AYT türev uygulamaları konu anlatımı kapsamında teğet ve normal denklemleri, artan-azalan aralıklar, ekstremum noktaları, grafik çizimi ve maksimum-minimum problemleri işlenecektir.
AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
→
→
→
TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ
Teğetin Eğimi ve Denklemi
y = f(x) eğrisinin x = a apsisli A(a, f(a)) noktasındaki teğetinin eğimi mt = f′(a) olur. Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi kullanıldığında teğet
y − f(a) = f′(a)(x − a)
biçiminde yazılır. “Eğriye x = a’da teğet” ifadesi hem noktanın eğri üzerinde bulunmasını hem de doğru ile eğrinin o noktadaki eğimlerinin eşit olmasını gerektirir.
Mor eğrinin (1, −1) noktasındaki teğeti kırmızı, normali yeşil gösterilmiştir. Teğetin eğimi 2, normalin eğimi −1/2’dir.
B) y = 6x − 6
C) y = 9x − 12
D) y = 9x − 14
E) y = 12x − 18
Normal Doğrusu
Normal, teğete aynı noktada dik olan doğrudur. f′(a) ≠ 0 ise eğimi mn = −1/f′(a) ve denklemi y − f(a) = −[x − a]/f′(a) olur. Teğet yataysa normal düşeydir; teğet düşeyse normal yataydır.
B) 3x + y − 5 = 0
C) x − 3y + 5 = 0
D) 3x − y − 1 = 0
E) x + y − 3 = 0
B) √2
C) 2
D) 2√2
E) 4
ARTAN-AZALANLIK VE TÜREVİN İŞARETİ
Monotonluk Aralıkları
İşaret tablosu hazırlanırken önce f′(x) = 0 yapan ve f′yi tanımsız bırakan değerler bulunur. Bu değerler gerçek sayı doğrusunu aralıklara ayırır; her aralıkta türevin işareti belirlenir.
B) (−1, 3)
C) (3, ∞)
D) (−∞, 3)
E) (−1, ∞)
f′ Grafiğinden f’nin Davranışı
f′ grafiğinin x ekseninin üzerinde kaldığı yerler f’nin arttığı, altında kaldığı yerler azaldığı aralıklardır. f′nin büyümesi f’nin arttığını değil, eğimin arttığını söyler; bu ayrım özellikle grafik sorularında önemlidir.
Grafik y = f′(x)’e aittir. Buna göre f’nin yerel minimum noktası oluşturan apsislerinin toplamı kaçtır?
B) −1
C) 0
D) 3
E) 7
EKSTREMUM NOKTALARI
Yerel Maksimum ve Yerel Minimum
f′ işareti artıdan eksiye dönüyorsa yerel maksimum, eksiden artıya dönüyorsa yerel minimum oluşur. Ekstremum noktasının apsisi kritik değer, ekstremum değeri ise f’nin bu apsisteki değeridir.
B) −8
C) −4
D) 0
E) 8
Kapalı Aralıkta Mutlak Ekstremum
Sürekli bir fonksiyonun [a, b] aralığındaki mutlak en büyük ve en küçük değerleri bulunurken aralık içindeki kritik noktalarla birlikte uç noktalar da hesaba katılır. Adayların f değerleri karşılaştırılır.
B) 6
C) 12
D) 18
E) 24
TÜREVLE GRAFİK ÇİZİMİ
Grafik İnceleme Sırası
→
→
→
f″(x) > 0 olduğunda eğim değerleri artar ve grafik yukarı doğru kavislidir; f″(x) < 0 olduğunda eğim değerleri azalır. Büküm noktasında yalnız f″(a) = 0 olması değil, eğrilik yönünün değişmesi aranır.
B) 0
C) 2
D) 4
E) 6
Fonksiyon ve Türev Grafiklerinin Eşleştirilmesi
f′(x), f″(x) ve f’nin grafiği birlikte değerlendirildiğinde eğim, artma-azalma ve konkavlık ilişkileri aynı x değerlerinde karşılaştırılabilir. Bir aralıkta f′(x)>0 ise f artar; f′(x)<0 ise f azalır. f′(c)=0 olduğu bir noktada türev işaretinin +’dan −’ye değişmesi yerel maksimumu, −’den +’ya değişmesi yerel minimumu gösterir. Yalnız f′(c)=0 olması ekstremum için yeterli değildir.
f″(x)>0 olduğunda f′ artar ve f grafiği yukarı doğru konkavdır; f″(x)<0 olduğunda f′ azalır ve f grafiği aşağı doğru konkavdır. f″ işaretinin değiştiği yerde konkavlık yönü değişir; yalnız f″(c)=0 olması büküm noktası bulunduğunu kanıtlamaz. Bu nedenle f′ grafiğinin x eksenini kestiği değerler f’de yatay teğet adaylarını, f′ işaretinin aralıkları f’nin artma-azalmasını, f′ grafiğinin yerel ekstremumları ve f″ işaret değişimleri ise f’nin konkavlık değişimini açıklar.
