AYT üçgende alan konu anlatımı kapsamında taban-yükseklik ve sinüslü alan bağıntıları, Heron formülü, alan oranları ve yardımcı elemanların oluşturduğu alan ilişkileri işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
ÜÇGENDE ALANIN TEMEL BAĞINTILARI
TABAN VE YÜKSEKLİKLE ALAN
Bir üçgenin alanı, seçilen taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. ABC üçgeninde BC=a ve A noktasının BC doğrusuna dik uzaklığı ha ise A(ABC)=a·ha/2 olur. Taban olarak hangi kenar seçilirse seçilsin aynı alan elde edilir; çünkü her seçimde o kenara ait yükseklik kullanılmalıdır.
Dar açılı üçgende yükseklik ayağı kenarın içinde, dik üçgende bir dik kenarın üzerinde, geniş açılı üçgende ise tabanın uzantısında bulunabilir. Geniş açılı üçgende de ölçülen uzunluk kenara değil, kenarın bulunduğu doğruya olan dik uzaklıktır.
Dar açılıYükseklik üçgenin içindedir.
Dik üçgenDik kenarlar birbirine ait yüksekliktir.
Geniş açılıYükseklik taban uzantısına inebilir.
DeğişmeyenAlan=taban·yükseklik/2
Örnek - 1
ABC üçgeninin alanı 84 birimkaredir. AB=21 birim olduğuna göre C noktasının AB doğrusuna dik uzaklığı kaç birimdir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 12
84=21·h/2 olduğundan 21h=168 ve h=8 bulunur.
Örnek - 2
Eş kenarları 13, tabanı 10 birim olan ikizkenar üçgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 48
B) 54
C) 60
D) 65
E) 72
Tepe yüksekliği tabanı 5 ve 5 olarak böler. Yükseklik √(13²−5²)=12, alan 10·12/2=60 birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 3
Alanı 48√3 birimkare olan eşkenar üçgenin bir kenarı kaç birimdir?
A) 4√3
B) 6√3
C) 8√3
D) 12
E) 16
a²√3/4=48√3 eşitliğinden a²=192 ve a=8√3 bulunur.
Cevap: C
İKİ KENAR VE ARADAKİ AÇIYLA ALAN
İki kenar ile bu kenarların arasındaki açı biliniyorsa yükseklik ayrıca hesaplanmadan A=(b·c·sin A)/2 yazılır. Aynı üçgen için A=(a·c·sin B)/2 ve A=(a·b·sin C)/2 eşitlikleri de geçerlidir. Kullanılan açı, formüldeki iki kenarın arasında bulunmalıdır.
Görseldeki s, üçgenin yarı çevresidir: s=(a+b+c)/2. Heron ve içteğet bağıntılarında bu değer kullanılır.
Örnek - 4
Görselde AB=8, AC=12 ve ∠BAC=150° olduğuna göre ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 12
B) 18
C) 24
D) 24√3
E) 48
Alan=8·12·sin150°/2=48·1/2=24 birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 5
İki kenarı 10 ve 12 birim olan bir üçgenin alanı 30 birimkaredir. Bu kenarlar arasındaki açı dar açı olduğuna göre açı kaç derecedir?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
E) 75
30=10·12·sinA/2 olduğundan sinA=1/2 bulunur. Açı dar olduğuna göre A=30°’dir.
Cevap: B
Dikkat
SinA=sin(180°−A) olduğundan yalnız sinüs değeri bir açıyı her zaman tek başına belirlemez. Soruda açının dar ya da geniş olduğu belirtilmişse bu bilgi sonuç seçiminde kullanılmalıdır.
HERON, İÇTEĞET VE ÇEVREL ÇEMBER BAĞINTILARI
Üç kenar biliniyor, fakat uygun bir yükseklik veya açı verilmiyorsa Heron formülü kullanılır. Yarı çevre s=(a+b+c)/2 olmak üzere A=√[s(s−a)(s−b)(s−c)] olur. İçteğet çember yarıçapı r için A=r·s; çevrel çember yarıçapı R için A=abc/(4R) bağıntısı geçerlidir. Bu bağıntılar aynı soruda birbirine dönüştürülebilir.
