AYT çokgenler konu anlatımı kapsamında iç ve dış açı toplamları, köşegen sayıları, düzgün çokgenler, merkez açıları ve temel alan ilişkileri işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
ÇOKGENİN TANIMI VE TEMEL ELEMANLARI
DIŞBÜKEY VE İÇBÜKEY ÇOKGEN
Düzlemde ardışık üçü doğrusal olmayan en az üç noktanın doğru parçalarıyla sırayla birleştirilmesiyle oluşan kapalı şekle çokgen denir. Doğru parçaları kenarları, ardışık kenarların ortak uçları köşeleri oluşturur. Ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçası ise köşegendir.
Çokgenin içindeki herhangi iki noktayı birleştiren her doğru parçası bütünüyle iç bölgede kalıyorsa çokgen dışbükeydir. Bu özelliği bozan en az bir doğru parçası bulunuyorsa çokgen içbükeydir. AYT’de standart iç/dış açı ve köşegen formülleri aksi belirtilmedikçe basit dışbükey çokgenler için kullanılır.
KÖŞEGEN VE ÜÇGENSEL BÖLGE SAYISI
n kenarlı bir çokgende seçilen bir köşe; kendisine ve iki komşu köşesine bağlanamayacağı için o köşeden n−3 köşegen çizilir. Bu köşegenler dışbükey çokgeni n−2 üçgensel bölgeye ayırır. Bütün köşelerden n(n−3) bağlantı sayılır; her köşegen iki kez sayıldığı için toplam köşegen sayısı
olur. Sayma sorularında “bir köşeden”, “seçili köşelerden” ve “çokgenin tamamında” ifadeleri birbirinden ayrılmalıdır.
Örnek - 1
Bir dışbükey çokgenin toplam köşegen sayısı 65’tir. Bu çokgen kaç kenarlıdır?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
n(n−3)/2=65 olduğundan n²−3n−130=0 yazılır. Denklem (n−13)(n+10)=0 biçiminde çarpanlara ayrılır. Kenar sayısı pozitif olduğundan n=13’tür.
Cevap: A
Örnek - 2
İç açılarının ölçüleri toplamı 1980° olan bir dışbükey çokgenin bir köşesinden kaç köşegen çizilebilir?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
(n−2)·180=1980 eşitliğinden n−2=11 ve n=13 bulunur. Bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı n−3=10’dur.
Cevap: B
Örnek - 3
Bir ongenin toplam köşegen sayısı ile bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısının farkı kaçtır?
A) 21
B) 24
C) 28
D) 30
E) 35
Ongenin toplam köşegen sayısı 10·7/2=35, bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı 10−3=7’dir. Fark 35−7=28 olur.
Cevap: C
ÇOKGENLERDE İÇ VE DIŞ AÇILAR
İÇ AÇILARIN TOPLAMI
Bir köşeden çizilen köşegenler n kenarlı çokgeni n−2 üçgene ayırdığı için iç açıların ölçüleri toplamı
S = (n−2)·180°
olur. Çokgen düzgün değilse tek tek iç açılar eşit olmak zorunda değildir; yalnız toplam sabittir. Bu nedenle bazı açıları ayrı verilen sorularda bilinmeyen açı grupları toplam denklemin içine yerleştirilir.
Örnek - 4
Bir dışbükey çokgenin üç iç açısı 120°, 140° ve 160°; kalan iç açılarının her biri 165°’dir. Çokgen kaç kenarlıdır?
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
Üç özel açının toplamı 420°’dir. Kalan n−3 açının toplamı 165(n−3) olur. 420+165(n−3)=180(n−2) eşitliği 165n−75=180n−360 ve 15n=285 verir. Buradan n=19’dur.
Cevap: D
DIŞ AÇILARIN TOPLAMI
Her köşede aynı dönme yönünde alınan bir dış açı ile ona komşu iç açının toplamı 180°’dir. Çokgenin çevresinde bir tam tur atıldığında yön toplam 360° değişir. Bu nedenle dışbükey bir çokgenin birer dış açısının toplamı, kenar sayısından bağımsız olarak 360°’dir.