Örneğin f(x)=x³−3x bir polinom olduğundan her gerçek x için tanımlıdır ve tanım kümesi ℝ’dir. f(x)=x(x²−3) olduğundan x eksenini −√3, 0 ve √3 noktalarında keser. f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1) olduğundan f′, x<−1 ve x>1 aralıklarında pozitiftir, −1<x<1 aralığında negatiftir. Dolayısıyla f, (−∞,−1) ve (1,∞) aralıklarında artar; (−1,1) aralığında azalır. f(−1)=2 ve f(1)=−2 olduğundan yerel maksimum (−1,2), yerel minimum (1,−2) noktalarındadır. Bu noktaların apsisleri f′ grafiğinin kökleriyle eşleşir.
İkinci türev f″(x)=6x’tir. x<0 için f″(x)<0, x>0 için f″(x)>0 olduğundan grafik x=0’da aşağı konkavlıktan yukarı konkavlığa geçer. f(0)=0 olduğuna göre büküm noktası (0,0)’dır. Aynı apsiste f′ grafiği yerel minimum yapar ve f″ grafiği x eksenini keser. Böylece f, f′ ve f″ grafiklerindeki işaretler ile dönüm noktaları birbirini doğrular.
B) f(4) mutlak minimumdur.
C) x = 1 yerel maksimum, x = 4 yerel minimumdur.
D) f″(1) < 0’dır.
E) f’nin yalnız iki kökü vardır.
MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ
Optimizasyon Modeli Kurma
Optimizasyonda önce değişken ve kısıt seçilir, amaç büyüklüğü tek değişkenli fonksiyona dönüştürülür. Türevin sıfır veya tanımsız olduğu adaylar ile modelin uç değerleri karşılaştırılır; bulunan değer problemdeki uzunluk, alan, hacim ya da maliyet cinsinden yorumlanır.
B) 96
C) 100
D) 120
E) 160
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Uzaklık, Maliyet ve Kâr Uygulamaları
Maliyet ve kâr modellerinde x, üretilen veya satılan ürün miktarını; p(x), x adet üretim veya satış düzeyindeki bir ürünün birim satış fiyatını gösterir. x ürün satıldığında toplam gelir R(x)=x·p(x) olur. C(x) toplam üretim maliyetiyse kâr K(x)=R(x)−C(x) bağıntısıyla bulunur. Kapalı ve sınırlı bir izin aralığında en büyük kâr aranırken iç bölgede K′(x)=0 olduğu adaylar ile aralığın uçları karşılaştırılır.
Eğri üzerindeki P(x,f(x)) noktasının sabit A(a,b) noktasına uzaklığı D(x)=√((x−a)²+(f(x)−b)²) biçimindedir. D(x)≥0 olduğundan D büyüdükçe D² de büyür; dolayısıyla D(x) ve D²(x) aynı x değerlerinde minimum alır. Bu nedenle D²(x)=(x−a)²+(f(x)−b)² fonksiyonunu küçültmek, karekök içeren D(x)’i küçültmekle eşdeğerdir ve türev hesabında karekökü taşımayı gerektirmez. Bulunan adaylar yine izin verilen x aralığı ve varsa uç noktalarla karşılaştırılır.
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
B) 2
C) 5/2
D) 3
E) 4
DEĞİŞİM ORANI VE ROLLE TEOREMİ
Hareket ve Anlık Değişim
Konum fonksiyonu s(t) için hız v(t) = s′(t), ivme a(t) = v′(t) = s″(t) olur. Hızın işareti hareket yönünü; hızın mutlak değeri sürati gösterir. Cisim v(t) = 0 olduğunda durabilir, fakat yön değiştirmesi için hızın işaretinin de değişmesi gerekir.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Rolle Teoremi
f, [a, b]’de sürekli, (a, b)’de türevli ve f(a) = f(b) ise (a, b) içinde en az bir c için f′(c) = 0 bulunur. Teorem c’nin tek olduğunu söylemez; yalnız varlığını güvence altına alır.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Türev uygulamalarında temel düşünce, türevin değerinden çok işaretini ve değişimini yorumlamaktır. Teğet eğimi yerel davranışı, işaret tablosu fonksiyonun yönünü, ekstremum ve optimizasyon ise mümkün değerler arasındaki en uygun sonucu belirler.
Sonraki konu: Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Yöntemleri