AYT LİMİT VE SÜREKLİLİK

Yazar
erdemhoca
-
0
14
AYT Limit ve Süreklilik konu anlatımı kapağı

AYT limit ve süreklilik konu anlatımı kapsamında soldan ve sağdan limit, limit kuralları, belirsizlikler, sonsuzda limit, süreklilik ve parçalı fonksiyon uygulamaları işlenecektir.
AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

Yaklaşımx, a değerinin çevresinde ilerler.

Limitf(x), tek bir L değerine yaklaşır.

SüreklilikBu yaklaşım değeri f(a) ile eşleşir.

YAKLAŞIM VE LİMİT KAVRAMI

Soldan ve Sağdan Yaklaşım

x değişkeni a’dan küçük değerlerle a’ya yaklaşıyorsa soldan yaklaşım, a’dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa sağdan yaklaşım söz konusudur. Gösterimler sırasıyla x → a− ve x → a+ biçimindedir. Yaklaşım sırasında x’in a’ya eşit olması gerekmez; önemli olan a’nın çevresindeki fonksiyon değerleridir.

x iki değerine soldan ve sağdan yaklaşırken fonksiyonun üç değerine yaklaşmasını gösteren grafik

Grafikte x, 2’ye iki taraftan yaklaşırken f(x) değerleri 3’e yaklaşır. (2, 3) noktasının açık gösterilmesi, fonksiyonun o noktada tanımlı olup olmadığından bağımsız olarak yaklaşımın incelendiğini vurgular.

Örnek - 1
f(x) = x² − 4x − 2 (x ≠ 2) ve f(2) = 7 olduğuna göre limx→2 f(x) + f(2) kaçtır?

A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
x ≠ 2 iken ifade x + 2’ye sadeleşir. Bu nedenle limit 4, verilen fonksiyon değeri 7’dir; toplam 11 olur.

Cevap: D

Grafikten Limit Okuma

Bir noktadaki limit okunurken önce grafiğin sol kolunun, sonra sağ kolunun yaklaştığı yükseklik belirlenir. Dolu nokta yalnız f(a) değerini gösterir. Açık noktalar ise o parçanın yaklaşım değerini gösterebilir.

Örnek - 2

x bir noktasında farklı sağ ve sol limitler ile fonksiyon değerini gösteren grafik

Grafiğe göre limx→1− f(x) + limx→1+ f(x) + f(1) toplamı kaçtır?

A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Sol kol (1, 5), sağ kol (1, 3) açık noktasına yaklaşır; dolu nokta f(1) = 1’i verir. Toplam 5 + 3 + 1 = 9’dur.

Cevap: C

BİR NOKTADA LİMİTİN VARLIĞI

Sağ ve Sol Limitlerin Eşitliği

Bir fonksiyonun x = a noktasında sonlu limitinin bulunması için sağ ve sol limitlerin ikisinin de var olması ve aynı değere yaklaşması gerekir:

Sol limitlimx→a− f(x) = L

Sağ limitlimx→a+ f(x) = L

İki yönlü limitlimx→a f(x) = L

sağ ve sol limitlerin farklı olduğu sıçrama süreksizliği grafiği

Bu grafikte x, 0’a soldan yaklaşırken değerler 3’e; sağdan yaklaşırken 1’e gider. İki değer farklı olduğundan x = 0’da iki yönlü limit yoktur.

Dikkat
Bir noktada limitin bulunması için fonksiyonun o noktada tanımlı olması gerekmez. Buna karşılık sağ ve sol limitlerin eşitliği zorunludur.
Örnek - 3
f(x) = ax + 1, x < 2 ve f(x) = x² − a, x ≥ 2 biçiminde tanımlanıyor. limx→2 f(x) var olduğuna göre a kaçtır?

A) −1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Sol limit 2a + 1, sağ limit 4 − a’dır. 2a + 1 = 4 − a eşitliğinden 3a = 3 ve a = 1 bulunur.

Cevap: C

Limitin İşlem Özellikleri

limx→a f(x) = L ve limx→a g(x) = M ise toplamın, farkın ve çarpımın limiti ilgili limitlerle aynı işlemi yaparak bulunur. Bölümde M ≠ 0 koşulu gerekir. Pozitif kök ve logaritma gibi işlemlerde ayrıca ifadenin tanım koşulları korunmalıdır.

Toplamlim(f + g) = L + M
Çarpımlim(f * g) = L * M
Bölümlim(f/g) = L/MM ≠ 0
Kuvvetlim(fn) = Ln

Sıkıştırma teoreminde h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) eşitsizliği a çevresinde sağlanıyor ve dıştaki iki fonksiyonun limiti aynı L değerine gidiyorsa f(x) de L’ye yaklaşır. Örneğin −x² ≤ x² sin(1/x) ≤ x² olduğundan ortadaki ifadenin x → 0 limiti 0’dır. Bileşkede ise iç fonksiyonun yaklaştığı değer dış fonksiyon için kritik noktaysa, iç fonksiyonun bu değere hangi taraftan yaklaştığı ayrıca belirlenir.

