AYT üçgende açıortay konu anlatımı kapsamında iç ve dış açıortay teoremleri, açıortay uzunluğu, alan oranları, içmerkez ve dışmerkez ilişkileri işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
AÇIORTAYIN TEMEL YAPISI
AÇIORTAY VE EŞ UZAKLIK
Bir açının köşesinden başlayıp açıyı eş ölçülü iki açıya ayıran ışına açıortay denir. Bir nokta açının iç açıortayı üzerindeyse açının iki koluna olan dik uzaklıkları eşittir. Bunun tersi de geçerlidir: Açının içinde bulunan bir noktanın kollara dik uzaklıkları eşitse bu nokta açıortay üzerindedir.
Buradaki uzaklık, noktadan ışına çizilen herhangi bir parça değil, dik uzaklıktır. Eş uzaklık özelliği özellikle içteğet çember, katlama ve yer belirleme sorularında doğrudan kullanılır.
Açı eşitliği∠BAP=∠PAC
→
Dik uzaklıklard(P,AB)=d(P,AC)
↔
Ters özellikEş uzak nokta açıortaydadır.
Örnek - 1
P noktası ∠BAC açısının iç açıortayı üzerindedir. P’nin AB ışınına dik uzaklığı 11, AC ışınına dik uzaklığı x+2 birim olduğuna göre x kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 13
Açıortay üzerindeki P noktasının kollara dik uzaklıkları eşittir. x+2=11 olduğundan x=9 bulunur.
Örnek - 2
∠BAC=74° olan açının içinde P noktası seçiliyor. P’nin AB ve AC ışınlarına dik uzaklıkları eşit olduğuna göre ∠BAP kaç derecedir?
A) 27
B) 32
C) 37
D) 42
E) 47
Kollara eşit dik uzaklıktaki P noktası iç açıortay üzerindedir. Bu nedenle ∠BAP=74°/2=37° olur.
Cevap: C
İÇMERKEZ VE İÇ TEĞET ÇEMBER
Bir üçgenin üç iç açıortayı tek noktada kesişir. Bu nokta içmerkez olarak adlandırılır ve I harfiyle gösterilir. I’nın üç kenara dik uzaklıkları eşit olduğundan merkez I, yarıçapı bu ortak uzaklık olan çember üç kenara da teğettir. Bu çember üçgenin iç teğet çemberidir.
İç teğet çemberin aynı köşeden çıkan iki kenardaki teğet parçaları eşittir. Kenarları a, b, c ve yarı çevresi s olan üçgende A köşesinden teğet noktalarına kadar olan uzunluk s−a olur. Ayrıca alan bağıntısı A(ABC)=r·s biçimindedir.
Ortak noktaÜç iç açıortay I’da kesişir.
Eş uzaklıkI’nın üç kenara uzaklığı r’dir.
Teğet parçalarıAynı köşeden çıkanlar eşittir.
AlanA(ABC)=r·s
Örnek - 3
Kenar uzunlukları AB=13, AC=15 ve BC=14 birim olan ABC üçgeninin iç teğet çemberi AB ve AC kenarlarına sırasıyla K ve L noktalarında teğettir. AK kaç birimdir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Yarı çevre s=(13+15+14)/2=21’dir. A köşesinden çıkan eş teğet parçalarının uzunluğu s−a=21−14=7 olduğundan AK=7’dir.
Cevap: C
Örnek - 4
Alanı 84 birimkare ve çevresi 42 birim olan bir üçgenin iç teğet çember yarıçapı kaç birimdir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
Yarı çevre s=21’dir. A=r·s bağıntısından 84=21r ve r=4 bulunur.
Cevap: C
DIŞMERKEZ VE DIŞ TEĞET ÇEMBER
Bir köşenin iç açıortayı ile diğer iki köşenin dış açıortayları üçgenin dışında bir noktada kesişir. Bu nokta ilgili köşeye karşılık gelen dışmerkezdir. Bir üçgenin üç dışmerkezi vardır. Dışmerkezin üç kenarın bulunduğu doğrulara dik uzaklıkları eşittir; bu ortak uzaklık dış teğet çember yarıçapıdır.
A köşesine karşılık gelen dış teğet çember yarıçapı ra ise üçgenin alanı A(ABC)=ra·(s−a) bağıntısıyla hesaplanabilir. Burada a, A köşesinin karşısındaki kenardır.
Örnek - 5
ABC üçgeninin alanı 60 birimkare, s−a değeri 5 birimdir. A köşesine karşılık gelen dış teğet çember yarıçapı ra kaç birimdir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 15
A=ra(s−a) olduğundan 60=5ra ve ra=12 bulunur.
