AYT ikizkenar ve eşkenar üçgen konu anlatımı kapsamında eşit kenarların oluşturduğu açı ilişkileri, simetri, yardımcı elemanların çakışması, alan ve merkez bağıntıları işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
İKİZKENAR ÜÇGENİN TEMEL YAPISI
EŞ KENARLAR VE TABAN AÇILARI
İki kenarı eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. ABC üçgeninde AB=AC ise A tepe açısı, BC taban ve B ile C açıları taban açılarıdır. Eş kenarların karşısındaki açılar eşit olduğundan ∠B=∠C olur. Bu sonuç ters yönde de geçerlidir: Bir üçgende iki açı eşitse bu açıların karşısındaki kenarlar da eşittir.
AB=ACEş kenarlar
→
∠B=∠CEş taban açıları
↔
Eş açılarKarşılarındaki kenarlar eşit
Örnek - 1
AB=AC olan ABC ikizkenar üçgeninde ∠A=40° olduğuna göre ∠B kaç derecedir?
A) 60
B) 65
C) 70
D) 75
E) 80
Taban açıları eşittir. ∠B=∠C=x alınırsa 40+2x=180 ve x=70 bulunur.
Örnek - 2
ABC üçgeninde ∠B=∠C, AB=3x+2, AC=5x−8 ve BC=14 birimdir. Üçgenin çevresi kaç birimdir?
A) 42
B) 44
C) 46
D) 48
E) 50
Eş açıların karşısındaki kenarlar eşittir: AB=AC. 3x+2=5x−8 eşitliğinden x=5 ve AB=AC=17 bulunur. Çevre 17+17+14=48 birimdir.
Cevap: D
TEPE DOĞRUSUNUN DÖRT GÖREVİ
AB=AC olan ABC üçgeninde A’dan tabana indirilen AD dikmesi simetri eksenidir. Bu doğru aynı anda yükseklik, kenarortay, açıortay ve BC’nin orta dikmesi olur. Böylece AD⊥BC, BD=DC ve ∠BAD=∠DAC sonuçları birlikte elde edilir. Tersine, tepe noktasından çıkan bir doğru bu görevlerden ikisini aynı anda üstleniyorsa üçgenin ikizkenar olduğu sonucuna ulaşılabilir.
YükseklikAD⊥BC
KenarortayBD=DC
Açıortay∠BAD=∠DAC
Orta dikmeAD, BC’nin simetri eksenidir
Örnek - 3
AB=AC olan ABC ikizkenar üçgeninde AD⊥BC, BC=24 ve AD=5 birimdir. AB kaç birimdir?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
AD aynı zamanda kenarortay olduğundan BD=12’dir. ABD dik üçgeninde AB=√(5²+12²)=13 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 4
Eş kenarları 17, tabanı 16 birim olan ikizkenar üçgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 96
B) 108
C) 120
D) 128
E) 136
Tepe yüksekliği tabanı 8 ve 8 olarak böler. Yükseklik √(17²−8²)=15’tir. Alan 16·15/2=120 birimkaredir.
Cevap: C
Dikkat
Bir üçgenin çizimde simetrik görünmesi, kenarlarının eşit olduğunu kanıtlamaz. İkizkenarlık için eşlik çizikleri, eş açı bilgisi veya bunu zorunlu kılan yardımcı eleman bağıntıları bulunmalıdır.
İKİZKENAR ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE PARALEL KESİTLER
EŞ YÜKSEKLİK, KENARORTAY VE AÇIORTAYLAR
Bir ikizkenar üçgende eş kenarlara ait yükseklikler eş, eş kenarlara ait kenarortaylar eş ve eş kenarlara ait iç açıortaylar eş uzunluktadır. Bu sonuçların tersleri de kullanılır: İki yüksekliği, iki kenarortayı veya iki iç açıortayı eş olan bir üçgen ikizkenardır. Sorularda bu eşitlikler çoğu zaman doğrudan kenar eşitliği vermeden simetriyi ortaya çıkarır.