Örnek - 5
Bir dışbükey altıgenin aynı yönlü dış açıları artan bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Ardışık dış açılar arasındaki fark 8° olduğuna göre en büyük dış açı kaç derecedir?
A) 64
B) 68
C) 72
D) 76
E) 80
Dış açılar x, x+8, x+16, x+24, x+32 ve x+40 olsun. Toplamları 6x+120=360 olduğundan x=40 bulunur. En büyük dış açı x+40=80°’dir.
Cevap: E
Dikkat
Dış açıların toplamı alınırken her köşede aynı dönme yönündeki bir dış açı seçilir. Farklı yönlerden seçilmiş açıları rastgele toplamak 360° kuralını bozabilir.
DÜZGÜN ÇOKGENLER
İÇ AÇI, DIŞ AÇI VE MERKEZ AÇI
Bütün kenarları ve bütün iç açıları eşit olan dışbükey çokgene düzgün çokgen denir. n kenarlı düzgün çokgende bir dış açı ve merkez açı 360°/n, bir iç açı ise 180°−360°/n değerindedir. Merkezden bir kenara indirilen dikme apotemdir; aynı zamanda o kenarı iki eşit parçaya ayırır. Çevrel çemberin merkezi, iç teğet çemberinin merkezi ve dönme merkezi aynı O noktasıdır.
Örnek - 6
Bir düzgün çokgenin bir iç açısı, bir dış açısının 8 katıdır. Bu düzgün çokgen kaç kenarlıdır?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
Dış açı e ise iç açı 8e’dir. Komşu iç ve dış açılar bütünler olduğundan 9e=180 ve e=20° bulunur. n=360/20=18’dir.
Cevap: B
Örnek - 7
Bir düzgün sekizgen, bir kare ve bir düzgün n-gen; birer kenarları ortak bir noktada sonlanacak ve iç bölgeleri örtüşmeyecek biçimde yerleştirilmiştir. Üç çokgenin bu noktadaki iç açıları bir tam açı oluşturduğuna göre n kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 10
E) 12
Düzgün sekizgenin iç açısı 135°, karenin iç açısı 90°’dir. Üçüncü iç açı 360−135−90=135° olur. 180−360/n=135 eşitliğinden 360/n=45 ve n=8 bulunur.
Cevap: C
ÇEVREL ÇEMBER, YAY VE KÖŞEGEN
Düzgün çokgenin ardışık iki köşesini gören merkez açı 360°/n’dir. Çevrel çember üzerindeki bir köşeden çizilen iki kiriş arasındaki açı, karşısındaki yayın ölçüsünün yarısıdır. Bu nedenle bir köşeden çıkan köşegenlerin oluşturduğu açılar, gördükleri kenar sayısıyla doğru orantılıdır. Eşit sayıda kenar atlayan köşegenler eşit uzunluktadır.
Örnek - 8
A, B, C, D ve E; bir düzgün n-genin ardışık köşeleridir. m(∠BAE)=36° olduğuna göre n kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 12
D) 15
E) 18
BAE çevre açısı, B’den E’ye kadar üç kenarlık yayı görür. Bu yayın ölçüsü 3·360/n olduğundan 36=(1/2)·3·360/n yazılır. 36=540/n ve n=15 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 9
Bir düzgün onbeşgen merkezi etrafında 168° döndürülüyor. Son görüntü ilk şekille çakıştığına göre bu dönüş, en küçük pozitif dönme açısının kaç katıdır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Düzgün onbeşgenin en küçük pozitif dönme açısı 360/15=24°’dir. 168/24=7 olduğundan dönüş temel açının 7 katıdır.
Cevap: E
Örnek - 10
ABCDEFGHIJKL düzgün onikigeninin merkezi O’dur. A ile F arasında kısa yönde beş kenar bulunduğuna göre m(∠OFA) kaç derecedir?
A) 15
B) 18
C) 24
D) 30
E) 36
Bir merkez açı 360/12=30°’dir. AOF merkez açısı 5·30=150° olur. OA=OF olduğundan AOF ikizkenardır; taban açıları (180−150)/2=15°’tir.
