ve 12 ile 8 ve 15 birimdir. x çift tam sayı olduğuna göre mümkün x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 60
B) 48
C) 54
D) 66
E) 72
İlk üçgen 7<x<17, ikinci üçgen 7<x<23 verir. Kesişimdeki çift tam sayılar 8,10,12,14,16; toplamları 60’tır.
Cevap: A
Dikkat
Ortak kenar birden fazla üçgene aitse her üçgen ayrı açık aralık verir. Sonuç bu aralıkların birleşimi değil kesişimidir.
DAR, DİK VE GENİŞ AÇILI ÜÇGENLER
PİSAGOR KARŞILAŞTIRMASI
c en uzun kenar olmak üzere c²<a²+b² ise C açısı dar, c²=a²+b² ise dik, c²>a²+b² ise geniştir. Belirli bir açının türü soruluyorsa karşısındaki kenarın karesi, o açıyı oluşturan iki kenarın kareleri toplamıyla karşılaştırılır. En uzun kenarın doğru belirlenmesi kritik adımdır.
Örnek - 12
Kenarları 8, 15 ve x birim olan bir üçgende x>7 tam sayıdır. x kenarının karşısındaki açı dar olduğuna göre x kaç farklı değer alır?
A) 7
B) 9
C) 8
D) 10
E) 11
Üçgen eşitsizliği 7<x<23’tür. x’in karşısındaki açının dar olması için x²<8²+15²=289, yani x<17 gerekir. x=8,9,…,16 olmak üzere 9 değer vardır.
Cevap: B
Örnek - 13
Kenarları 10, 17 ve x birim olan bir üçgende 17 birimlik kenarın karşısındaki açı geniştir. x tam sayı olduğuna göre x kaç farklı değer alır?
A) 4
B) 5
C) 7
D) 6
E) 8
Üçgen eşitsizliği 7<x<27’dir. Geniş açı koşulu 17²>10²+x², yani x²<189 ve x≤13’tür. x=8,9,10,11,12,13 olmak üzere 6 değer vardır.
Cevap: D
Örnek - 14
Görselde A açısı geniş ve BC=x tam sayıdır. x’in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) 58
B) 60
C) 64
D) 66
E) 62
Üçgen eşitsizliği 4<x<18’dir. A geniş olduğundan x²>7²+11²=170; x≥14 olur. Değerler 14,15,16,17 ve toplam 62’dir.
Cevap: E
Örnek - 15
Kenarları x+1, x+3 ve 2x−1 birim olan bir üçgende x>4 tam sayıdır. En uzun kenarın karşısındaki açı dar olduğuna göre mümkün x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 11
B) 9
C) 10
D) 12
E) 13
x>4 için en uzun kenar 2x−1’dir. Dar açı koşulu (2x−1)²<(x+1)²+(x+3)² olur. Düzenlenirse 2x²−12x−9<0 elde edilir; x>4 tam sayıları içinde x=5 ve x=6 sağlanır. Toplam 11’dir.
Cevap: A
Örnek - 16
Görselde AC=x tam sayı; B açısı geniş, D açısı dardır. x’in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) 21
B) 23
C) 22
D) 24
E) 25
ABC üçgeninde B geniş olduğundan x²>6²+8²=100; üçgen eşitsizliğiyle birlikte 10<x<14 olur. ADC üçgeninde D dar olduğundan x²<5²+12²=169, yani x<13’tür. Ortak tam sayılar 11 ve 12; toplam 23’tür.
Cevap: B
Örnek - 17
Kenarları x−1, x ve x+1 birim olan bir üçgen dar açılıdır ve çevresi 40 birimden küçüktür. x tam sayı olduğuna göre mümkün x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 72
B) 75
C) 78
D) 81
E) 84
En büyük kenar x+1’dir. Dar açı için (x+1)²<x²+(x−1)² eşitsizliği x>4 verir. Çevre 3x<40 olduğundan x≤13’tür. x=5’ten 13’e kadar değerlerin toplamı 81’dir.
Cevap: D
Dikkat
Kare karşılaştırması üçgen eşitsizliğinin yerine geçmez. Önce kenarların üçgen oluşturduğu aralık, sonra açı türünün getirdiği koşul bulunup iki sonuç kesiştirilmelidir.
ÜÇGENİN İÇİNDEKİ NOKTA VE KIRIK YOL
İÇ NOKTADAN KÖŞELERE UZAKLIKLAR
P, ABC üçgeninin içindeyse her küçük üçgende üçgen eşitsizliği uygulanır. Özellikle BC<PB+PC<AB+AC bağıntısı ve çevrenin yarısı ile tamamı arasındaki
(AB+BC+CA)/2 < PA+PB+PC < AB+BC+CA
sınırı sık kullanılır. Bu eşitsizlikler olası değerleri sınırlar; tek başına her ara değerin mutlaka gerçekleştiğini söylemez.
Örnek - 18
AB=13, AC=17, BC=20 olan ABC üçgeninin içindeki P noktası için PB+PC aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 21
B) 24
C) 27
D) 29
E) 30
İç nokta bağıntısı BC<PB+PC<AB+AC verir. 20<PB+PC<30 olduğundan uç değer 30 olamaz.
