AYT dik üçgen ve trigonometrik bağıntılar konu anlatımı kapsamında Pisagor ve Öklid bağıntıları, özel dik üçgenler, hipotenüse indirilen yükseklik ve trigonometrik oranlar işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
DİK ÜÇGENİN YAPISI VE PİSAGOR BAĞINTISI
DİK KENAR VE HİPOTENÜS
Bir açısı 90° olan üçgen dik üçgendir. Dik açının karşısındaki kenar hipotenüs, dik açıyı oluşturan iki kenar ise dik kenarlardır. Hipotenüs her zaman üçgenin en uzun kenarıdır. Dik olmayan iki açının toplamı 90° olduğundan bu açılar birbirinin tümleyenidir.
Dik kenarlar90°’lik açıyı oluşturan iki kenar
HipotenüsDik açının karşısındaki en uzun kenar
PİSAGOR TEOREMİ VE TERSİ
Dik kenar uzunlukları b ve c, hipotenüs uzunluğu a ise a²=b²+c² bağıntısı geçerlidir. Tersi de doğrudur: Bir üçgende en uzun kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse bu üçgen diktir.
En uzun kenarı belirleHipotenüs adayı
→
Kareleri karşılaştıra² ile b²+c²
→
Sonucu yorumlaEşitse üçgen diktir
Örnek - 1
Bir dik üçgenin dik kenarları (x+1) ve (x+8), hipotenüsü 17 birimdir. Buna göre x kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Pisagor bağıntısından (x+1)²+(x+8)²=17² yazılır. Düzenlendiğinde x²+9x−112=0 ve (x−7)(x+16)=0 olur. Uzunlukları pozitif yapan değer x=7’dir.
Örnek - 2
Hipotenüsü 25, dik kenarlarından biri 15 birim olan dik üçgenin diğer dik kenarı kaç birimdir?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
Diğer dik kenar y olsun. y²+15²=25² olduğundan y²=400 ve y=20 bulunur.
Cevap: C
PİSAGOR ÜÇLÜLERİ VE HİPOTENÜSE KENARORTAY
3-4-5, 5-12-13, 7-24-25 ve 8-15-17 sayıları ile bunların aynı pozitif katları sık kullanılan Pisagor üçlüleridir. Ayrıca dik üçgende hipotenüsün orta noktası üç köşeye eşit uzaklıktadır. Bu nedenle hipotenüse çizilen kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.
3-4-56-8-10, 9-12-15…
5-12-1310-24-26…
7-24-25Karenin köşegenli modellerinde sık görülür
8-15-17Uzunluk ve rota sorularında kullanışlıdır
Örnek - 3
Hipotenüsü 13 birim olan bir dik üçgenin çevresi 30 birimdir. Kısa dik kenar kaç birimdir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Dik kenarların toplamı 30−13=17’dir. Hipotenüsü 13 olan ve dik kenarları toplamı 17 olan Pisagor üçlüsü 5-12-13’tür. Kısa dik kenar 5 birimdir.
Cevap: B
Örnek - 4
ABC dik üçgeninde A açısı 90° ve BC=18 birimdir. A’dan BC’nin orta noktası M’ye çizilen kenarortayın uzunluğu kaç birimdir?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 12
E) 18
Dik üçgende hipotenüsün orta noktası köşelere eşit uzaklıktadır. Bu nedenle AM=BC/2=9 birimdir.
Cevap: C
Dikkat
Pisagor bağıntısında hipotenüs mutlaka eşitliğin tek başına kalan tarafındadır. En uzun kenarı belirlemeden rastgele bir kenarı hipotenüs kabul etmek, özellikle birleşik şekillerde sonucun bozulmasına yol açar.
HİPOTENÜSE İNDİRİLEN YÜKSEKLİK VE ÖKLİD BAĞINTILARI
YÜKSEKLİK VE İZDÜŞÜMLER
Dik köşeden hipotenüse indirilen yükseklik, büyük dik üçgeni kendisine ve birbirine benzer iki küçük dik üçgene ayırır. Hipotenüs a, hipotenüs parçaları p ve q, yükseklik h ise a=p+q ve h²=pq olur.
DİK KENAR BAĞINTILARI
Her dik kenarın karesi, hipotenüs ile o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümünün çarpımına eşittir. Şekilde AB=c ve AC=b için c²=ap, b²=aq yazılır. Bu formüllerin üçü de benzer üçgenlerden doğar; şekli döndürmek bağıntıyı değiştirmez.
Yükseklikh²=p·q
Birinci dik kenarc²=a·p
İkinci dik kenarb²=a·q
Hipotenüsa=p+q
Örnek - 5
ABC dik üçgeninde A açısı 90°, AH⊥BC, BH=4 ve HC=9’dur. Buna göre AB+AC kaç birimdir?