Verilen yapı
Alan bağıntısı
Kritik koşul
Üç kenar
√[s(s−a)(s−b)(s−c)]
s yarı çevredir.
İçteğet yarıçapı
r·s
r üç kenara eşit dik uzaklıktır.
Çevrel yarıçap
abc/(4R)
R merkezden köşeye uzanır.
Örnek - 6
Kenar uzunlukları 13, 14 ve 15 birim olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 72
B) 78
C) 84
D) 90
E) 96
s=(13+14+15)/2=21’dir. Heron formülünden A=√(21·8·7·6)=√7056=84 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 7
Görselde kenarları 13, 14 ve 15 birim olan üçgenin içteğet çember yarıçapı r ile gösterilmiştir. r kaç birimdir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Bir önceki bağıntıyla alan 84, yarı çevre 21’dir. A=r·s olduğundan 84=21r ve r=4 bulunur.
Cevap: B
Örnek - 8
Kenar uzunlukları 6, 8 ve 10 birim olan üçgenin çevrel çember yarıçapı kaç birimdir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
Üçgen dik olduğundan alan 6·8/2=24’tür. 24=6·8·10/(4R) eşitliğinden R=5 bulunur. Bu sonuç dik üçgende çevrel yarıçapın hipotenüsün yarısı olmasıyla da doğrulanır.
Cevap: B
ALAN ORANLARI VE ALAN TAŞIMA
ORTAK YÜKSEKLİK VE ORTAK TABAN
Yükseklikleri eşit iki üçgenin alanları tabanlarıyla; tabanları eşit iki üçgenin alanları yükseklikleriyle orantılıdır. Aynı tepe noktasından aynı doğru üzerindeki taban parçalarına kurulan üçgenlerde yükseklik ortaktır. Aynı tabanı paylaşan ve tepe noktaları tabana paralel bir doğru üzerinde bulunan üçgenlerde ise yükseklikler eşit olduğundan alanlar eşittir. Tepe noktasının paralel doğru üzerinde yer değiştirmesine alan kaydırma gözüyle bakılabilir.
Eş yükseklikAlan oranı taban oranıdır.
→
Eş tabanAlan oranı yükseklik oranıdır.
→
İki koşul da eşAlanlar eşittir.
Örnek - 9
Görselde BD=3, DE=5, EC=4 ve A(ADE)=20 birimkaredir. ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 40
B) 44
C) 48
D) 52
E) 56
ADE ile ABC üçgenlerinin A’dan BC doğrusuna yükseklikleri aynıdır. Taban oranı DE/BC=5/12 olduğundan 20/A(ABC)=5/12 ve A(ABC)=48 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 10
AB doğrusu CD doğrusuna paraleldir. P ve Q noktaları AB, R ve S noktaları CD doğrusu üzerindedir. RS tabanlı PRS üçgeninin alanı 35 birimkare olduğuna göre QRS üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 21
B) 28
C) 35
D) 42
E) 70
İki üçgenin tabanı RS ortaktır. P ve Q aynı paralel doğru üzerinde olduğundan RS’ye uzaklıkları eşittir; alanlar da eşit ve 35’tir.
Cevap: C
Örnek - 11
Aynı A açısını paylaşan ABC ve ADE üçgenlerinde AB/AD=2/3, AC/AE=4/5 ve A(ABC)=40 birimkaredir. A(ADE) kaç birimkaredir?
A) 60
B) 64
C) 72
D) 75
E) 80
Ortak açı nedeniyle alan oranı, açıyı çevreleyen kenar çarpımlarının oranıdır. A(ABC)/A(ADE)=(AB·AC)/(AD·AE)=(2/3)·(4/5)=8/15 olur. A(ADE)=40·15/8=75’tir.