Cevap: D
Dikkat
İçmerkez üçgenin daima içindedir; dışmerkezler üçgenin dışındadır. Dışmerkez sorularında uzaklıklar çoğu kez kenar parçalarına değil, kenarların bulunduğu doğrulara çizilen dikmelerle ölçülür.
İÇ VE DIŞ AÇIORTAY TEOREMLERİ
İÇ AÇIORTAY TEOREMİ
ABC üçgeninde AD, A açısının iç açıortayı ve D noktası BC üzerinde olsun. İç açıortay karşı kenarı komşu kenarlar oranında böler:
Temel oranBD/DC=AB/AC
Çarpım biçimiBD·AC=DC·AB
Alan oranıA(ABD)/A(ACD)=AB/AC
Teoremin tersi de kullanılabilir. D, BC üzerinde ve BD/DC=AB/AC eşitliği sağlanıyorsa AD, A açısının iç açıortayıdır.
Örnek - 6
Görselde AD, A açısının iç açıortayıdır. DC=x olduğuna göre x kaç birimdir?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
BD/DC=AB/AC olduğundan 8/x=12/18=2/3’tür. 2x=24 ve x=12 bulunur.
Cevap: B
Örnek - 7
ABC üçgeninde AD iç açıortay, AB:AC=3:5 ve BC=32 birimdir. |DC−BD| kaç birimdir?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
BD:DC=3:5 ve toplam 32’dir. Bir oran payı 4 olduğundan BD=12, DC=20 ve fark 8’dir.
Cevap: C
Örnek - 8
ABC üçgeninde AD iç açıortaydır. BD=6, DC=9 ve AB=10 birim olduğuna göre ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir?
A) 35
B) 38
C) 40
D) 42
E) 45
6/9=10/AC olduğundan AC=15’tir. BC=6+9=15 olduğuna göre çevre 10+15+15=40 birimdir.
Cevap: C
DIŞ AÇIORTAY TEOREMİ
A köşesinden çizilen dış açıortay, BC doğrusunu E noktasında keserse komşu kenarların oranı dıştan bölünen parçaların oranına eşittir. E noktası C’nin ötesindeyse BE/CE=AB/AC yazılır. Burada BE bütün dış parça, CE ise üçgenin dışında kalan parçadır; BE=BC+CE ilişkisi unutulmamalıdır.
Kenar oranıAB/AC
=
Dıştan bölmeBE/CE
+
Doğrusal ilişkiBE=BC+CE
Örnek - 9
Görselde B, C ve E doğrusal; AE, A köşesinin dış açıortayıdır. BC=x olduğuna göre x kaç birimdir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
BE=x+9 ve CE=9’dur. Dış açıortay teoreminden (x+9)/9=10/6=5/3 olur. 3x+27=45 olduğundan x=6 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 10
ABC üçgeninde AB/AC=4/3’tür. A köşesinin dış açıortayı BC doğrusunu C’nin ötesindeki E noktasında kesiyor. BC=5 birim olduğuna göre CE kaç birimdir?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
CE=t alınırsa BE=t+5 olur. (t+5)/t=4/3 eşitliğinden 3t+15=4t ve t=15 bulunur.
Cevap: C
AÇIORTAYLAR ARASINDAKİ AÇILAR
İçmerkez I için B ve C iç açıortaylarının oluşturduğu açı ∠BIC=90°+A/2 olur. B ve C dış açıortaylarının A köşesine karşılık gelen dışmerkezde oluşturduğu açı ise 90°−A/2 biçimindedir. Aynı köşeden çizilen iç ve dış açıortaylar birbirine diktir; çünkü bütünler iki açının yarılarının toplamı 90°’dir.
Örnek - 11
ABC üçgeninin içmerkezi I ve ∠A=64° olduğuna göre ∠BIC kaç derecedir?
A) 112
B) 118
C) 122
D) 126
E) 132
∠BIC=90°+A/2=90°+32°=122° olur.
Cevap: C
Örnek - 12
ABC üçgeninin içmerkezi I ve ∠BIC=128° olduğuna göre ∠A kaç derecedir?
A) 68
B) 72
C) 76
D) 80
E) 84
128°=90°+A/2 olduğundan A/2=38° ve A=76° bulunur.
Cevap: C
Örnek - 13
Bir açının iç açıortayı ile aynı açının dış açıortayı arasındaki dar açı kaç derecedir?
