AYT TÜREV UYGULAMALARI: ARTAN-AZALANLIK, EKSTREMUM VE GRAFİK

Yazar
erdemhoca
-
0
8
AYT türev uygulamaları artan azalanlık ekstremum ve grafik konu anlatımı kapağı

AYT türev uygulamaları konu anlatımı kapsamında teğet ve normal denklemleri, artan-azalan aralıklar, ekstremum noktaları, grafik çizimi ve maksimum-minimum problemleri işlenecektir.
AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

Türev değeriTeğetin eğimini verir

Türev işaretiArtma ve azalmayı belirler

İşaret değişimiEkstremumu gösterir

ModelEn iyi değere ulaştırır

TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ

Teğetin Eğimi ve Denklemi

y = f(x) eğrisinin x = a apsisli A(a, f(a)) noktasındaki teğetinin eğimi mt = f′(a) olur. Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi kullanıldığında teğet

y − f(a) = f′(a)(x − a)

biçiminde yazılır. “Eğriye x = a’da teğet” ifadesi hem noktanın eğri üzerinde bulunmasını hem de doğru ile eğrinin o noktadaki eğimlerinin eşit olmasını gerektirir.

Bir fonksiyon grafiğinde teğet ve normal doğrularının gösterimi

Mor eğrinin (1, −1) noktasındaki teğeti kırmızı, normali yeşil gösterilmiştir. Teğetin eğimi 2, normalin eğimi −1/2’dir.

Örnek - 1
f(x) = x³ − 3x + 2 eğrisinin x = 2 apsisli noktasındaki teğet denklemi hangisidir?

A) y = 3x − 2
B) y = 6x − 6
C) y = 9x − 12
D) y = 9x − 14
E) y = 12x − 18
f(2) = 4 ve f′(x) = 3x² − 3 olduğundan f′(2) = 9’dur. y − 4 = 9(x − 2), yani y = 9x − 14 bulunur.

Cevap: D

Normal Doğrusu

Normal, teğete aynı noktada dik olan doğrudur. f′(a) ≠ 0 ise eğimi mn = −1/f′(a) ve denklemi y − f(a) = −[x − a]/f′(a) olur. Teğet yataysa normal düşeydir; teğet düşeyse normal yataydır.

Örnek - 2
f(x) = x² + x eğrisine x = 1’de çizilen normalin denklemi hangisidir?

A) x + 3y − 7 = 0
B) 3x + y − 5 = 0
C) x − 3y + 5 = 0
D) 3x − y − 1 = 0
E) x + y − 3 = 0
Nokta (1, 2), teğet eğimi f′(1) = 3 ve normal eğimi −1/3’tür. y − 2 = −(x − 1)/3 düzenlenirse x + 3y − 7 = 0 olur.

Cevap: A

Örnek - 3
y = x² eğrisine üzerindeki A(a, a²) noktasında çizilen teğet, (0, −2) noktasından geçiyor. a’nın pozitif değeri kaçtır?

A) 1
B) √2
C) 2
D) 2√2
E) 4
Teğet y − a² = 2a(x − a), yani y = 2ax − a²’dir. (0, −2) için −2 = −a²; pozitif kök a = √2 olur.

Cevap: B

ARTAN-AZALANLIK VE TÜREVİN İŞARETİ

Monotonluk Aralıkları

f′(x) > 0f artandır
f′(x) < 0f azalandır
f′(x) = 0Kritik nokta adayıdır
f′ tanımsızTanım kümesinde ayrıca incelenir

İşaret tablosu hazırlanırken önce f′(x) = 0 yapan ve f′yi tanımsız bırakan değerler bulunur. Bu değerler gerçek sayı doğrusunu aralıklara ayırır; her aralıkta türevin işareti belirlenir.

Örnek - 4
f(x) = x³ − 3x² − 9x + 1 fonksiyonu hangi aralıkta azalandır?

A) (−∞, −1)
B) (−1, 3)
C) (3, ∞)
D) (−∞, 3)
E) (−1, ∞)
f′(x) = 3(x − 3)(x + 1). Çarpım köklerin arasında negatiftir; fonksiyon (−1, 3) aralığında azalır.