Verilen eşitlik
Ulaşılan sonuç
İki yükseklik eşit
Karşılarındaki kenarlar eşit
İki kenarortay eşit
Ait oldukları kenarlar eşit
İki iç açıortay eşit
Ait oldukları köşe açıları eşit
Örnek - 5
ABC üçgeninde B ve C köşelerinden karşı kenarlara çizilen yükseklikler eşittir. ∠A=44° olduğuna göre ∠B kaç derecedir?
A) 62
B) 64
C) 66
D) 68
E) 70
Eş yüksekliklerin ait olduğu kenarlar eşit olduğundan ∠B=∠C olur. 44+2∠B=180 eşitliğinden ∠B=68° bulunur.
Cevap: D
Örnek - 6
ABC üçgeninde B ve C köşelerinden çizilen kenarortayların uzunlukları eşittir. ∠B=52° olduğuna göre ∠A kaç derecedir?
A) 72
B) 74
C) 76
D) 78
E) 80
Eş kenarortaylar üçgenin B ve C açılarını eşit kılar. ∠C=52° olduğundan ∠A=180−104=76°’dir.
Cevap: C
Örnek - 7
ABC üçgeninde B ve C köşelerinden çizilen iç açıortaylar eşittir. AB=13 ve BC=10 birim olduğuna göre üçgenin çevresi kaç birimdir?
A) 32
B) 34
C) 36
D) 38
E) 40
Eş açıortaylar ∠B=∠C sonucunu verir. Bu açıların karşısındaki AC ve AB eşittir; AC=13’tür. Çevre 13+13+10=36 birimdir.
Cevap: C
PARALEL KESİT VE BENZERLİK
İkizkenar üçgenin iki eş kenarını birleştiren bir doğru tabana paralelse tepede daha küçük bir ikizkenar üçgen oluşur. Küçük ve büyük üçgenler benzerdir; uzunluklar benzerlik oranıyla, alanlar ise bu oranın karesiyle değişir. Paralel kesit, eş kenarlar üzerindeki karşılıklı parçaları da eşleştirir.
DE∥BCADE ile ABC benzer
→
AD/ABUzunluk oranı
→
Alan oranı(AD/AB)²
Örnek - 8
AB=AC olan ABC üçgeninde D, AB üzerinde; E, AC üzerindedir. AD=6, DB=3, DE=8 ve DE∥BC olduğuna göre BC kaç birimdir?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
AB=9’dur. ADE ile ABC benzer ve benzerlik oranı AD/AB=6/9=2/3’tür. DE/BC=2/3 olduğundan 8/BC=2/3 ve BC=12 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 9
AB=AC=20 ve BC=15 olan ABC üçgeninde D, AB üzerinde; E, AC üzerindedir. AD=8 ve DE∥BC olduğuna göre DE kaç birimdir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Benzerlik oranı AD/AB=8/20=2/5’tir. DE=(2/5)·15=6 birimdir.
Cevap: B
EŞKENAR ÜÇGENİN UZUNLUK VE ALAN BAĞINTILARI
60° AÇI YAPISI VE YÜKSEKLİK
Üç kenarı eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir. Üç iç açının her biri 60°’dir. Bir köşeden karşı kenara indirilen yükseklik, eşkenar üçgeni iki eş 30°-60°-90° üçgenine ayırır. Kenar uzunluğu a ise tabanın yarısı a/2, yükseklik h=a√3/2 olur.
Örnek - 10
Kenar uzunluğu 10 birim olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaç birimdir?
A) 4√3
B) 5√2
C) 5√3
D) 6√3
E) 10√3
h=a√3/2 olduğundan h=10√3/2=5√3 birimdir.
Cevap: C
ALAN, ÇEVRE VE TERSİNE HESAP
Eşkenar üçgenin alanı taban ve yükseklikten A=a²√3/4 olarak bulunur. Çevre 3a’dır. Alan ya da yükseklik verildiğinde önce kenar uzunluğuna dönmek, ardından çevre ve diğer uzunlukları hesaplamak güvenli bir yoldur.
Yükseklikh=a√3/2
AlanA=a²√3/4
ÇevreÇ=3a
Yükseklik–alanA=a·h/2
Örnek - 11
Alanı 36√3 birimkare olan eşkenar üçgenin bir kenarı kaç birimdir?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
a²√3/4=36√3 olduğundan a²=144 ve a=12 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 12
Yüksekliği 9√3 birim olan eşkenar üçgenin çevresi kaç birimdir?
