AYT türev konu anlatımı kapsamında ortalama ve anlık değişim oranı, türevin limit tanımı, teğet eğimi, türevin varlık koşulları ve türev alma kuralları işlenecektir.
AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
→
→
DEĞİŞİM ORANINDAN TÜREVE
Ortalama Değişim Oranı
f fonksiyonunun x = a ile x = b arasındaki ortalama değişim oranı, çıktıdaki değişimin girdideki değişime oranıdır:
f(b) − f(a)b − a
Bu oran, grafikte (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarından geçen sekant doğrusunun eğimidir. Bir hareket probleminde konum fonksiyonunun iki zaman arasındaki ortalama değişim oranı, ortalama hızı verir.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Anlık Değişim Oranı ve Limitli Tanım
x = a noktasından h kadar ilerleyince ikinci nokta x = a + h olur. Sekant eğimi [f(a + h) − f(a)]/h biçimindedir. h sıfıra yaklaşırken sekant doğrusu teğet doğrusuna dönüşür. Limit varsa bu değer f’nin a noktasındaki türevidir:
Mor eğri fonksiyonu, kırmızı doğru iki nokta arasındaki sekantı, yeşil doğru ise işaretli noktadaki teğeti gösterir. İkinci nokta işaretli noktaya yaklaştıkça kırmızı doğrunun eğimi yeşil doğrunun eğimine yaklaşır.
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Mor eğri y = x² grafiği, kırmızı doğru ise eğrinin x = 1 apsisli noktasındaki teğetidir. Buna göre f′(1) kaçtır?
B) −1
C) 1
D) 2
E) 3
TÜREVİN VARLIĞI VE TEK TARAFLI TÜREVLER
Soldan ve Sağdan Türev
Bir fonksiyonun x = a noktasındaki türevinin var olması için soldan ve sağdan türevlerin sonlu ve birbirine eşit olması gerekir. Soldan türevde h → 0−, sağdan türevde h → 0+ alınır.
Grafikte iki doğru aynı noktada birleşmesine rağmen sol parçanın eğimi 1, sağ parçanın eğimi 3’tür. Fonksiyon o noktada sürekli olsa da tek taraflı türevler eşit olmadığı için türev yoktur.
Grafikte x = 1’in solunda doğrunun eğimi 2, sağında ise −1’dir. Buna göre x = 1 için hangisi doğrudur?
B) f′(1) = −1
C) f′(1) = 0
D) f′(1) = 1
E) f′(1) yoktur.
Türevlenebilirlik ve Süreklilik
Bir fonksiyon x = a’da türevlenebiliyorsa o noktada mutlaka süreklidir. Çünkü f′(a) sonluysa f(a+h) − f(a) farkı h ile birlikte sıfıra yaklaşır. Ancak süreklilik tek başına türev için yeterli değildir.
B) 2
C) 3
D) 5
E) Belirlenemez
Köşe, Sivri Uç, Düşey Teğet ve Kopukluk
Köşe noktasında sağ ve sol eğimler farklı sonlu sayılardır. Sivri uçta tek taraflı eğimler zıt işaretli sonsuz değerlere, düşey teğette ise aynı işaretli sonsuz değerlere gidebilir. Sonsuz eğim, reel sayılı bir türev değildir. Fonksiyon noktada sürekli değilse zaten türevli olamaz.
|x| grafiğinin köşe noktasında soldan eğim −1, sağdan eğim 1’dir. Grafik kopmadan ilerlese de yön bir anda değiştiği için bu noktada türev yoktur.
B) 0
C) 2
D) 3
E) 6
TEMEL TÜREV ALMA KURALLARI
Sabit, Doğrusal ve Kuvvet Kuralı
Kuvvet kuralı yalnız pozitif tam sayılarla sınırlı değildir. Fonksiyonun tanımlı olduğu uygun aralıklarda r gerçek sayı olmak üzere (xr)′ = r*xr−1 biçiminde kullanılır.
Parçalı ve Mutlak Değerli Fonksiyonlar
Parçalı bir fonksiyonun geçiş noktasında önce süreklilik, sonra tek taraflı türev eşitliği aranır. Süreklilik koşulu sabitleri; türev koşulu ise parçaların eğimlerini ilişkilendirir. Mutlak değerli fonksiyonlarda mutlak değerin içini sıfır yapan noktalar ayrı incelenir.
B) 5
C) 7
D) 9
E) 11
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
B) −1
C) 0
D) 1
E) Türev yoktur
Polinomlarda Türev
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
Köklü ve Negatif Kuvvetli İfadeler
Köklü ifadeler kesirli üs, paydadaki kuvvetler negatif üs biçiminde yazılınca aynı kural uygulanır. Örneğin √x = x1/2 ve 1/x² = x−2 olur.
