AYT limit ve süreklilik konu anlatımı kapsamında soldan ve sağdan limit, limit kuralları, belirsizlikler, sonsuzda limit, süreklilik ve parçalı fonksiyon uygulamaları işlenecektir.
AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
→
→
YAKLAŞIM VE LİMİT KAVRAMI
Soldan ve Sağdan Yaklaşım
x değişkeni a’dan küçük değerlerle a’ya yaklaşıyorsa soldan yaklaşım, a’dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa sağdan yaklaşım söz konusudur. Gösterimler sırasıyla x → a− ve x → a+ biçimindedir. Yaklaşım sırasında x’in a’ya eşit olması gerekmez; önemli olan a’nın çevresindeki fonksiyon değerleridir.
Grafikte x, 2’ye iki taraftan yaklaşırken f(x) değerleri 3’e yaklaşır. (2, 3) noktasının açık gösterilmesi, fonksiyonun o noktada tanımlı olup olmadığından bağımsız olarak yaklaşımın incelendiğini vurgular.
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Grafikten Limit Okuma
Bir noktadaki limit okunurken önce grafiğin sol kolunun, sonra sağ kolunun yaklaştığı yükseklik belirlenir. Dolu nokta yalnız f(a) değerini gösterir. Açık noktalar ise o parçanın yaklaşım değerini gösterebilir.
Grafiğe göre limx→1− f(x) + limx→1+ f(x) + f(1) toplamı kaçtır?
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
BİR NOKTADA LİMİTİN VARLIĞI
Sağ ve Sol Limitlerin Eşitliği
Tanım aralığının içindeki a noktasında sonlu iki yönlü limitin bulunması için sağ ve sol limitler var olmalı ve aynı değere yaklaşmalıdır. Tanım aralığının uç noktasında ise fonksiyonun tanımlı olduğu taraftan alınan tek yönlü limit değerlendirilir.
=
→
Bu grafikte x, 0’a soldan yaklaşırken değerler 3’e; sağdan yaklaşırken 1’e gider. İki değer farklı olduğundan x = 0’da iki yönlü limit yoktur.
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Limitin İşlem Özellikleri
limx→a f(x) = L ve limx→a g(x) = M ise toplamın, farkın ve çarpımın limiti ilgili limitlerle aynı işlemi yaparak bulunur. Bölümde M ≠ 0 koşulu gerekir. Pozitif kök ve logaritma gibi işlemlerde ayrıca ifadenin tanım koşulları korunmalıdır.
Sıkıştırma teoreminde h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) eşitsizliği a çevresinde sağlanıyor ve dıştaki iki fonksiyonun limiti aynı L değerine gidiyorsa f(x) de L’ye yaklaşır. Örneğin −x² ≤ x² sin(1/x) ≤ x² olduğundan ortadaki ifadenin x → 0 limiti 0’dır. Bileşkede ise iç fonksiyonun yaklaştığı değer dış fonksiyon için kritik noktaysa, iç fonksiyonun bu değere hangi taraftan yaklaştığı ayrıca belirlenir.
B) −25
C) 0
D) 25
E) 35
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
CEBİRSEL LİMİT HESAPLAMA
Doğrudan Yerine Yazma
Polinomların her gerçek sayıda limiti, o noktadaki değeridir. Rasyonel fonksiyonlarda paydanın limit değeri sıfır değilse doğrudan yerine yazma uygulanır. İlk adım her zaman hedef değeri ifadede denemektir.
B) 25
C) 35
D) 45
E) 1
0/0 Belirsizliği ve Çarpanlara Ayırma
Yerine yazma sonucunda pay ve payda birlikte sıfır olursa sonuç sıfır değildir; 0/0 belirsizliği oluşur. Ortak çarpan sadeleştirilir ve limit, hedef noktanın dışındaki eş değer ifadeden hesaplanır.
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
B) 52
C) 3
D) 72
E) 4
B) −14
C) 0
D) 14
E) 12
Köklü İfadelerde Eşlenikle Çarpma
Köklü ifadeden doğan 0/0 belirsizliğinde payın veya paydanın eşleniğiyle genişletme yapılır. Çarpım, iki kare farkına dönüştüğü için belirsizliği oluşturan ortak çarpan görünür hâle gelir.
B) 14
C) 15
D) 16
E) 19
Trigonometrik Limitler
Açı ölçüsü radyan olmak üzere temel bağıntılar limx→0 sin x / x = 1 ve limx→0 (1 − cos x) / x² = 1/2 biçimindedir. İçerideki katsayı dışarı alınırken oran korunur.
B) 1
C) 32
D) 2
E) 52
B) 3
C) 92
D) 6
E) 9
Mutlak Değerli ve Parçalı İfadeler
Mutlak değer içinin sıfır olduğu noktalar kritik noktadır. Bu noktalarda ifade sağ ve sol tarafta farklı kurallara dönüşebileceği için tek bir sadeleştirme yapılmaz; iki yön ayrı incelenir.
B) Limit 0’dır.
C) Limit 1’dir.
D) Limit 2’dir.