Cevap: A
Örnek - 11
A, B, C, D ve E bir düzgün n-genin ardışık köşeleridir. AB ve ED kenarlarının uzantıları K noktasında 60°’lik dar açıyla kesiştiğine göre n kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
Bir dış açı e=360/n olsun. AB’den DE’ye kadar kenar doğrultusu üç kez e kadar döner. AB ile ED ışınları arasındaki dar açı 180−3e olduğundan 180−3e=60 ve e=40° bulunur. n=360/40=9’dur.
Cevap: C
Dikkat
Düzgün çokgende 360°/n hem bir merkez açının hem bir dış açının ölçüsüdür; ancak bu iki açı aynı yerde değildir. Çevre açı ise gördüğü yayın yarısıdır.
DÜZGÜN BEŞGEN
36°–72°–108° YAPISI VE KÖŞEGENLER
Düzgün beşgenin bir iç açısı 108°, bir dış açısı ve bir merkez açısı 72°’dir. Bir köşeden çıkan iki köşegen arasındaki dar açı 36° olur. Beş köşegen birbirine eşittir ve birlikte beş köşeli yıldız meydana getirir. Bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen simetri ekseni aynı zamanda açıortay ve o kenara ait dikmedir.
Kenar uzunluğu a, köşegen uzunluğu d ise benzer ikizkenar üçgenlerden
d/a = (1+√5)/2
oranı elde edilir. Bu oran yalnız düzgün beşgene özgü yapısal sonuçlarda kullanılmalıdır.
Örnek - 12
ABCDE düzgün beşgeninin içine, AB kenarı üzerinde ABF eşkenar üçgeni çiziliyor. Buna göre m(∠FBC) kaç derecedir?
A) 36
B) 40
C) 42
D) 48
E) 54
Düzgün beşgende m(∠ABC)=108°, eşkenar üçgende m(∠ABF)=60°’dir. BF ışını ABC açısının içinde kaldığından m(∠FBC)=108−60=48° olur.
Cevap: D
Örnek - 13
Bir kenarı 10 birim olan düzgün beşgenin beş köşegeni çizilerek bir pentagram oluşturuluyor. Pentagramı oluşturan beş köşegenin uzunlukları toplamı kaç birimdir?
A) 10(1+√5)
B) 15(1+√5)
C) 20(1+√5)
D) 25√5
E) 25(1+√5)
Bir köşegen d=10·(1+√5)/2=5(1+√5) birimdir. Beş eş köşegenin toplamı 5d=25(1+√5) olur.
Cevap: E
Örnek - 14
Bir düzgün beşgende bir köşegenin uzunluğu bir kenarın uzunluğundan 4 birim fazladır. Beşgenin çevresi kaç birimdir?
A) 10(1+√5)
B) 20√5
C) 20(1+√5)
D) 25+5√5
E) 30+10√5
φ=(1+√5)/2 olsun. d=φa ve d−a=4 olduğundan (φ−1)a=4’tür. φ−1=1/φ olduğu için a=4φ=2(1+√5) bulunur. Çevre 5a=10(1+√5) birimdir.
Cevap: A
Örnek - 15
ABCDE düzgün beşgeninde AC ve AD köşegenleri çiziliyor. m(∠CAD) kaç derecedir?
A) 30
B) 36
C) 40
D) 54
E) 72
CAD çevre açısı, bir kenara karşılık gelen CD yayını görür. Bu yayın merkez açısı 72° olduğundan çevre açı 72/2=36°’dir.
Cevap: B
DÜZGÜN ALTIGEN
KÖŞEGEN, PARALELLİK VE ALAN PARÇALAMA
Düzgün altıgenin bir iç açısı 120°, dış ve merkez açısı 60°’dir. Çevrel çember yarıçapı kenar uzunluğuna eşittir. Kenar a ise bir köşe atlayan kısa köşegen a√3, karşı köşeleri birleştiren uzun köşegen 2a’dır. Merkezden köşelere çizilen yarıçaplar altıgeni kenarı a olan altı eşkenar üçgene ayırır.