A) 45
B) 60
C) 75
D) 90
E) Açının ölçüsüne bağlıdır.
İç açı α, komşu dış açı 180°−α olsun. Yarılarının toplamı α/2+(180°−α)/2=90° olduğundan iki açıortay diktir.
Cevap: D
Dikkat
Dış açıortay oranında “dışarıdaki küçük parça / içerideki parça” biçiminde ezber oran kurulmaz. Önce hangi noktanın hangi doğrusal parça üzerinde olduğu belirlenir; oran, komşu kenarlarla eşleşen tam parçalar üzerinden yazılır.
AÇIORTAY UZUNLUĞU VE ALAN İLİŞKİLERİ
AÇIORTAY UZUNLUĞU
ABC üçgeninde a=BC, b=CA, c=AB; AD iç açıortay, BD=m ve DC=n olsun. Stewart teoremi ile açıortay oranı birlikte kullanıldığında AD²=b·c−m·n bağıntısı elde edilir. Yalnız üç kenar biliniyorsa eş değer biçim kullanılabilir:
Parçalar biliniyorsaAD²=b·c−m·n
Üç kenar biliniyorsaAD²=b·c·(1−a²/(b+c)²)
Trigonometrik biçimAD=2bc·cos(A/2)/(b+c)
Örnek - 14
ABC üçgeninde AD iç açıortay; AC=15, AB=10, BD=6 ve DC=9 birimdir. AD kaç birimdir?
A) 2√6
B) 3√6
C) 4√6
D) 5√6
E) 6√6
AD²=AB·AC−BD·DC=10·15−6·9=150−54=96’dır. AD=√96=4√6 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 15
Kenar uzunlukları BC=14, CA=15 ve AB=13 birim olan ABC üçgeninde A köşesinden çizilen iç açıortayın uzunluğu kaç birimdir?
A) √65
B) 3√65/2
C) 2√65
D) 5√13/2
E) 3√13
AD²=15·13·(1−14²/(15+13)²)=195·(1−196/784)=195·3/4=585/4’tür. Bu nedenle AD=√585/2=3√65/2 olur.
Cevap: B
Örnek - 16
ABC üçgeninde AC=20, AB=15 ve BC=21 birimdir. A köşesinden çizilen iç açıortayın uzunluğu kaç birimdir?
A) 4√3
B) 6√3
C) 8√3
D) 10√3
E) 12√3
BD:DC=AB:AC=15:20=3:4 ve BC=21 olduğundan BD=9, DC=12’dir. AD²=15·20−9·12=300−108=192; AD=8√3 bulunur.
Cevap: C
AÇIORTAY VE ALAN ORANI
AD iç açıortay olduğunda ABD ile ACD üçgenlerinin A’dan BC doğrusuna yükseklikleri aynıdır. Bu nedenle alan oranı taban oranına; taban oranı da açıortay teoremiyle komşu kenarlar oranına eşittir:
KenarlarAB/AC
=
Taban parçalarıBD/DC
=
AlanlarA(ABD)/A(ACD)
Örnek - 17
ABC üçgeninde AD iç açıortay, AB:AC=4:7 ve A(ABC)=77 birimkaredir. A(ACD) kaç birimkaredir?
A) 28
B) 35
C) 42
D) 49
E) 56
ABD ve ACD alanları 4:7 oranındadır. Toplam 11 pay 77 olduğundan bir pay 7, A(ACD)=7·7=49’dur.
Cevap: D
Örnek - 18
ABC üçgeninde AD iç açıortaydır. A(ABD):A(ACD)=5:8 ve BC=26 birim olduğuna göre BD kaç birimdir?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
Ortak yükseklik nedeniyle BD:DC=5:8’dir. Toplam 13 pay 26 olduğundan bir pay 2 ve BD=10 birimdir.
Cevap: B
İÇMERKEZDE ALANLARIN KENARLARLA ORANI
İçmerkez I köşelerle birleştirildiğinde oluşan IAB, IBC ve ICA üçgenlerinin ilgili kenarlara ait yükseklikleri aynı r uzunluğudur. Bu nedenle A(IAB):A(IBC):A(ICA)=AB:BC:CA olur. Alanların toplamı ABC üçgeninin alanıdır.
Örnek - 19
Görselde I, ABC üçgeninin içmerkezidir. A(ACI)=x olduğuna göre x kaç birimkaredir?