A) 36
B) 45
C) 48
D) 54
E) 60
a√3/2=9√3 eşitliğinden a=18 bulunur. Çevre 3a=54 birimdir.
Cevap: D
Dikkat
Eşkenar üçgende yükseklik formülündeki a tam kenar uzunluğudur. Yüksekliğin tabanda oluşturduğu a/2 parçasını formülde yeniden ikiye bölmek sık yapılan bir hatadır.
EŞKENAR ÜÇGENDE MERKEZLER VE UZAKLIKLAR
ORTAK MERKEZ VE YARIÇAPLAR
Eşkenar üçgende üç yükseklik, üç kenarortay, üç iç açıortay ve üç kenar orta dikme aynı doğrular üzerinde bulunur. Bu nedenle ağırlık merkezi G, diklik merkezi H, içteğet çember merkezi I ve çevrel çember merkezi O tek noktada çakışır. Ortak merkez yüksekliği köşeden tabana doğru 2:1 oranında böler. İçteğet yarıçapı r, çevrel yarıçap R ise h=3r, R=2r, R=2h/3 bağıntıları geçerlidir.
G=H=I=OMerkezler çakışır
→
h=3rİçteğet yarıçapı
→
R=2rÇevrel yarıçap
Örnek - 13
İçteğet çemberinin yarıçapı 4 birim olan eşkenar üçgenin bir kenarı kaç birimdir?
A) 4√3
B) 6√3
C) 8√3
D) 12√3
E) 16√3
h=3r=12’dir. a√3/2=12 olduğundan a=24/√3=8√3 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 14
Görselde ABC eşkenar üçgeni, O ortak merkez, OD⊥BC ve OD=6 birimdir. AO kaç birimdir?
A) 6
B) 9
C) 10
D) 12
E) 18
OD içteğet yarıçapı r, AO çevrel yarıçap R’dir. Eşkenar üçgende R=2r olduğundan AO=12 birimdir.
Cevap: D
İÇ NOKTADAN KENARLARA UZAKLIKLAR
Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir P noktasından üç kenara indirilen dik uzaklıkların toplamı üçgenin yüksekliğine eşittir. Uzaklıklar x, y ve z ise x+y+z=h olur. Bu sonuç, P noktası kenarlara yaklaşırken de değişmez; çünkü ABC üçgeninin alanı PAB, PBC ve PCA üçgenlerinin alanları toplamıdır.
Örnek - 15
Kenar uzunluğu 14√3 birim olan eşkenar üçgenin içindeki bir noktanın kenarlara dik uzaklıkları 5, 7 ve x birimdir. x kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Üçgenin yüksekliği (14√3·√3)/2=21’dir. Uzaklıkların toplamı yüksekliğe eşit olduğundan 5+7+x=21 ve x=9 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 16
Bir eşkenar üçgenin kenarı 12√3 birimdir. İçindeki P noktasının üç kenara dik uzaklıkları 5, 3 ve x birim olduğuna göre x kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Yükseklik (12√3·√3)/2=18’dir. 5+3+x=18 olduğundan x=10 bulunur.
Cevap: C
PARALEL PARÇALAR VE KÜÇÜK EŞKENAR ÜÇGENLER
Eşkenar üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı aynı oranda böler ve tepede yeni bir eşkenar üçgen oluşturur. Üçgenin içinden geçen, kenarlara paralel üç doğru parçası da 60°’lik yönleri korur. Bu nedenle paralellik, benzerliğin yanı sıra küçük eşkenar bölgeleri fark etmek için kullanılır.
Örnek - 17
Kenar uzunluğu 18 birim olan ABC eşkenar üçgeninde D, AB üzerinde; E, AC üzerindedir. DE∥BC ve AD/AB=2/3 olduğuna göre DE kaç birimdir?