Alan = 6·(a²√3/4) = 3a²√3/2
Karşılıklı kenarlar paraleldir; uzun köşegenler simetri eksenidir. Alan oranı sorularında merkezden veya uygun köşelerden çizilen parçalarla eş alanlı üçgenler kurmak çoğu zaman uzunluk hesabından daha hızlıdır.
Örnek - 16
ABCDEF düzgün altıgeninin AB kenarı dışına ABKL karesi çiziliyor. Buna göre m(∠KBC) kaç derecedir?
A) 120
B) 130
C) 135
D) 150
E) 165
Altıgenin B köşesindeki iç açı 120°, karenin B köşesindeki açı 90°’dir. İki çokgen AB’nin farklı taraflarında olduğundan B çevresinde KBC açısına kalan küçük açı 360−120−90=150°’dir.
Cevap: D
Örnek - 17
Bir kenarı 6 birim olan düzgün altıgenin bir kısa köşegeni ile bir uzun köşegeninin kareleri toplamı kaçtır?
A) 180
B) 198
C) 216
D) 234
E) 252
Kısa köşegen 6√3, uzun köşegen 12’dir. Kareleri toplamı (6√3)²+12²=108+144=252 olur.
Cevap: E
Örnek - 18
Bir kenarı 6 birim olan düzgün altıgen merkezden köşelere çizilen doğru parçalarıyla altı eşkenar üçgene ayrılıyor. Bu üçgenlerin dördü boyandığına göre boyalı alan kaç birimkaredir?
A) 36√3
B) 42√3
C) 45√3
D) 48√3
E) 54√3
Her eşkenar üçgenin alanı 6²√3/4=9√3’tür. Dört eş üçgenin alanı 4·9√3=36√3 bulunur.
Cevap: A
Örnek - 19
Bir kenarı a olan düzgün altıgen, yatay iki kenarı üstte ve altta kalacak biçimde en küçük dikdörtgenin içine yerleştiriliyor. Dikdörtgenin alanının altıgenin alanına oranı kaçtır?
A) 5/4
B) 4/3
C) 3/2
D) 5/3
E) 2
En küçük dikdörtgenin genişliği 2a, yüksekliği √3a olduğundan alanı 2√3a²’dir. Altıgenin alanı 3√3a²/2’dir. Oran (2√3a²)/(3√3a²/2)=4/3 olur.
Cevap: B
Örnek - 20
Kenar uzunlukları 3 birim olan yedi düzgün altıgen, her yeni altıgen öncekiyle yalnız bir tam kenarı ortak olacak ve başka çakışma olmayacak biçimde zincir hâlinde birleştiriliyor. Oluşan şeklin çevresi kaç birimdir?
A) 78
B) 84
C) 90
D) 96
E) 102
Yedi ayrı altıgenin toplam 42 kenarı vardır. Altı birleşme bulunur ve her ortak kenar dış çevreden iki kenar eksiltir: 42−2·6=30 dış kenar kalır. Her biri 3 birim olduğundan çevre 30·3=90 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 21
Çevrel çember yarıçapı 8 birim olan düzgün ABCDEF altıgeninde A, C ve E köşeleri birleştirilerek eşkenar üçgen oluşturuluyor. Altıgenin bu üçgen dışında kalan kısmının alanı kaç birimkaredir?
A) 24√3
B) 30√3
C) 36√3
D) 42√3
E) 48√3
Düzgün altıgende a=R=8 ve altıgen alanı 3a²√3/2=96√3’tür. AC kısa köşegeni 8√3 olduğundan ACE eşkenar üçgeninin alanı (8√3)²√3/4=48√3’tür. Fark 96√3−48√3=48√3 bulunur.
