AYT üçgende kenarortay ve ağırlık merkezi konu anlatımı kapsamında orta nokta, kenarortay uzunluğu, ağırlık merkezinin 2:1 oranı ve alan paylaşımı ilişkileri işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
KENARORTAYIN TANIMI VE UZUNLUĞU
KENARORTAY VE ORTA NOKTA
Bir üçgenin bir köşesini karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. ABC üçgeninde D, BC’nin orta noktasıysa BD=DC olur ve AD, A köşesinden çizilen kenarortaydır. Bir üçgende üç kenarortay bulunur.
Kenarortay açıortay ya da yükseklik olmak zorunda değildir. Bu üç yardımcı eleman yalnız ikizkenar üçgende tepe köşesinden tabana çizildiğinde aynı doğru üzerinde birleşir. Soruda orta nokta işareti veya eş parça bilgisi görülmeden bir doğru parçasına kenarortay özelliği verilmez.
KENARORTAY UZUNLUĞU VE APOLLONIUS
ABC üçgeninde a=BC, b=CA, c=AB ve a kenarına ait kenarortay ma olsun. Stewart teoreminin orta nokta durumundan
Tek kenarortayma²=(2b²+2c²−a²)/4
Ters kullanıma²=2b²+2c²−4ma²
Üç kenarortayma²+mb²+mc²=3(a²+b²+c²)/4
bağıntıları elde edilir. Formülde a, kenarortayın indiği kenardır; b ve c ise kenarortayın çıktığı köşeye komşu kenarlardır. Harflerin yeri değişirse hesap geometrik anlamını kaybeder.
Örnek - 1
ABC üçgeninde AB=15, AC=13 ve BC=14 birimdir. A köşesinden BC kenarına çizilen kenarortayın uzunluğu kaç birimdir?
A) √37
B) 2√37
C) 3√37
D) 4√13
E) 2√51
ma²=[2*13²+2*15²−14²]/4=(338+450−196)/4=148 olur. Bu nedenle ma=√148=2√37 bulunur.
Örnek - 2
ABC üçgeninde A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu √73, AB=11 ve AC=9 birimdir. BC uzunluğu kaç birimdir?
A) 2√7
B) 3√7
C) 4√7
D) 5√7
E) 6√3
a²=2*9²+2*11²−4*(√73)²=162+242−292=112’dir. Dolayısıyla a=√112=4√7 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 3
Kenar uzunlukları 7, 8 ve 9 birim olan bir üçgenin üç kenarortayının kareleri toplamı kaçtır?
A) 129,5
B) 136
C) 142,5
D) 145,5
E) 150
Kenar kareleri toplamı 7²+8²+9²=194’tür. Kenarortay kareleri toplamı bunun 3/4’ü olduğundan 194*3/4=145,5 elde edilir.
Cevap: D
Dikkat
Kenarortay uzunluğu formülünde eksi işaretli terim, kenarortayın indiği kenarın karesidir. Şekilde hangi kenarın iki eş parçaya ayrıldığı belirlenmeden formüle sayı yerleştirilmez.
AĞIRLIK MERKEZİ VE 2:1 ORANI
ÜÇ KENARORTAYIN ORTAK NOKTASI
Bir üçgenin üç kenarortayı tek noktada kesişir. Bu noktaya ağırlık merkezi denir ve G harfiyle gösterilir. G noktası üçgenin her zaman içindedir. D, E ve F sırasıyla BC, CA ve AB’nin orta noktalarıysa AD, BE ve CF kenarortayları G’de kesişir.
Ağırlık merkezi her kenarortayı, köşeye yakın parça diğer parçanın iki katı olacak biçimde böler:
A kenarortayıAG=2*GD ve AG=2AD/3
B kenarortayıBG=2*GE ve BG=2BE/3
C kenarortayıCG=2*GF ve CG=2CF/3
Örnek - 4
ABC üçgeninde AD kenarortayı G ağırlık merkezinden geçiyor. AG=3x−2 ve GD=x+1 olduğuna göre AD kaç birimdir?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 21
E) 24
AG=2*GD olduğundan 3x−2=2(x+1) ve x=4 bulunur. AG=10, GD=5 olduğu için AD=15’tir.
Cevap: B
Örnek - 5
AD kenarortayının uzunluğu 30 birim ve G ağırlık merkezidir. P, AG’nin; Q ise GD’nin orta noktası olduğuna göre PQ kaç birimdir?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
AG=20 ve GD=10’dur. A başlangıç alınırsa P, A’dan 10; Q ise G’den 5 ileride, yani A’dan 25 birim uzaklıktadır. PQ=25−10=15 olur.