B) −5
C) −3
D) 3
E) 7
B) 3x−1/2/2
C) 2x1/3/3
D) x−2/3
E) 2x/3
Üstel, Logaritmik ve Trigonometrik Fonksiyonlar
Özel fonksiyonların temel türevleri zincir kuralıyla birlikte kullanılır. Doğal logaritmada x > 0, a tabanlı logaritma ve üstel fonksiyonda a > 0 ve a ≠ 1 koşulları korunur.
Trigonometrik türev formüllerinde x radyan cinsinden ölçülür.
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
FONKSİYONLARDA İŞLEM TÜREVLERİ
Toplam ve Fark Kuralı
Türev, toplam ve fark üzerine dağılır: (f ± g)′ = f′ ± g′. Sabit katsayı da türevin dışına alınabilir. Ancak çarpım ve bölümde yalnız ayrı ayrı türev almak yeterli değildir.
B) 0
C) 6
D) 12
E) 18
Çarpım Kuralı
İki fonksiyonun çarpımının türevi (f*g)′ = f′*g + f*g′ biçimindedir. Birinci türevlenirken ikinci aynen bırakılır; sonra roller değiştirilip sonuçlar toplanır.
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
B) −2
C) 0
D) 2
E) 4
Bölüm Kuralı
g(x) ≠ 0 olmak üzere (f/g)′ = (f′*g − f*g′)/g². Paydaki sıra önemlidir; ikinci çarpım birinciden çıkarılır. Türevin yazıldığı noktada paydanın sıfır olmaması gerekir.
B) −1
C) 1
D) 3
E) 5
B) −2/3
C) 2/3
D) 3/2
E) 3
BİLEŞKE FONKSİYON VE ZİNCİR KURALI
Zincir Kuralı
y = f(g(x)) bileşkesinde önce dış fonksiyonun türevi alınır, iç ifade aynen korunur ve iç fonksiyonun türeviyle çarpılır:
[f(g(x))]′ = f′(g(x))*g′(x)
→
*
B) −5
C) 0
D) 5
E) 10
B) 3/2
C) 2
D) 3
E) 4
Ters Fonksiyonun Türevi
f bire bir, türevlenebilir ve f′(a) ≠ 0 ise ters fonksiyonun f(a) noktasındaki türevi (f−1)′(f(a)) = 1/f′(a) bağıntısıyla bulunur. Ters fonksiyonun açık denklemini yazmak zorunlu değildir.
(f⁻¹)′(5) kaçtır?
B) −1/3
C) 0
D) 1/3
E) 3
Kapalı ve Parametrik Gösterimlerde Türev
x ve y aynı denklemde bulunuyorsa her iki taraf x’e göre türevlenir; y içeren terimlerde zincir kuralı gereği y′ çarpanı oluşur. Parametrik gösterimde x = x(t), y = y(t) ise dx/dt ≠ 0 koşuluyla dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) olur.
B) −3/5
C) −2/5
D) 2/5
E) 3/5
B) 1/2
C) 1
D) 3/2
E) 2
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREV VE L’HOSPITAL
İkinci ve Daha Yüksek Türevler
f′ fonksiyonunun türevi f″, onun türevi f‴ biçiminde gösterilir. Konum fonksiyonunda birinci türev hız, ikinci türev ivmedir. Polinomlarda her türev alma derecenin bir azalmasını sağlar.
B) 18
C) 24
D) 30
E) 36
L’Hospital ile Belirsizlik Giderme
Bir limitte doğrudan yerine koyma 0/0 veya ∞/∞ belirsizliği veriyorsa, sonlu a noktasının delinmiş bir komşuluğunda f ve g türevlenebilir olmalı; bu komşulukta g(x) ≠ 0 ve g′(x) ≠ 0 olmalıdır. Ayrıca limx→a f′(x)/g′(x) limiti (sonlu veya ±∞) varsa, limx→a f(x)/g(x) aynı değere eşittir. x → +∞ veya x → −∞ durumunda türevlenebilirlik ve g′(x) ≠ 0 koşulları yeterince büyük |x| değerleri için aranır.
lim f(x)g(x) = lim f′(x)g′(x)
Yeni oran da aynı belirsizliği verirse kural yeniden uygulanabilir. Sonuç ancak elde edilen yeni limit varsa geçerlidir.
B) 1
C) 2
D) 3
E) e³
B) 1
C) 2
D) 3
E) ∞
Türev tanımı, tek taraflı türevler ve işlem kuralları birlikte değerlendirildiğinde bir fonksiyonun türevinin nerede var olduğu ve nasıl hesaplandığı belirlenir. Bu altyapı, sonraki konuda artan-azalanlık, ekstremum ve grafik yorumlarına doğrudan taşınır.
Sonraki konu: Türev Uygulamaları: Artan-Azalanlık, Ekstremum ve Grafik