A) 24
B) 27
C) 30
D) 32
E) 36
I’nın AB ve AC kenarlarına dik uzaklıkları eşittir. Bu nedenle A(ABI):A(ACI)=AB:AC=8:12=2:3’tür. 20/x=2/3 olduğundan x=30 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 20
ABC üçgeninin içmerkezi I’dır. A(IAB):A(IBC):A(ICA)=3:4:5 ve ABC üçgeninin çevresi 36 birim olduğuna göre AC kaç birimdir?
A) 9
B) 10
C) 12
D) 15
E) 18
Alan oranı AB:BC:CA=3:4:5 kenar oranına eşittir. Toplam 12 pay 36 olduğundan bir pay 3 ve AC=5·3=15 birimdir.
Cevap: D
Dikkat
AD²=b·c−m·n bağıntısında m ve n, açıortayın karşı kenarda oluşturduğu gerçek parçalardır. Komşu kenarlarla yerleri karıştırılırsa çarpım aynı görünse bile oran denetimi kaybolur; önce BD/DC=AB/AC eşleşmesi kurulmalıdır.
AYT DÜZEYİ BİRLEŞİK UYGULAMALAR
DİK ÜÇGENDE AÇIORTAY
Dik üçgende açıortay teoremi çoğu kez Pisagor bağıntısıyla birlikte kullanılır. Hipotenüs veya bir dik kenar doğrudan verilmemişse önce kenar üçlüsü tamamlanır; ardından açıortayın karşı kenarda oluşturduğu oran kurulur.
Örnek - 21
ABC dik üçgeninde ∠B=90°, AB=9, BC=12 ve AC=15 birimdir. A köşesinin iç açıortayı BC’yi D noktasında kestiğine göre BD kaç birimdir?
A) 3
B) 4
C) 9/2
D) 5
E) 15/2
BD/DC=AB/AC=9/15=3/5’tir. BC=12 olduğundan 8 pay 12’ye, 3 pay 12·3/8=9/2’ye karşılık gelir.
Cevap: C
KATLAMA VE YANSIMA
Bir açı, açıortayı boyunca katlandığında açının bir kolu diğer kolunun üzerine gelir. Açıortay üzerindeki noktalar sabit kalır; bir koldaki noktanın görüntüsü diğer kolda oluşur ve katlama doğrusu bu iki noktanın orta dikmesidir. Böylece eş uzunluk ve eş açı ilişkileri birlikte ortaya çıkar.
Örnek - 22
ABC üçgeni A açısının iç açıortayı boyunca katlandığında B noktası AC kenarı üzerindeki E noktasına geliyor. AB=10 ve AC=16 birim olduğuna göre CE kaç birimdir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
Katlama bir yansımadır ve A noktası katlama doğrusu üzerinde sabittir. Bu nedenle AE=AB=10’dur. CE=AC−AE=16−10=6 bulunur.
Cevap: C
ORAN, UZUNLUK VE ALANI BİRLEŞTİRME
Çok adımlı sorularda aynı açıortay üç farklı bilgi taşır: karşı kenarda oran, iki alt üçgende alan oranı ve kendi uzunluğu. Verilenler önce bu üç kanaldan uygun olana aktarılır. Gereksiz bütün kenarları bulmak yerine aranan niceliğe ulaşan en kısa zincir seçilir.
Örnek - 23
ABC üçgeninde AD iç açıortaydır. AB=12, AC=18 ve A(ABD)=32 birimkaredir. A(ACD) kaç birimkaredir?
A) 36
B) 40
C) 44
D) 48
E) 52
Alan oranı AB/AC=12/18=2/3’tür. 32/x=2/3 olduğundan x=48 birimkaredir.
Cevap: D
Örnek - 24
ABC üçgeninde AD iç açıortay; BD=8, DC=12 ve AD=10 birimdir. AB·AC çarpımı kaçtır?
A) 160
B) 180
C) 196
D) 200
E) 220
AD²=AB·AC−BD·DC bağıntısından 100=AB·AC−96 olur. AB·AC=196 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 25
ABC üçgeninde AD iç açıortaydır. BD=4, DC=6 ve AD=√46 birim olduğuna göre AB·AC çarpımı kaçtır?
A) 64
B) 68
C) 70
D) 72
E) 76
AD²=AB·AC−BD·DC bağıntısından 46=AB·AC−24 olur. AB·AC=70 bulunur.
Cevap: C
Dikkat
Bir oran, uzunluk ölçeğini tek başına belirlemez. AYT sorularında oranla birlikte verilen çevre, kenar toplamı, alan veya açıortay uzunluğunun gerçekten yeterli olup olmadığı kontrol edilir; ölçek bilgisi varsayımla tamamlanmaz.