A) 4√13
B) 5√13
C) 6√13
D) 7√13
E) 8√13
BC=4+9=13’tür. AB²=BC·BH=13·4 olduğundan AB=2√13; AC²=BC·HC=13·9 olduğundan AC=3√13 bulunur. Toplam 5√13’tür. Görselde H, A’dan hipotenüse indirilen yüksekliğin ayağıdır; 4 ve 9 sırasıyla BH ve HC uzunluklarını gösterir.
Cevap: B
Örnek - 6
Hipotenüse indirilen yüksekliği 6 birim olan bir dik üçgende hipotenüs parçalarının oranı 4:9’dur. Hipotenüs kaç birimdir?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Parçalar 4k ve 9k olsun. h²=pq bağıntısından 36=36k² ve k=1 bulunur. Hipotenüs 4+9=13 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 7
Hipotenüsü 25 birim olan bir dik üçgende bir dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü 9 birimdir. Bu dik kenarın uzunluğu kaç birimdir?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 18
E) 20
Dik kenarın karesi hipotenüs ile kendi izdüşümünün çarpımıdır. x²=25·9=225 olduğundan x=15 bulunur.
Cevap: C
ÖZEL DİK ÜÇGENLER
45°-45°-90° VE 30°-60°-90°
İkizkenar dik üçgende dik kenarlar eşittir; kenar oranı k:k:k√2 olur. 30°-60°-90° üçgeninde 30°’nin karşısındaki kısa kenar k, 60°’nin karşısındaki uzun dik kenar k√3, hipotenüs 2kdir.
Örnek - 8
Dik kenarlarından biri 6 birim olan ikizkenar dik üçgenin çevresi kaç birimdir?
A) 6+6√2
B) 12+3√2
C) 12+6√2
D) 18√2
E) 24
Diğer dik kenar da 6, hipotenüs 6√2’dir. Çevre 6+6+6√2=12+6√2 olur.
Cevap: C
Örnek - 9
Hipotenüsü 14 birim olan 30°-60°-90° üçgeninde 60°’nin karşısındaki kenar kaç birimdir?
A) 7
B) 7√2
C) 7√3
D) 14√2
E) 14√3
Hipotenüs 2k=14 olduğundan k=7’dir. 60°’nin karşısındaki uzun dik kenar k√3=7√3 olur.
Cevap: C
15°-75°-90° VE 22,5°-67,5°-90°
Bazı AYT sorularında özel üçgen doğrudan verilmez; yardımcı dikme veya simetrik kopya ile oluşturulur. 15°-75°-90° üçgeninde dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin hipotenüse oranı 1:4’tür. 22,5°-67,5°-90° üçgeninde aynı oran 1:(2√2)’dir. Bu bağıntılar, alanın iki farklı yoldan yazılmasıyla da doğrulanabilir.
15°-75°-90°Hipotenüs=4h
22,5°-67,5°-90°Hipotenüs=2√2·h
Örnek - 10
Bir 15°-75°-90° üçgeninde dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğu 6 birimdir. Hipotenüs kaç birimdir?
A) 12
B) 18
C) 20
D) 24
E) 30
15°-75°-90° üçgeninde hipotenüs yüksekliğin 4 katıdır. Bu nedenle 4·6=24 birim bulunur.
Cevap: D
Örnek - 11
Bir 22,5°-67,5°-90° üçgeninin hipotenüsü 12√2 birimdir. Dik köşeden hipotenüse indirilen yükseklik kaç birimdir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 12
Hipotenüs=2√2·h olduğundan 12√2=2√2·h ve h=6 bulunur.
Cevap: C
DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
KARŞI, KOMŞU VE HİPOTENÜS
Trigonometrik oranlar seçilen dar açıya göre tanımlanır. Hipotenüs değişmez; ancak karşı ve komşu dik kenarlar açı değiştiğinde yer değiştirir. Bir dar açı α için sinüs karşı/hipotenüs, kosinüs komşu/hipotenüs, tanjant karşı/komşu ve kotanjant komşu/karşı oranıdır.
Örnek - 12
Dik kenarları 8 ve 15, hipotenüsü 17 olan dik üçgende α açısının karşısındaki kenar 8 birimdir. Buna göre sinα+cosα kaçtır?
A) 15/17
B) 1
C) 23/17
D) 25/17
E) 31/17
sinα=8/17 ve cosα=15/17 olduğundan toplam 23/17’dir.
Cevap: C
Örnek - 13
Dar açı α için tanα=3/4’tür. Bu açının bulunduğu dik üçgenin hipotenüsü 20 birim olduğuna göre α’nın karşısındaki kenar kaç birimdir?
A) 9
B) 10
C) 12
D) 15
E) 16
tanα=3/4 oranı 3-4-5 üçgenini verir. Hipotenüs 5k=20 olduğundan k=4 ve karşı kenar 3k=12’dir.
Cevap: C
Örnek - 14
α dar açı ve sinα=5/13 olduğuna göre tanα kaçtır?