Cevap: E
Örnek - 19
Kenar uzunlukları 9, 12 ve 15 birim olan dik üçgenin içindeki P noktası için S=PA+PB+PC bir tam sayıdır. Temel iç nokta eşitsizliğinin izin verdiği kaç farklı S değeri vardır?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
Üçgenin çevresi 9+12+15=36 birimdir. Temel iç nokta eşitsizliği 18<S<36 verir. S tam sayı olduğundan eşitsizliğin izin verdiği değerler 19, 20, …, 35’tir. Bu değerlerin sayısı 35−19+1=17’dir. Burada sayılanlar temel eşitsizliğin izin verdiği aday değerlerdir; bu eşitsizlik her adayın üçgen içinde gerçekleştiğini kanıtlamaz.
Cevap: C
Örnek - 20
Kenarları 8, 10 ve 12 birim olan bir üçgenin içindeki P noktası için S=PA+PB+PC bir tam sayıdır. Temel iç nokta eşitsizliğinin izin verdiği kaç farklı S değeri vardır?
A) 12
B) 14
C) 13
D) 15
E) 16
Çevre 30 olduğundan 15<S<30’dur. Eşitsizliğin izin verdiği tam sayılar 16’dan 29’a kadar 14 tanedir. Soru bu değerlerin her birinin ayrıca geometrik inşasını değil, temel sınırın bıraktığı aday sayısını sorar.
Cevap: B
MENTEŞE VE UÇ AÇIKLIĞI MODELİ
Örnek - 21
Görselde pergel kolları 9 ve 14 birim, menteşe açısı 90°’den büyüktür. Uçlar arası x uzaklığı tam sayı olduğuna göre x kaç farklı değer alır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Üçgen eşitsizliğinden 5<x<23’tür. Menteşe açısının karşısı x olduğundan geniş açı koşulu x²>9²+14²=277 verir; x≥17 olur. x=17,18,19,20,21,22 olmak üzere 6 değer vardır.
Cevap: C
KIRIK YOL VE DÖRTGEN SINIRLARI
Bir doğru parçası iki nokta arasındaki en kısa yoldur. Bu nedenle üçgenin içinde veya dışbükey çokgende ara noktadan geçen kırık yol, uçları birleştiren doğru parçasından uzundur. Dörtgende köşegenlerin kesişim noktası üzerinden kurulan dört küçük üçgen, çevre ve köşegen toplamlarını ilişkilendirir.
Örnek - 22
Dışbükey ABCD dörtgeninin köşegenleri P’de kesişiyor. AC=12 ve BD=15 olduğuna göre dörtgenin çevresi K için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
A) K<27
B) K=27
C) 27<K<30
D) 30<K<54
E) K>54
Köşegenlerin her biri, onu birleştiren iki kenarlı yoldan kısadır. Bu sonuçlar toplanınca K>2·15=30 elde edilir. P çevresindeki dört üçgen eşitsizliği toplanırsa K<2(AC+BD)=2·27=54 olur. Dolayısıyla 30<K<54’tür.
Cevap: D
YÜKSEKLİK, AÇIORTAY VE KENARORTAY SIRALAMASI
KENARLARA AİT YARDIMCI ELEMANLAR
a<b<c ise aynı üçgende bu kenarlara ait yükseklikler, iç açıortaylar ve kenarortaylar ters yönde sıralanır:
ha>hb>hc, na>nb>nc, va>vb>vc
Yükseklik için gerekçe alanın Δ=a·ha/2=b·hb/2=c·hc/2 biçiminde sabit olmasıdır. Kenarortay ve açıortay için de ilgili formüller aynı ters yönlü sıralamayı verir.
Örnek - 23
Görselde AB=13, BC=14, AC=15’tir. A’dan BC’ye çizilen yükseklik ha, açıortay na ve kenarortay va için doğru uzunluk sıralaması hangisidir?
A) ha<na<va
B) ha<va<na
C) na<ha<va
D) va<na<ha
E) ha=na=va
Çeşitkenar bir üçgende aynı köşeden karşı kenara çizilen yardımcı elemanlarda yükseklik en kısa, kenarortay en uzundur; açıortay arada kalır. Dolayısıyla ha<na<va’dır. Bu özel üçgende değerler yaklaşık 12, 12,09 ve 12,17’dir.
Cevap: A
AYNI KÖŞEDEN ÇİZİLEN ÜÇ DOĞRU
Aynı A köşesinden BC’ye çizilen yükseklik ha, iç açıortay na ve kenarortay va için ha≤na≤va olur. A köşesinin komşu kenarları eşitse üç doğru çakışır; çeşitkenar durumda eşitsizlikler kesindir. Ayrıca kenarortay için |b−c|/2<va<(b+c)/2 sınırı kullanılır.
Örnek - 24
Bir üçgende A köşesine komşu kenarlar 9 ve 15 birimdir. A’dan çizilen kenarortay va tam sayı olduğuna göre temel kenarortay eşitsizliğinin izin verdiği va değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 52
B) 56
C) 60
D) 64
E) 68
|15−9|/2<va<(15+9)/2 olduğundan 3<va<12’dir. Tam sayılar 4,5,…,11 ve toplamları 60’tır.