Cevap: C
KOORDİNAT VE VEKTÖR YAKLAŞIMI
Köşeleri A(x1,y1), B(x2,y2) ve C(x3,y3) olan üçgenin ağırlık merkezi koordinatların aritmetik ortalamasıdır:
x koordinatıxG=(x1+x2+x3)/3
y koordinatıyG=(y1+y2+y3)/3
Vektör biçimig=(a+b+c)/3
İki köşe ve G biliniyorsa üçüncü köşe doğrudan c=3g−a−b bağıntısıyla bulunur. Bu yöntem, iki ayrı kenarortay denklemi kurmaktan daha kısa olabilir.
Örnek - 6
A(2,−1), B(5,4) ve ağırlık merkezi G(3,2) olan ABC üçgeninde C(x,y) olduğuna göre x+y kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
C=3G−A−B=(9,6)−(2,−1)−(5,4)=(2,3) olur. x+y=2+3=5’tir.
Cevap: C
Örnek - 7
Görselde A ve B köşeleri ile ABC üçgeninin G ağırlık merkezi verilmiştir. Buna göre ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 21
E) 24
C=3G−A−B=(3,6)−(−4,5)−(2,−1)=(5,2) bulunur. AB=(6,−6) ve AC=(9,−3) vektörlerinin determinantının mutlak değeri 36’dır. Üçgen alanı 36/2=18 birimkaredir.
Cevap: C
Dikkat
2:1 oranında büyük parça köşe tarafındadır. Ağırlık merkezinden orta noktaya kalan parça kenarortayın üçte biri; köşeden ağırlık merkezine kadar olan parça üçte ikisidir.
ÖZEL ÜÇGENLER, PARALELLİK VE 3–1–2 KURALI
DİK, İKİZKENAR VE EŞKENAR ÜÇGEN
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. Bu “muhteşem üçlü” özelliğiyle hipotenüsün orta noktası üç köşeye eşit uzaklıktadır. Ağırlık merkezi de aynı kenarortay üzerinde bulunduğu için dik köşeden G’ye uzaklık hipotenüsün üçte biridir.
İkizkenar üçgende tepe köşesinden tabana çizilen doğru aynı anda kenarortay, açıortay ve yüksekliktir. Eşkenar üçgende üç kenarortay da bu üç görevi taşır; ağırlık merkezi içmerkez, çevrel çember merkezi ve diklik merkeziyle çakışır.
Örnek - 8
A köşesi dik olan ABC üçgeninde BC=30 birim ve G ağırlık merkezidir. AG kaç birimdir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 15
Hipotenüse ait kenarortay AD=15’tir. Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 böldüğünden AG=2*15/3=10 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 9
AB=AC=13 ve BC=10 olan ikizkenar ABC üçgeninin ağırlık merkezi G’dir. G’nin BC doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
Tepe kenarortayı tabanı 5 ve 5 olarak böler. Pisagor’dan yükseklik √(13²−5²)=12’dir. G’nin tabana uzaklığı bu kenarortayın orta nokta tarafındaki üçte birlik parçası olduğundan 12/3=4’tür.
Cevap: B
Örnek - 10
Bir kenarı 12 birim olan eşkenar üçgende bir köşe ile ağırlık merkezi arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 2√3
B) 3√3
C) 4√3
D) 6√3
E) 8
Eşkenar üçgenin yüksekliği 12√3/2=6√3’tür. Bu doğru aynı zamanda kenarortaydır; köşeden G’ye kadar olan bölüm yüksekliğin 2/3’ü olduğundan AG=4√3 bulunur.
Cevap: C
AĞIRLIK MERKEZİNDEN TABANA PARALEL
G’den BC’ye paralel çizilen doğru AB’yi D, AC’yi E noktasında kessin. ADE ile ABC benzer ve benzerlik oranı 2/3’tür. Bu nedenle AD/AB=AE/AC=DE/BC=2/3; ayrıca AD/DB=AE/EC=2 olur. G, DE’nin orta noktasıdır ve GD=GE=BC/3’tür.