Cevap: E
DÜZGÜN SEKİZGEN VE YÜKSEK KENAR SAYILI ÇOKGENLER
SEKİZGENDE UZUNLUK VE ALAN
Düzgün sekizgenin iç açısı 135°, dış ve merkez açısı 45°’dir. Kenar uzunluğu a olduğunda apotem a(1+√2)/2, karşılıklı kenarlar arasındaki uzaklık a(1+√2) olur. Alanı
Alan = 2(1+√2)a²
bağıntısıyla bulunur. Bu sonuç, sekizgeni bir kare ve dört ikizkenar dik üçgene ayırarak ya da çevre·apotem/2 formülünü kullanarak elde edilebilir. Köşegen sorularında kaç kenarlık yayı gördüğü belirlenmeden “kısa” veya “uzun” sözcüğüne göre işlem yapılmamalıdır.
Örnek - 22
Bir kenarı 2 birim olan düzgün sekizgende karşılıklı iki kenar arasındaki dik uzaklık kaç birimdir?
A) 2+2√2
B) 3+√2
C) 2√2
D) 4+√2
E) 4√2
Karşılıklı kenarlar arasındaki uzaklık apotemin iki katıdır: a(1+√2). a=2 için uzaklık 2(1+√2)=2+2√2 olur.
Cevap: A
Örnek - 23
Bir kenar uzunluğu 2 birim olan düzgün sekizgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 4(1+√2)
B) 8(1+√2)
C) 12+8√2
D) 16√2
E) 16+8√2
Alan=2(1+√2)a² formülünde a=2 yazılırsa 2(1+√2)·4=8(1+√2) bulunur.
Cevap: B
ORTAK KÖŞELİ DÜZGÜN ÇOKGENLER
Bir noktada iç bölgeleri çakışmadan birleşen düzgün çokgenlerin o noktadaki iç açıları, arada boşluk kalmıyorsa 360°’yi tamamlar. Bu yaklaşım kaplama, fayans ve çerçeve sorularının temelidir. Kenar sayısı bilinmeyen düzgün çokgen için bulunan iç açı mutlaka 180−360/n denklemine dönüştürülmelidir.
Örnek - 24
Bir düzgün altıgen, bir kare ve bir düzgün n-gen aynı köşede boşluksuz birleşiyor; iç bölgeleri örtüşmüyor. Buna göre n kaçtır?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 15
E) 18
Altıgenin iç açısı 120°, karenin iç açısı 90°’dir. Bilinmeyen iç açı 360−120−90=150° olur. 180−360/n=150 eşitliği 360/n=30 ve n=12 verir.
Cevap: C
DÜZGÜN ÇOKGENLERİN ALANI
APOTEM VE ÇEVREL YARIÇAP YÖNTEMİ
Merkezden kenarlara çizilen apotemler düzgün n-geni tabanı a, yüksekliği r olan n eş üçgene ayırır. Bu nedenle çevre P=na olmak üzere
Alan = n·a·r/2 = P·r/2
olur. Çevrel yarıçap R biliniyorsa merkezdeki her üçgenin iki kenarı R, aradaki açısı 360°/n’dir:
Alan = n·R²·sin(360°/n)/2
Apotem, çevrel yarıçap ve yarım kenar dik üçgen oluşturduğu için gerekirse R²=r²+(a/2)² bağıntısı kullanılır.
Örnek - 25
Çevrel çember yarıçapı 4 birim olan düzgün onikigenin alanı kaç birimkaredir?
A) 36
B) 40
C) 44
D) 48
E) 52
Merkez açı 360/12=30°’dir. Alan=12·4²·sin30°/2=12·16·(1/2)/2=48 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 26
Çevresi 30 birim olan düzgün onbeşgenin çevrel çember yarıçapı R, apotemi r’dir. R+r=5 olduğuna göre çokgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 36
B) 40
C) 42
D) 45
E) 48
Kenar uzunluğu a=30/15=2’dir. Merkez, kenar orta noktası ve köşe dik üçgen oluşturur: R²−r²=(a/2)²=1. (R−r)(R+r)=1 ve R+r=5 olduğundan R−r=1/5’tir. İki denklemden r=12/5 bulunur. Alan=P·r/2=30·(12/5)/2=36’dır.