Cevap: C
Örnek - 25
Bir üçgende a=5, b=7 ve c=8’dir. Bu kenarlara ait iç açıortay uzunlukları na, nb, nc olduğuna göre doğru sıralama hangisidir?
A) na<nb<nc
B) na>nb>nc
C) nb>na>nc
D) nc>na>nb
E) na=nb=nc
Kenarlar a<b<c biçiminde sıralıdır. Kenarlara ait iç açıortaylar ters yönde sıralandığından na>nb>nc olur.
Cevap: B
Dikkat
“a kenarına ait üç yardımcı elemanın” kendi aralarındaki sırası ile “a, b, c kenarlarına ait aynı tür yardımcı elemanların” sırası farklı karşılaştırmalardır. İndisleri okumadan ezber zincir yazılmamalıdır.
AYT DÜZEYİ MODELLEME VE BİRLEŞİK UYGULAMALAR
ÇUBUK, KÖŞEGEN VE ÇOKLU KOŞUL
Modelleme sorularında önce fiziksel nesne üçgene çevrilir. Menteşe açısı karşı kenarı, katlama eş uzaklıkları, ortak köşegen ise iki ayrı üçgenin kesişen koşullarını üretir. Ardından tam sayı, çevre veya açı türü gibi ek şartlar uygulanır.
Örnek - 26
Uzunlukları x+2, 2x−1 ve 17 birim olan üç çubuk uç uca eklenerek dar açılı bir üçgen oluşturuluyor. 17 en uzun çubuk ve x tam sayı olduğuna göre mümkün x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
17’nin en uzun olması 2x−1≤17 ile x≤9 verir. Üçgen eşitsizliği (x+2)+(2x−1)>17 olduğundan x≥6’dır. Dar açı için 17²<(x+2)²+(2x−1)²; 289<5x²+5 ve x≥8 bulunur. x=8,9; toplam 17’dir.
Cevap: C
KATLAMADA AÇININ KORUNMASI
Bir şekil bir doğru boyunca katlandığında katlama doğrusu üzerindeki noktalar sabit kalır; bir nokta ile görüntüsü katlama doğrusuna eşit uzaklıktadır. Katlama bir yansıma olduğundan uzunluklar ve açı ölçüleri korunur.
Örnek - 27
Görselde ABC üçgeni DE doğrusu boyunca katlandığında A noktası BC üzerindeki K noktasına gelmektedir. Buna göre DKE açısı kaç derecedir?
A) 60
B) 70
C) 75
D) 85
E) 95
Katlamada A noktası K’ye, AD ışını KD’ye ve AE ışını KE’ye taşınır. Açı ölçüsü korunduğundan ∠DKE=∠DAE=∠BAC=85°’dir.
Cevap: D
ÇOK KOŞULLU SONUÇ SORULARI
Örnek - 28
Kenarları x+4, 2x−1 ve 3x−2 birim olan bir üçgende x pozitif tam sayıdır. En büyük açısı geniş ve çevresi 60 birimden küçüktür. Mümkün x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 30
B) 32
C) 38
D) 40
E) 37
Diğer iki üçgen eşitsizliği x>0 için sağlanır. (2x−1)+(3x−2)>(x+4) koşulu 4x>7, dolayısıyla pozitif tam sayılar için x≥2 verir. Çevre 6x+1<60 olduğundan x≤9’dur. x=2 için kenarlar 6, 3, 4’tür ve 6²>3²+4²; üçgen geniş açılıdır. x=3 için kenarlar 7, 5 ve 7’dir ve en uzun kenara göre 7²<7²+5²; üçgen geniş açılı değildir. x≥4 olduğunda en uzun kenar 3x−2 olur. Geniş açı koşulu 4x²−16x−13>0’dır. Bu ifade x=4’te −13, x=5’te 7 olur ve x≥4 için artar; bu nedenle uygun tam sayılar x≥5’tir. Uygun değerler 2,5,6,7,8,9 ve toplamları 37’dir.
Cevap: E
Örnek - 29
Bir üçgenle ilgili aşağıdaki önermelerden kaç tanesi her zaman doğrudur?
I. En büyük açının karşısında en uzun kenar bulunur.
II. c²>a²+b² ise c’nin karşısındaki açı geniştir.
III. İç noktadan köşelere uzaklıkların toplamı, üçgen çevresinin yarısından küçüktür.
IV. En uzun kenara ait yükseklik, üç yüksekliğin en kısasıdır.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) Hiçbiri
I açı-kenar bağıntısından, II Pisagor karşılaştırmasından, IV alanın taban-yükseklik bağıntısından doğrudur. III yanlıştır; iç noktadan köşelere uzaklıkların toplamı çevrenin yarısından büyüktür. Üç önerme doğrudur.
Cevap: C
Açı–kenar eşleştirmesi ve üçgen eşitsizliğinin açık aralıkları, bu konudaki bütün sıralama ve sınır sorularının temelini oluşturur.