Örnek - 4
limx→a f(x) = 2 ve limx→a g(x) = −3 olduğuna göre limx→a f(x)² + 2g(x)f(x) − g(x) kaçtır?

A) −35
B) −25
C) 0
D) 25
E) 35
Payın limiti 2² + 2*(−3) = −2, paydanın limiti 2 − (−3) = 5’tir. Sonuç −2/5 olur.

Cevap: B

Örnek - 5
limx→2 f(x) = 1 ve limt→1 g(t) = 4’tür. g fonksiyonu t = 1’de sürekli olduğuna göre limx→2 [g(f(x)) + 2f(x)] kaçtır?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
f(x) değerleri 1’e yaklaşırken g(f(x)) değerleri süreklilik nedeniyle g(1) = 4’e yaklaşır. 4 + 2*1 = 6 bulunur.

Cevap: C

CEBİRSEL LİMİT HESAPLAMA

Doğrudan Yerine Yazma

Polinomların her gerçek sayıda limiti, o noktadaki değeridir. Rasyonel fonksiyonlarda paydanın limit değeri sıfır değilse doğrudan yerine yazma uygulanır. İlk adım her zaman hedef değeri ifadede denemektir.

Örnek - 6
limx→2 2x² − 3x + 1x² + 1 kaçtır?

A) 15
B) 25
C) 35
D) 45
E) 1
Payda 2’de sıfır değildir. Doğrudan yazıldığında pay 3, payda 5 olur; limit 3/5’tir.

Cevap: C

0/0 Belirsizliği ve Çarpanlara Ayırma

Yerine yazma sonucunda pay ve payda birlikte sıfır olursa sonuç sıfır değildir; 0/0 belirsizliği oluşur. Ortak çarpan sadeleştirilir ve limit, hedef noktanın dışındaki eş değer ifadeden hesaplanır.

Örnek - 7
limx→3 x² − 9x − 3 kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
x² − 9 = (x − 3)(x + 3) olduğundan x ≠ 3 için ifade x + 3’tür. Limit 6’dır.

Cevap: D

Örnek - 8
limx→2 x³ − 8x² − 4 kaçtır?

A) 2
B) 52
C) 3
D) 72
E) 4
x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4), x² − 4 = (x − 2)(x + 2) biçiminde ayrılır. Sadeleşen ifadede x = 2 yazılınca 12/4 = 3 bulunur.

Cevap: C

Örnek - 9
limx→2 x² − 5x + 6x² − 4 kaçtır?

A) −12
B) −14
C) 0
D) 14
E) 12
Pay (x − 2)(x − 3), payda (x − 2)(x + 2) biçimindedir. Ortak çarpan sadeleşince (2 − 3)/(2 + 2) = −1/4 elde edilir.

Cevap: B

Köklü İfadelerde Eşlenikle Çarpma

Köklü ifadeden doğan 0/0 belirsizliğinde payın veya paydanın eşleniğiyle genişletme yapılır. Çarpım, iki kare farkına dönüştüğü için belirsizliği oluşturan ortak çarpan görünür hâle gelir.

Örnek - 10
limx→4 √(x + 5) − 3x − 4 kaçtır?

A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 19
Payın eşleniğiyle genişletildiğinde ifade 1/(√(x + 5) + 3) olur. x = 4 için sonuç 1/6’dır.

Cevap: D

Trigonometrik Limitler

Açı ölçüsü radyan olmak üzere temel bağıntılar limx→0 sin x / x = 1 ve limx→0 (1 − cos x) / x² = 1/2 biçimindedir. İçerideki katsayı dışarı alınırken oran korunur.

Dikkat
Trigonometrik limit bağıntıları dereceyle değil radyanla kullanılır. Ayrıca mutlak değerli trigonometrik ifadelerde sağ ve sol işaretler ayrı incelenir.
Örnek - 11
limx→0 sin 5xsin 2x kaçtır?

A) 25
B) 1
C) 32
D) 2
E) 52
İfade (sin 5x / 5x) * (2x / sin 2x) * 5/2 biçiminde düzenlenir. İlk iki çarpan 1’e yaklaştığından limit 5/2’dir.

Cevap: E

Örnek - 12
limx→0 1 − cos 3xx² kaçtır?

A) 32
B) 3
C) 92
D) 6
E) 9
u = 3x alınırsa x² = u²/9 olur. (1 − cos u)/u² limiti 1/2 olduğundan sonuç 9/2’dir.

Cevap: C

Mutlak Değerli ve Parçalı İfadeler

Mutlak değer içinin sıfır olduğu noktalar kritik noktadır. Bu noktalarda ifade sağ ve sol tarafta farklı kurallara dönüşebileceği için tek bir sadeleştirme yapılmaz; iki yön ayrı incelenir.