E) İki yönlü limit yoktur.
B) −4
C) 0
D) 4
E) 8
SONSUZDA LİMİT VE SONSUZ LİMİTLER
x Sonsuza Giderken Baskın Terim
Rasyonel fonksiyonlarda x → ±∞ iken en yüksek dereceli terimler davranışı belirler. Payın derecesi paydadan küçükse limit 0; dereceler eşitse baş katsayıların oranı; payın derecesi daha büyükse işaret analiziyle sonsuz davranışı incelenir.
Kırmızı y = 2 doğrusu yatay asimptottur. Eğri bu doğruyu kesebilir; yatay asimptot, yalnız x’in çok büyük mutlak değerlerindeki yaklaşımı anlatır.
B) 1
C) 2
D) 3
E) ∞
Düşey Asimptot ve Tek Yönlü Sonsuzluk
Payda sıfıra yaklaşırken pay sıfırdan farklı kalıyorsa fonksiyonun mutlak değeri büyüyebilir. Ancak +∞ ve −∞ sonuçları işaret taşır; sağ ve sol taraftaki işaretler ayrı belirlenmeden iki yönlü sonuç yazılmaz.
B) limx→2 f(x) = 1
C) limx→2 f(x) = +∞
D) limx→2 f(x) = −∞
E) Sağ ve sol sonsuz limitler farklı işaretli olduğu için iki yönlü limit yoktur.
GEOMETRİK LİMİT UYGULAMASI
Yay, Kiriş ve Dik Uzaklık İlişkisi
Geometrik limit sorularında değişken uzunluklar hedef açıya bağlanır. Küçük açılarda yay uzunluğu r*x, dik bileşen r*sin x biçimindedir. Şekildeki bütün uzunluklar aynı açı üzerinden yazıldıktan sonra temel trigonometrik limite geçilir.
Şekilde |OP| = |OA| = 4, PH ⟂ OA ve m(∠AOP) = x radyandır. P noktası A’ya yaklaşırken PH uzunluğunun küçük AP yayının uzunluğuna oranının limiti kaçtır?
B) 14
C) 12
D) 1
E) 4
SÜREKLİLİK
Bir Noktada Süreklilik Koşulları
Bir fonksiyonun x = a noktasında sürekli olması için f(a) tanımlı olmalı, a noktasındaki limit var olmalı ve bu limit f(a)’ya eşit olmalıdır. a tanım aralığının içindeyse iki yönlü limit; uçtaysa tanım aralığının içinden alınan tek yönlü limit kullanılır. Koşullardan biri sağlanmazsa fonksiyon o noktada süreksizdir.
+
+
Grafikte x = 1 için limit 4’tür, fakat f(1) = 1’dir. Fonksiyon değeri 4 olarak yeniden tanımlanırsa kopukluk giderilebilir; bu nedenle yapı giderilebilir süreksizlik örneğidir.
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
Süreksizlik Türleri ve Süreklilik Aralıkları
Bir iç noktada sonlu sağ ve sol limitler farklıysa sıçrama süreksizliği vardır. a noktasındaki sonlu limit bulunduğu hâlde f(a) tanımsızsa veya f(a) limit değerinden farklıysa giderilebilir süreksizlik vardır. Noktaya yaklaşırken fonksiyonun mutlak değeri sınırsız büyüyorsa sonsuz süreksizlik oluşur. Süreklilik aralıkları bu kritik noktalarla bölünür.
Grafikte açık ve kapalı noktalar dikkate alındığında f fonksiyonu kaç farklı noktada süreksizdir?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Sürekli Fonksiyonlarda İşlemler ve Bileşke
f ve g, x = a’da sürekliyse f + g, f − g ve f * g de o noktada süreklidir. f/g için ayrıca g(a) ≠ 0 gerekir. g, a’da; f de g(a)’da sürekliyse f∘g bileşkesi a’da süreklidir.
Grafikteki g fonksiyonu ve f(t) = t² − 3t fonksiyonu veriliyor. limx→0 f(g(x)) kaçtır?
B) 0
C) 1
D) 4
E) 6
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
En Geniş Süreklilik Aralığı
Polinomlar bütün gerçek sayılarda; rasyonel fonksiyonlar paydanın sıfır olmadığı yerlerde; çift dereceli köklü fonksiyonlar kök içinin negatif olmadığı bölgede; logaritmik fonksiyonlar logaritma içinin pozitif olduğu bölgede süreklidir.
B) (−∞, 3)
C) (−1, 2)
D) (2, 3)
E) (3, ∞)
LİMİT VE SÜREKLİLİKTE KARMA YORUM
Koşulların Birlikte Değerlendirilmesi
Karma sorularda tanım kümesi, tek yönlü limitler, iki yönlü limit ve fonksiyon değeri ayrı satırlarda değerlendirilir. Bir eşitliğin yalnız limit için mi, yoksa süreklilik için mi istendiği belirlenmeden parametre eşitliği kurulmaz.
B) f − g
C) f * g
D) f² + g²
E) f/g
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Sonraki konu: Türev: Tanım ve Türev Alma Kuralları