A) 5/13
B) 5/12
C) 12/13
D) 12/5
E) 13/5
Karşı kenar 5k, hipotenüs 13k alınır. Pisagor’dan komşu kenar 12k olur. tanα=karşı/komşu=5/12’dir.
Cevap: B
TÜMLEYEN AÇILAR VE TEMEL ÖZDEŞLİKLER
Dik üçgenin iki dar açısı α ve β ise α+β=90°’dir. Bu nedenle sinα=cosβ, cosα=sinβ, tanα=cotβ olur. Aynı dar açı için sin²α+cos²α=1 bağıntısı, Pisagor teoreminin trigonometrik biçimidir.
α+β=90°Tümler açılar
→
sinα=cosβKarşı ve komşu yer değiştirir
→
tanα=cotβOranlar terslenir
Örnek - 15
α dar açı ve sinα=3/5 olduğuna göre cos(90°−α) kaçtır?
A) 2/5
B) 3/5
C) 4/5
D) 1
E) 5/3
Tümler açı bağıntısından cos(90°−α)=sinα=3/5 olur.
Cevap: B
Örnek - 16
α dar açı ve tanα=2 olduğuna göre (sinα+cosα)² kaçtır?
A) 6/5
B) 7/5
C) 8/5
D) 9/5
E) 2
Karşı ve komşu kenarlar 2k ve k alınırsa hipotenüs k√5 olur. sinα=2/√5, cosα=1/√5’tir. Toplamın karesi (3/√5)²=9/5 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 17
sin30°+cos60°+tan45° işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
B) 3/2
C) 2
D) 5/2
E) 3
sin30°=1/2, cos60°=1/2 ve tan45°=1 olduğundan toplam 2’dir.
Cevap: C
Dikkat
Karşı ve komşu kenar adları mutlak değildir; seçilen açıya bağlıdır. Aynı üçgende diğer dar açıya geçildiğinde karşı ile komşu yer değiştirir, hipotenüs ise değişmez.
AYT DÜZEYİNDE MODELLEME VE BİRLEŞİK UYGULAMALAR
UZUNLUK, ROTA VE GERÇEK YAŞAM MODELLERİ
Merdiven, gölge, tel, yol ve katlama sorularında ilk amaç uzun bir formül listesi kullanmak değil, gizli dik üçgeni ortaya çıkarmaktır. Düşey–yatay doğrular, dikdörtgen köşeleri ve en kısa uzaklıklar çoğu zaman 90° işaretinin yerine geçer.
Örnek - 18
Uzunluğu 10 m olan bir merdiven düşey duvara dayalıdır. Merdivenin zeminle yaptığı α açısı için cosα=3/5’tir. Görselde x ile gösterilen merdiven ayağının duvara yatay uzaklığı kaç metredir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
α açısına göre x komşu kenar, 10 m hipotenüstür. cosα=x/10=3/5 olduğundan x=6 m bulunur. Görselde α merdiven ile zemin arasındaki açıyı, x ise duvarla merdiven ayağı arasındaki yatay uzaklığı gösterir.
Cevap: C
Örnek - 19
Bir hareketli başlangıç noktasından önce doğuya 9 km, sonra kuzeye 12 km ilerliyor. Başlangıç ile bitiş noktaları arasındaki doğrusal uzaklık kaç kilometredir?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 18
E) 21
Doğu ve kuzey yönleri diktir. Doğrusal uzaklık √(9²+12²)=√225=15 km’dir.
Cevap: C
ÇOK ADIMLI BAĞINTI SEÇİMİ
Birleşik şekillerde tek bağıntı bütün soruyu çözmeyebilir. Önce özel üçgen veya Pisagor ile ara uzunluk bulunur; ardından Öklid ya da trigonometrik oran devreye girer. Ara sonuç, yeni dik üçgenin kenarı olarak okunmalıdır.
Dikliği bul90° işareti, düşey–yatay veya dikdörtgen
→
Ara uzunluğu üretPisagor ya da özel üçgen
→
İkinci bağıntıya geçÖklid veya trigonometrik oran
Örnek - 20
Bir dik üçgende dik kenarların oranı 3:4’tür. Hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğu 12 birim olduğuna göre hipotenüs kaç birimdir?
A) 20
B) 22
C) 24
D) 25
E) 30
Dik kenarlar 3k ve 4k, hipotenüs 5k olsun. Alanı iki yoldan yazarsak (3k·4k)/2=(5k·12)/2 olur. 12k²=60k olduğundan k=5; hipotenüs 5k=25 birimdir.
Cevap: D
Dikkat
Özel üçgen oranı yalnız ilgili açı bilgisi kesin olduğunda kullanılabilir. Şeklin 30°, 45° ya da ikizkenar görünmesi kanıt değildir; açı ölçüsü, eşlik işareti veya bunu zorunlu kılan bir bağıntı bulunmalıdır.