İkizkenar üçgende tepe yüksekliği bir yansıma eksenidir. Bu eksenin iki yanındaki noktalar birbirine, eş kenarlar da karşılıklı olarak eşlenir. Katlama sorularında eksen üzerindeki her nokta, yansıyan iki noktaya eşit uzaklıktadır. Eşkenar üçgende ise her köşeden çizilen yükseklik ayrı bir simetri eksenidir.
Örnek - 18
Görselde AB=AC, AD⊥BC, AD=15, BC=16 ve E noktası AD üzerindedir. EB=10 olduğuna göre AE kaç birimdir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
AD tabanı ortaladığı için BD=8’dir. EBD dik üçgeninde ED=√(10²−8²)=6 bulunur. AE=AD−ED=15−6=9 birimdir.
Cevap: D
BİLEŞİK ALAN VE AÇI KURGULARI
AYT sorularında ikizkenar ve eşkenar üçgenler aynı şekil üzerinde birleştirilebilir. Bir eşkenar parça 60° üretirken ikizkenar parça eş açı ya da simetri üretir. Alan sorularında ortak taban ve yükseklikler, uzunluk sorularında ise önce simetri ekseniyle oluşan dik üçgen kullanılmalıdır.
Simetriyi belirleEş açı ve yarım taban
→
Özel üçgeni kur30°-60°-90° veya Pisagor
→
Son bağıntıya geçAlan, benzerlik ya da merkez
Örnek - 19
Eş kenarları 13, tabanı 10 birim olan bir ikizkenar üçgenin tabanına dış bölgede kenarı 10 birim olan bir eşkenar üçgen çiziliyor. Birleşik şeklin alanı kaç birimkaredir?
A) 50+25√3
B) 60+20√3
C) 60+25√3
D) 65+25√3
E) 120+25√3
İkizkenar üçgenin yüksekliği √(13²−5²)=12, alanı 10·12/2=60’tır. Eşkenar üçgenin alanı 10²√3/4=25√3’tür. Bölgeler taban dışında kaldığı için alanlar toplanır: 60+25√3.
Cevap: C
Örnek - 20
AB=AC olan ABC ikizkenar üçgeninde ∠ABC=35°’dir. BC kenarı üzerine, ABC’nin dış bölgesinde BCD eşkenar üçgeni çiziliyor. ∠ABD kaç derecedir?
A) 85
B) 90
C) 95
D) 100
E) 105
B köşesinde ∠ABC=35° ve dış taraftaki eşkenar üçgenden ∠CBD=60°’dir. Işınlar BC’nin iki yanında olduğundan ∠ABD=35+60=95° olur.
Cevap: C
Örnek - 21
Kenar uzunluğu 12 birim olan ABC eşkenar üçgeninde D, BC’nin orta noktasıdır. P noktası AD üzerinde ve PD=2 birimdir. P’nin AB ve AC kenarlarına dik uzaklıkları eşit olduğuna göre bu uzaklıklardan biri kaç birimdir?
A) 2√3−1
B) 3√3−1
C) 3√3+1
D) 4√3−2
E) 6√3−2
Eşkenar üçgenin yüksekliği 6√3’tür. P’nin BC’ye uzaklığı PD=2, diğer iki kenara uzaklıkları x ve x’tir. Viviani bağıntısından 2x+2=6√3; x=3√3−1 bulunur.
Cevap: B
Örnek - 22
AB=AC=15 ve BC=18 olan ABC ikizkenar üçgeninde D, AB üzerinde; E, AC üzerindedir. DE∥BC ve DBCE dörtgeninin alanı 72 birimkaredir. DE kaç birimdir?
A) 4√3
B) 5√3
C) 6√3
D) 7√3
E) 8√3
ABC’nin yüksekliği √(15²−9²)=12, alanı 18·12/2=108’dir. ADE’nin alanı 108−72=36’dır. Benzer üçgenlerin alan oranı 36/108=1/3 olduğundan uzunluk oranı 1/√3’tür. DE=18/√3=6√3 birimdir.
Cevap: C
Dikkat
Birleşik şekillerde yer alan her 60° açılı üçgen eşkenar değildir. Eşkenar sonucuna ulaşmak için üç açının 60° olması, üç kenarın eşitliği veya bunu zorunlu kılan paralellik ve eşlik bilgileri birlikte değerlendirilmelidir.