Örnek - 11
Görselde G ağırlık merkezi ve DE∥BC’dir. Ayrıca BC=15 birimdir. ABC ile ADE üçgenlerinin çevreleri arasındaki fark kaç birimdir?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
AD/AB=2/3 olduğundan AB=12; AE/EC=2 olduğundan AE=12 ve AC=18’dir. P(ABC)=12+18+15=45’tir. Benzerlik oranı 2/3 olduğu için P(ADE)=30 ve fark 15 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 12
ABC üçgeninde G ağırlık merkezinden BC’ye paralel çizilen doğru AB ve AC’yi D ve E’de kesiyor. DE=16 ve A(ADE)=64 olduğuna göre A(ABC) kaç birimkaredir?
A) 96
B) 108
C) 128
D) 144
E) 160
Benzerlik oranı 2/3 olduğundan alan oranı 4/9’dur. 64/A(ABC)=4/9 eşitliğinden A(ABC)=64*9/4=144 bulunur. DE=16 bilgisi BC=24 sonucunu verir; alan hesabında ayrıca kullanılmasına gerek yoktur.
Cevap: D
ORTA TABANLA 3–1–2 İLİŞKİSİ
E ve F, AB ile AC’nin orta noktaları; EF orta taban ve K=AD∩EF olsun. AD üzerinde A–K–G–D sıralaması oluşur. Uzunluklar ortak k ile AK=3k, KG=k, GD=2k biçimindedir. Böylece AD=6k ve AG=4k olur. Bu ilişki orta taban ile ağırlık merkezi aynı şekle girdiğinde hızlı oran verir.
Örnek - 13
ABC üçgeninde EF orta taban, AD kenarortay, K=AD∩EF ve G ağırlık merkezidir. KG=5 olduğuna göre (AK*GD)/KG² değeri kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
3–1–2 ilişkisinde KG=k=5, AK=3k=15 ve GD=2k=10’dur. (15*10)/5²=150/25=6 elde edilir.
Cevap: D
Dikkat
3–1–2 sırası A’dan D’ye doğru AK–KG–GD parçaları içindir. Bu oran, yalnız EF gerçek orta taban ve AD kenarortay olduğunda geçerlidir.
AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN İLİŞKİLERİ
EŞ ALANLI BÖLGELER
Bir kenarortay üçgeni eş alanlı iki parçaya ayırır; çünkü iki alt üçgenin yükseklikleri ortak, tabanları eşittir. Üç kenarortay birlikte çizildiğinde altı küçük üçgenin alanı birbirine eşit olur. Ayrıca G köşelerle birleştirildiğinde AGB, BGC ve CGA üçgenlerinin her biri ABC alanının üçte biridir.
Örnek - 14
ABC üçgeninin ağırlık merkezi G ve A(ABC)=96 birimkaredir. A(ABG) kaç birimkaredir?
A) 24
B) 28
C) 32
D) 36
E) 48
G köşelerle birleştirildiğinde üç eş alan oluşur. A(ABG)=96/3=32 birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 15
ABC üçgeninin üç kenarortayı çiziliyor. Oluşan altı küçük üçgenden köşe paylaşmayan iki tanesinin alanları toplamı 24 birimkaredir. A(ABC) kaç birimkaredir?
A) 48
B) 60
C) 72
D) 84
E) 96
Altı küçük üçgen eş alanlıdır. İki küçük bölgenin toplamı 24 ise her biri 12; bütün üçgen 6*12=72 birimkaredir.
Cevap: C
KENARORTAY ÜZERİNDE HAREKETLİ NOKTA
Bir nokta A’dan BC’nin orta noktası D’ye doğru ilerlerken BC tabanına olan yüksekliği doğrusal değişir. Bu nedenle kenarortay üzerindeki bölüm oranları, BC tabanlı üçgenlerin alan oranına doğrudan çevrilebilir. Oran kurarken ortak tabanın mı yoksa ortak yüksekliğin mi kullanıldığı açıkça belirlenmelidir.
Örnek - 16
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, X ise AG’nin orta noktasıdır. A(ABC)=90 birimkare olduğuna göre A(BXC) kaç birimkaredir?
A) 30
B) 40
C) 45
D) 60
E) 75
AG=2AD/3 olduğundan AX=AG/2=AD/3’tür. X, A’dan D’ye yolun üçte birindedir; BC’ye yüksekliği ABC yüksekliğinin 2/3’üdür. Ortak taban BC nedeniyle A(BXC)=90*2/3=60 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 17
G ağırlık merkezinden BC’ye paralel çizilen doğru AB ve AC’yi D ve E noktalarında kesiyor. DBCE dörtgeninin alanı 70 birimkare olduğuna göre A(ADE) kaç birimkaredir?