Cevap: D
KENARORTAY VE AĞIRLIK MERKEZİNDE ALAN
Kenarortay, karşı kenarı iki eş parçaya ayırdığı için üçgeni eş alanlı iki bölgeye böler. Üç kenarortay birlikte çizildiğinde oluşan altı küçük üçgen eş alanlıdır. Ağırlık merkezi G köşelerle birleştirildiğinde A(ABG)=A(BCG)=A(CAG)=A(ABC)/3 olur. Bu sonuçlar uzunluk hesabı yapılmadan bölge alanlarını taşımayı sağlar.
Örnek - 12
ABC üçgeninde AD kenarortaydır. A(ABD)=27 birimkare olduğuna göre A(ABC) kaç birimkaredir?
A) 36
B) 45
C) 48
D) 54
E) 81
Kenarortay eş taban parçaları oluşturduğu için ABD ve ACD eş alanlıdır. Toplam alan 27+27=54’tür.
Cevap: D
Örnek - 13
ABC üçgeninin ağırlık merkezi G’dir. A(ABG)=14 birimkare olduğuna göre A(ABC) kaç birimkaredir?
A) 28
B) 36
C) 40
D) 42
E) 56
Ağırlık merkezi köşelerle birleştirildiğinde üç eş alan oluşur. A(ABC)=3·14=42 birimkaredir.
Cevap: D
Örnek - 14
ABC üçgeninin üç kenarortayı çizilerek altı eş alanlı küçük üçgen oluşturuluyor. Bu küçük üçgenlerden üçünün alanları toplamı 30 birimkare olduğuna göre ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 45
B) 50
C) 54
D) 60
E) 72
Üç küçük alan 30 ise bir küçük alan 10’dur. Altı eş bölgenin toplamı 6·10=60 birimkaredir.
Cevap: D
AÇIORTAY VE İÇMERKEZDE ALAN
AD, A açısının açıortayıysa BD/DC=AB/AC olur. ABD ve ACD üçgenlerinin A’dan BC’ye yükseklikleri ortak olduğundan A(ABD)/A(ACD)=AB/AC eşitliği de sağlanır. İçmerkez I’nın üç kenara uzaklığı r olduğundan A(IBC), A(ICA) ve A(IAB) alanları sırasıyla a, b ve c kenarlarıyla orantılıdır.
Örnek - 15
ABC üçgeninde AD iç açıortaydır. AB:AC=3:5 ve A(ABC)=64 birimkare olduğuna göre A(ABD) kaç birimkaredir?
A) 18
B) 21
C) 24
D) 30
E) 40
Alanlar AB:AC=3:5 oranında paylaşılır. Toplam 8 pay 64 olduğundan bir pay 8, A(ABD)=3·8=24’tür.
Cevap: C
Örnek - 16
Kenar uzunlukları a:b:c=5:7:8 oranında olan ABC üçgeninin içmerkezi I’dır. A(ICA)=14 birimkare olduğuna göre A(ABC) kaç birimkaredir?
A) 32
B) 36
C) 40
D) 42
E) 48
ICA üçgeninin tabanı b kenarıdır; alan payı 7’dir. 7 pay 14 ise bir pay 2’dir. Toplam alan (5+7+8)·2=40 bulunur.
Cevap: C
Dikkat
İçmerkezle köşelerin oluşturduğu üç alanın oranı, karşılarındaki açılarla değil taban olarak kullanılan kenar uzunluklarıyla kurulur. Üç küçük üçgenin yüksekliği aynı r uzunluğudur.
BENZERLİK VE PARALEL KESİTLERDE ALAN
BENZER ÜÇGENLERDE ALAN ORANI
Benzer iki üçgende karşılıklı uzunlukların oranı k ise alanların oranı k²’dir. Çevre, kenar, yükseklik, kenarortay, açıortay ve yarıçap gibi bütün uzunluklar k ile; alanlar k² ile değişir. Alan oranı verildiğinde uzunluk oranına geçmek için karekök alınır.