Cevap: B

f′ Grafiğinden f’nin Davranışı

f′ grafiğinin x ekseninin üzerinde kaldığı yerler f’nin arttığı, altında kaldığı yerler azaldığı aralıklardır. f′nin büyümesi f’nin arttığını değil, eğimin arttığını söyler; bu ayrım özellikle grafik sorularında önemlidir.

Örnek - 5

Türev grafiğinden ekstremum noktalarını belirleme sorusu

Grafik y = f′(x)’e aittir. Buna göre f’nin yerel minimum noktası oluşturan apsislerinin toplamı kaçtır?

A) −4
B) −1
C) 0
D) 3
E) 7
Yerel minimum için f′ işareti negatiften pozitife dönmelidir. Bu değişim x = −4 ve x = 3’te gerçekleşir; toplam −1’dir. x = 0’da işaret pozitiften negatife döndüğü için yerel maksimum vardır.

Cevap: B

Dikkat
f′(a) = 0 olması tek başına ekstremum için yeterli değildir. f(x) = x³ fonksiyonunda f′(0) = 0 olduğu hâlde türev işaret değiştirmez ve x = 0 ekstremum değildir.

EKSTREMUM NOKTALARI

Yerel Maksimum ve Yerel Minimum

f′ işareti artıdan eksiye dönüyorsa yerel maksimum, eksiden artıya dönüyorsa yerel minimum oluşur. Ekstremum noktasının apsisi kritik değer, ekstremum değeri ise f’nin bu apsisteki değeridir.

Örnek - 6
f(x) = x⁴ − 4x² fonksiyonunun yerel minimum değerleri toplamı kaçtır?

A) −16
B) −8
C) −4
D) 0
E) 8
f′(x) = 4x(x² − 2). İşaret incelemesinde x = ±√2 yerel minimum, x = 0 yerel maksimumdur. Her iki minimum değeri f(±√2) = −4 olduğundan toplam −8’dir.

Cevap: B

Kapalı Aralıkta Mutlak Ekstremum

Sürekli bir fonksiyonun [a, b] aralığındaki mutlak en büyük ve en küçük değerleri bulunurken aralık içindeki kritik noktalarla birlikte uç noktalar da hesaba katılır. Adayların f değerleri karşılaştırılır.

Örnek - 7
f(x) = x³ − 3x fonksiyonunun [−2, 3] aralığındaki mutlak maksimum değeri kaçtır?

A) 2
B) 6
C) 12
D) 18
E) 24
Kritik noktalar x = ±1’dir. f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2 ve f(3) = 18 karşılaştırılır; maksimum 18’dir.

Cevap: D

TÜREVLE GRAFİK ÇİZİMİ

Grafik İnceleme Sırası

1Tanım kümesi ve eksen kesişimleri

2Asimptot ve sınır davranışı

3f′ işareti ve ekstremum

4f″ ile eğrilik ve büküm

f″(x) > 0 olduğunda eğim değerleri artar ve grafik yukarı doğru kavislidir; f″(x) < 0 olduğunda eğim değerleri azalır. Büküm noktasında yalnız f″(a) = 0 olması değil, eğrilik yönünün değişmesi aranır.

Örnek - 8
f(x) = x³ − 6x² + 9x fonksiyonunun büküm noktasının ordinatı kaçtır?

A) −2
B) 0
C) 2
D) 4
E) 6
f″(x) = 6x − 12 sıfırı x = 2’de keserek işaret değiştirir. f(2) = 8 − 24 + 18 = 2 olur.

Cevap: C

Fonksiyon ve Türev Grafiklerinin Eşleştirilmesi

f’nin yatay teğetleri f′ grafiğinin köklerine; f’nin artan-azalan aralıkları f′nin işaretine karşılık gelir. f’nin büküm noktaları ise çoğu soruda f′ grafiğinin yerel ekstremumları olarak görünür.

Örnek - 9
Bir f fonksiyonu (−∞, 1)’de artan, (1, 4)’te azalan, (4, ∞)’de artandır. Buna göre hangisi kesinlikle doğrudur?

A) f(1) mutlak maksimumdur.
B) f(4) mutlak minimumdur.
C) x = 1 yerel maksimum, x = 4 yerel minimumdur.
D) f″(1) < 0’dır.
E) f’nin yalnız iki kökü vardır.
Artandan azalana geçiş x = 1’de yerel maksimum; azalandan artana geçiş x = 4’te yerel minimum verir. Mutlaklık, ikinci türev ve kök sayısı için bilgi yoktur.