Cevap: A
AYT DÜZEYİ KESME, KATLAMA VE MODELLEME
ÇEVREDE ORTAK KENAR VE KESİM SAYIMI
Bir şekil parçalara ayrıldığında kesim doğrusu her parçanın çevresine ayrı ayrı eklenir. Parçalar yeniden birleştirildiğinde ortak kalan her doğru parçası dış çevreden iki kez çıkarılır. Alan korunabilir; fakat çevre, ortak kenar uzunluğuna bağlı olarak değişir.
Örnek - 27
Bir kenarı 6 birim olan düzgün altıgen, karşılıklı iki köşesini birleştiren uzun köşegeni boyunca iki eş parçaya ayrılıyor. Bu iki parça, yalnız 6 birimlik birer kenarları tam çakışacak ve iç bölgeleri örtüşmeyecek biçimde yeniden birleştiriliyor. Yeni şeklin çevresi kaç birimdir?
A) 42
B) 48
C) 54
D) 60
E) 66
Uzun köşegen 2a=12’dir. Her yarım parçanın çevresi üç dış kenar ile kesim köşegeninden oluşur: 3·6+12=30. İki parçanın çevreleri toplamı 60’tır. Yeniden birleştirilen 6 birimlik ortak kenar iki kez içte kaldığından 60−2·6=48 bulunur.
Cevap: B
KAREDE KÖŞE KESEREK DÜZGÜN SEKİZGEN
Örnek - 28
Bir kenarı 10 birim olan kareden, köşelerdeki eş ikizkenar dik üçgenler kesilerek düzgün sekizgen elde ediliyor. Sekizgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 100(√2−1)
B) 150(√2−1)
C) 200(√2−1)
D) 100√2
E) 200−50√2
Kesilen üçgenlerin dik kenarı x olsun. Sekizgenin yatay kenarı 10−2x, eğik kenarı x√2’dir. Düzgünlükten 10−2x=x√2 ve x=5(2−√2) bulunur. Dört üçgenin toplam alanı 4·x²/2=2x²’dir. x²=150−100√2 olduğundan sekizgenin alanı 100−2x²=200√2−200=200(√2−1) olur.
Cevap: C
ÇERÇEVE VE DIŞ SINIR
Örnek - 29
Bir kenarı 4 birim olan düzgün altıgenin her kenarına, 4 birimlik kenarı altıgenle tam çakışan özdeş dikdörtgenler dışa doğru ekleniyor. Dikdörtgenlerin iç bölgeleri örtüşmüyor ve oluşan çerçevenin dış çevresi 60 birim oluyor. Bir dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 16
Dikdörtgenlerin dış kenarlarının toplamı 6·4=24’tür. Her dikdörtgen dış sınıra iki tane h uzunluğunda yan kenar verir. 24+12h=60 olduğundan h=3 bulunur. Bir dikdörtgenin alanı 4·3=12’dir.
Cevap: D
KATLAMA VE DELİK SAYISI
Katlama bir yansımadır. Kat izi üzerindeki noktalar sabit kalır; kat izinin dışında açılan genel konumlu bir delik açıldığında simetriğine taşınır. Art arda iki farklı simetri ekseni boyunca katlanan kâğıtta, delikler kat izleri üzerinde değilse her açma adımı görünür delik sayısını iki katına çıkarır.
Örnek - 30
Düzgün altıgen biçimindeki bir kâğıt, önce karşılıklı iki köşeden geçen bir simetri ekseni; sonra katlı şeklin başka bir simetri ekseni boyunca katlanıyor. Dört katlı son kâğıda, hiçbir kat izi üzerinde bulunmayan ve birbirinin simetriği olmayan dört delik açılıyor. Kâğıt bütünüyle açıldığında kaç delik görülür?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
Her delik dört kâğıt katını birden deler. Delikler kat izlerinde olmadığından açma sırasında hiçbir görüntü çakışmaz. Dört başlangıç deliğinin her biri dört simetrik konum üretir: 4·4=16.
Cevap: E
Genel ve düzgün çokgen ayrımı yapıldığında açı, köşegen, yay, apotem ve ortak kenar hesapları aynı sayı düzeni içinde okunabilir.