Uzunluk oranık
→
Çevre oranık
→
Alan oranık²
Örnek - 17
Benzer iki üçgenin çevreleri 3:5 oranındadır. Küçük üçgenin alanı 54 birimkare olduğuna göre büyük üçgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 90
B) 120
C) 135
D) 150
E) 180
Alan oranı 3²:5²=9:25’tir. Büyük alan 54·25/9=150 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 18
Benzer iki üçgenin alanları 49 ve 121 birimkaredir. Büyük üçgenin küçük üçgene karşılık gelen kenarı 22 birim olduğuna göre küçük üçgenin bu kenarı kaç birimdir?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
Alan oranından uzunluk oranı √(49/121)=7/11’dir. Küçük kenar 22·7/11=14 birimdir.
Cevap: C
TEK VE ARDIŞIK PARALEL KESİTLER
ABC üçgeninde D∈AB, E∈AC ve DE∥BC ise ADE ile ABC benzerdir. AD/AB=AE/AC=DE/BC=k olduğundan A(ADE)/A(ABC)=k² olur. DE ile BC arasında kalan dörtgensel bölge, büyük üçgen alanından küçük üçgen alanı çıkarılarak bulunur. Birden fazla paralel kesitte her sınır için tepeden ölçülen benzerlik oranı ayrı ayrı karesine yükseltilir.
Örnek - 19
Görselde DE∥BC, AD:DB=2:1 ve DBCE bölgesinin alanı 45 birimkaredir. ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 72
B) 75
C) 81
D) 90
E) 108
AD/AB=2/3 olduğundan küçük üçgenin alanı bütünün 4/9’udur. Alt bölge 5/9’a karşılık gelir. 5/9·A(ABC)=45 olduğundan A(ABC)=81 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 20
ABC üçgeninde DE∥BC ve AD/AB=3/5’tir. DECB bölgesinin alanı 64 birimkare olduğuna göre A(ADE) kaç birimkaredir?
A) 24
B) 30
C) 32
D) 36
E) 40
Küçük alanın bütüne oranı 9/25, ara bölgenin oranı 16/25’tir. 16 pay 64 ise bir pay 4; küçük üçgen 9·4=36 birimkaredir.
Cevap: D
Örnek - 21
ABC üçgeninde BC’ye paralel iki doğru, AB kenarını A’dan başlayarak sırasıyla 1:2 ve 2:1 oranlarında bölen noktalardan geçmektedir. En üst küçük üçgenin alanı 12 birimkare olduğuna göre iki paralel doğru arasındaki bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 24
B) 30
C) 36
D) 42
E) 48
İlk nokta için tepeden oran 1/3, ikinci nokta için 2/3’tür. En üst alan bütünün 1/9’u olduğundan bütün alan 108’dir. İkinci paralelin üstündeki alan 4/9·108=48’dir. İki paralel arasındaki alan 48−12=36 bulunur.
Cevap: C
ÇOK ADIMLI AYT ALAN UYGULAMALARI
PARÇALI ÜÇGENLERDE ORAN ZİNCİRİ
Bir üçgen birkaç doğru parçasıyla bölündüğünde bütün uzunlukları bulmaya çalışmak yerine ortak yükseklik ve ortak taban çiftleri sırayla aranır. Bilinen bir alan önce aynı büyük üçgen içindeki komşu bölgeye, ardından taban oranıyla bütün üçgene taşınabilir. Her geçişte kullanılan oranın hangi iki üçgene ait olduğu açık tutulmalıdır.
Örnek - 22
ABC üçgeninde D, BC üzerinde; E, AD üzerindedir. BD:DC=2:3, AE:ED=1:2 ve A(BDE)=16 birimkaredir. A(ABC) kaç birimkaredir?