Cevap: C

MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ

Optimizasyon Modeli Kurma

Optimizasyonda önce değişken ve kısıt seçilir, amaç büyüklüğü tek değişkenli fonksiyona dönüştürülür. Türevin sıfır veya tanımsız olduğu adaylar ile modelin uç değerleri karşılaştırılır; bulunan değer problemdeki uzunluk, alan, hacim ya da maliyet cinsinden yorumlanır.

Örnek - 10
Çevresi 40 cm olan bir dikdörtgenin alabileceği en büyük alan kaç cm²dir?

A) 80
B) 96
C) 100
D) 120
E) 160
Kenarlar x ve 20 − x olur. A(x) = x(20 − x), A′(x) = 20 − 2x. x = 10’da maksimum alan 100 cm²dir.

Cevap: C

Örnek - 11
12 cm × 12 cm kare levhanın köşelerinden eş kareler kesilip kenarlar kıvrılarak üstü açık kutu yapılıyor. Hacmi en büyük yapan kesim uzunluğu kaç cm’dir?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
V(x) = x(12 − 2x)², 0 < x < 6. V′(x) = 12(x − 2)(x − 6). İç aralıktaki aday x = 2 maksimum hacmi verir.

Cevap: B

Uzaklık, Maliyet ve Kâr Uygulamaları

Örnek - 12
Birim fiyat p(x) = 80 − x, üretim maliyeti C(x) = 20x + 100 olan bir üründe x adet satış için kârı en büyük yapan x kaçtır?

A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
Gelir R(x) = x(80 − x). Kâr P(x) = −x² + 60x − 100 ve P′(x) = −2x + 60’tır. x = 30 maksimumu verir.

Cevap: C

Örnek - 13
Parabol y = x² üzerindeki bir noktanın (0, 3) noktasına uzaklığını en küçük yapan x² değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 5/2
D) 3
E) 4
Uzaklığın karesi D² = x² + (x² − 3)² alınır. Türevi 2x[1 + 2(x² − 3)] = 2x(2x² − 5). x ≠ 0 için x² = 5/2 en küçük uzaklığı verir.

Cevap: C

DEĞİŞİM ORANI VE ROLLE TEOREMİ

Hareket ve Anlık Değişim

Konum fonksiyonu s(t) için hız v(t) = s′(t), ivme a(t) = v′(t) = s″(t) olur. Hızın işareti hareket yönünü; hızın mutlak değeri sürati gösterir. Cisim v(t) = 0 olduğunda durabilir, fakat yön değiştirmesi için hızın işaretinin de değişmesi gerekir.

Örnek - 14
s(t) = t³ − 6t² + 9t konum fonksiyonuna sahip hareketli, t > 0 için kaç kez yön değiştirir?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
v(t) = 3(t − 1)(t − 3). Hız t = 1 ve t = 3’te işaret değiştirir; hareketli iki kez yön değiştirir.

Cevap: C

Rolle Teoremi

f, [a, b]’de sürekli, (a, b)’de türevli ve f(a) = f(b) ise (a, b) içinde en az bir c için f′(c) = 0 bulunur. Teorem c’nin tek olduğunu söylemez; yalnız varlığını güvence altına alır.

Örnek - 15
f(x) = x² − 6x + 5 fonksiyonu [1, 5] aralığında Rolle teoremini sağlıyor. Teoremin garanti ettiği c değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Polinom sürekli ve türevlidir; f(1) = f(5) = 0. f′(x) = 2x − 6 olduğundan c = 3’tür.

Cevap: C

Türev uygulamalarında temel düşünce, türevin değerinden çok işaretini ve değişimini yorumlamaktır. Teğet eğimi yerel davranışı, işaret tablosu fonksiyonun yönünü, ekstremum ve optimizasyon ise mümkün değerler arasındaki en uygun sonucu belirler.

Önceki konu: Türev: Tanım ve Türev Alma Kuralları
Sonraki konu: Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Yöntemleri

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz!
Lütfen isminizi buraya giriniz