A) 42
B) 48
C) 54
D) 56
E) 63
ADE/ABC benzerlik oranı 2/3, alan oranı 4/9’dur. Dörtgen alanı toplamın 5/9’udur. 5 pay 70 ise 4 pay 56’dır; A(ADE)=56 bulunur.
Cevap: D
Dikkat
Üç kenarortayın oluşturduğu altı küçük üçgen eş alanlıdır; ancak şekil üzerindeki her dörtgen veya her büyük üçgen eş alanlı değildir. Bölge, kaç küçük eş üçgenden oluşuyorsa alanı o sayı üzerinden toplanır.
AYT DÜZEYİ BİRLEŞİK UYGULAMALAR
DİK KESİŞEN KENARORTAYLAR
İki kenarortay G’de dik kesişiyorsa köşelerden G’ye uzanan parçalar dik üçgen kurar. Önce verilen G–orta nokta parçaları 2:1 oranıyla köşe–G parçalarına çevrilir; sonra Pisagor veya alan bağıntısı uygulanır. AGB, BGC ve CGA alanlarının eşit olması çoğu soruda ikinci adımdır.
Örnek - 18
Görselde AD ve BE kenarortayları G’de dik kesişmektedir. ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 48
B) 60
C) 72
D) 84
E) 96
AG=2*GD=6 ve BG=2*GE=8’dir. AG⊥BG olduğundan A(ABG)=6*8/2=24 olur. G’nin köşelerle oluşturduğu üç büyük bölge eş alanlıdır; A(ABC)=3*24=72’dir.
Cevap: C
Örnek - 19
ABC üçgeninin ağırlık merkezi G’dir. AG⊥BG, AB=13 ve AG=5 birim olduğuna göre B köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu kaç birimdir?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 20
E) 24
AGB dik üçgeninde BG=√(13²−5²)=12’dir. BG, B’den çizilen kenarortayın 2/3’ü olduğundan kenarortayın tamamı 12*3/2=18 birimdir.
Cevap: C
İÇ İÇE AĞIRLIK MERKEZLERİ
Ağırlık merkezi yeni bir üçgenin köşesi olarak kullanıldığında koordinat veya vektör yöntemi güvenlidir. Aynı median üzerindeki noktaları tek boyutlu eksene yerleştirmek de oran karmaşasını önler.
Örnek - 20
ABC üçgeninde D, BC’nin orta noktası ve G ağırlık merkezidir. H ise BGC üçgeninin ağırlık merkezidir. AD=27 olduğuna göre GH kaç birimdir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
A’yı 0, D’yi 27 alalım. G, AD üzerinde 18 noktasındadır. B ve C’nin ortalaması D olduğundan BGC üçgeninin ağırlık merkezi H=(B+C+G)/3=(2D+G)/3=(54+18)/3=24 noktasındadır. GH=24−18=6 olur.
Cevap: D
UZUNLUK FORMÜLÜYLE 2:1 ORANINI BİRLEŞTİRME
Kenarlar verildiğinde önce tam kenarortay uzunluğu bulunur; ağırlık merkezine kadar isteniyorsa sonuç 2/3 ile çarpılır. Sorunun G’ye kadar olan parçayı vermesi hâlinde ise tam kenarortaya geçmek için 3/2 ile çarpılır.
Örnek - 21
ABC üçgeninde BC=12, AC=10 ve AB=14 birimdir. G ağırlık merkezi olduğuna göre A köşesi ile G arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 4√73
B) 2√7
C) 8√73
D) 4√7
E) 16√73
A’dan BC’ye çizilen kenarortay için ma²=[2*10²+2*14²−12²]/4=(200+392−144)/4=112 olur; ma=4√7’dir. AG=2ma/3 olduğundan AG=8√73 bulunur.
Cevap: C
Dikkat
Şekilde G verilmiş olması her doğru parçasını kenarortay yapmaz. G’nin ağırlık merkezi olduğu biliniyorsa köşeden G üzerinden uzatılan doğrunun karşı kenarı orta noktada kestiği kullanılabilir; yalnız “G noktası” denmişse bu sonuç çıkarılamaz.
Kenarortay sorularında önce orta nokta ile tam kenarortay belirlenir; ardından 2:1 oranı, özel üçgen özelliği, paralellik veya alan ilişkisi devreye girer. Bir sonraki konuda üçgenlerde eşlik ve benzerlik bağıntıları bu yapıların daha geniş dönüşüm sorularına taşınmasını sağlayacaktır.