A) 60
B) 72
C) 80
D) 96
E) 120
ED/AD=2/3’tür. BDE ile BDA’nın B’den AD’ye yükseklikleri ortak olduğundan A(BDE)/A(BDA)=2/3 ve A(BDA)=24 olur. ABD ile ACD alanları BD:DC=2:3 oranında olduğundan ABD bütün alanın 2/5’idir. A(ABC)=24·5/2=60 bulunur.
Cevap: A
Örnek - 23
ABC üçgeninde D, BC üzerinde ve BD:DC=3:2’dir. E, AD üzerinde ve AE:ED=3:1’dir. A(BDE)=27 birimkare olduğuna göre A(ABC) kaç birimkaredir?
A) 120
B) 144
C) 160
D) 180
E) 216
ED/AD=1/4’tür. BDE ile BDA üçgenlerinin B’den AD’ye yükseklikleri ortak olduğundan A(BDE)/A(BDA)=1/4 ve A(BDA)=108 bulunur. ABD ile ABC’nin A’dan BC’ye yükseklikleri ortak; BD/BC=3/5 olduğundan 108=3/5·A(ABC). Buradan A(ABC)=180’dir.
Cevap: D
KESME, KATLAMA VE TARALI ALAN
Kesme ve katlama sorularında şeklin dış görünüşü değişse de alan korunur. Önce taşınan veya çıkarılan parçanın büyük üçgene göre alan oranı belirlenir. Orta taban, kenar orta noktaları ve paralel kesitler bu oranı doğrudan verir; üst üste gelen parçalar varsa iki kez sayılan bölge ayrıca çıkarılır.
Örnek - 24
ABC üçgeninde D, E ve F sırasıyla AB, BC ve CA kenarlarının orta noktalarıdır. A(ABC)=120 birimkare olduğuna göre köşelerde kalan ADF, BDE ve CEF üçgenlerinin alanları toplamı kaç birimkaredir?
A) 60
B) 75
C) 80
D) 90
E) 100
Orta noktaların oluşturduğu DEF üçgeni ABC’ye 1/2 oranında benzerdir; alanı bütünün 1/4’ü, yani 30’dur. Köşelerde kalan üç bölgenin toplamı 120−30=90 birimkaredir.
Cevap: D
Örnek - 25
Alanı 180 birimkare olan ABC üçgeninde DE∥BC ve AD:DB=2:1’dir. Üçgen DE boyunca kesilerek üstteki ADE parçası çıkarılıyor. Kalan parçanın alanı kaç birimkaredir?
A) 80
B) 90
C) 100
D) 108
E) 120
AD/AB=2/3 olduğundan ADE alanı bütünün 4/9’u, yani 80’dir. Kalan alan 180−80=100 birimkaredir.
Cevap: C
KOORDİNAT, KARIŞIM VE TERSİNE ALAN
Koordinat düzleminde bir kenar yataysa ya da düşeyse alan, taban–yükseklik ilişkisiyle hızlıca bulunabilir. Genel durumda determinant düzeni kullanılabilir: A=|x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|/2. Tersine sorularda alan verilerek bir koordinat, oran veya paralel kesitin yeri aranır; mutlak değer iki farklı konumu mümkün kılabilir.
Örnek - 26
Koordinat düzleminde A(−2,1), B(4,1) ve C(k,5) noktaları veriliyor. ABC üçgeninin alanı 12 birimkare olduğuna göre k için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Yalnız −2
B) Yalnız 1
C) Yalnız 4
D) −2 veya 4
E) Her reel sayı
AB yatay, uzunluğu 6 ve C’nin AB doğrusuna dik uzaklığı |5−1|=4’tür. Alan 6·4/2=12 olup C’nin yatay konumuna bağlı değildir. Bu nedenle k her reel sayı olabilir.
Cevap: E
Dikkat
Alan oranı, yön bilgisi taşımaz. Bir nokta tabanın karşı tarafına geçtiğinde yön değişse de geometrik alan pozitif kalır; koordinat bağıntısındaki mutlak değer bu nedenle korunmalıdır.