Örnek - 13
limx→2 |x − 2|x − 2 için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Limit −1’dir.
B) Limit 0’dır.
C) Limit 1’dir.
D) Limit 2’dir.
E) İki yönlü limit yoktur.
x < 2 iken oran −1, x > 2 iken 1’dir. Sağ ve sol limitler farklı olduğu için iki yönlü limit yoktur.

Cevap: E

Örnek - 14
limx→2 x² − 4|x − 2| için sağ ve sol limitlerin toplamı kaçtır?

A) −8
B) −4
C) 0
D) 4
E) 8
İfade (x + 2)(x − 2)/|x − 2| biçimindedir. Soldan limit −4, sağdan limit 4 olur; toplam 0’dır.

Cevap: C

SONSUZDA LİMİT VE SONSUZ LİMİTLER

x Sonsuza Giderken Baskın Terim

Rasyonel fonksiyonlarda x → ±∞ iken en yüksek dereceli terimler davranışı belirler. Payın derecesi paydadan küçükse limit 0; dereceler eşitse baş katsayıların oranı; payın derecesi daha büyükse işaret analiziyle sonsuz davranışı incelenir.

x büyüdükçe fonksiyon değerlerinin iki yatay asimptotuna yaklaşmasını gösteren grafik

Kırmızı y = 2 doğrusu yatay asimptottur. Eğri bu doğruyu kesebilir; yatay asimptot, yalnız x’in çok büyük mutlak değerlerindeki yaklaşımı anlatır.

Örnek - 15
limx→∞ 3x² − x + 1x² + 4 kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) ∞
Pay ve paydanın dereceleri eşittir. Baş katsayıların oranı 3/1 = 3 olduğundan limit 3’tür.

Cevap: D

Düşey Asimptot ve Tek Yönlü Sonsuzluk

Payda sıfıra yaklaşırken pay sıfırdan farklı kalıyorsa fonksiyonun mutlak değeri büyüyebilir. Ancak +∞ ve −∞ sonuçları işaret taşır; sağ ve sol taraftaki işaretler ayrı belirlenmeden iki yönlü sonuç yazılmaz.

Örnek - 16
f(x) = 1/(x − 2) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) limx→2 f(x) = 0
B) limx→2 f(x) = 1
C) limx→2 f(x) = +∞
D) limx→2 f(x) = −∞
E) Sağ ve sol sonsuz limitler farklı işaretli olduğu için iki yönlü limit yoktur.
x → 2+ iken payda pozitif ve sıfıra yakın olduğundan +∞; x → 2− iken negatif ve sıfıra yakın olduğundan −∞ elde edilir. İki yönlü limit yoktur.

Cevap: E

GEOMETRİK LİMİT UYGULAMASI

Yay, Kiriş ve Dik Uzaklık İlişkisi

Geometrik limit sorularında değişken uzunluklar hedef açıya bağlanır. Küçük açılarda yay uzunluğu r*x, dik bileşen r*sin x biçimindedir. Şekildeki bütün uzunluklar aynı açı üzerinden yazıldıktan sonra temel trigonometrik limite geçilir.

Örnek - 17

yarıçapı dört olan çemberde merkez açı x ve P noktasından yarıçapa indirilen dikme

Şekilde |OP| = |OA| = 4, PH ⟂ OA ve m(∠AOP) = x radyandır. P noktası A’ya yaklaşırken PH uzunluğunun küçük AP yayının uzunluğuna oranının limiti kaçtır?

A) 0
B) 14
C) 12
D) 1
E) 4
PH = 4 sin x, küçük AP yayının uzunluğu 4x’tir. Oran sin x / x olur ve x → 0 iken limit 1’dir.

Cevap: D

SÜREKLİLİK

Bir Noktada Süreklilik Koşulları

f fonksiyonunun x = a noktasında sürekli olması için üç koşul birlikte sağlanır: f(a) tanımlıdır, limx→a f(x) vardır ve bu iki değer eşittir. Koşullardan biri bozulduğunda fonksiyon o noktada süreksizdir.

Tanımlılıkf(a) vardır.

Limitlimx→a f(x) vardır.

Eşitliklimx→a f(x) = f(a)

limitin dört fakat fonksiyon değerinin bir olduğu giderilebilir süreksizlik grafiği

Grafikte x = 1 için limit 4’tür, fakat f(1) = 1’dir. Fonksiyon değeri 4 olarak yeniden tanımlanırsa kopukluk giderilebilir; bu nedenle yapı giderilebilir süreksizlik örneğidir.

Örnek - 18
f(x) = x² − 9x − 3 (x ≠ 3) ve f(3) = k olarak tanımlanıyor. f fonksiyonunun x = 3’te sürekli olması için k kaç olmalıdır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
x ≠ 3 için ifade x + 3’tür ve limit 6’dır. Süreklilik için f(3) = k = 6 olmalıdır.

Cevap: D

Süreksizlik Türleri ve Süreklilik Aralıkları

Sağ ve sol limitlerin farklı olduğu kopukluk sıçrama süreksizliği, fonksiyon değerinin limitten farklı olduğu kopukluk giderilebilir süreksizlik, değerlerin sınırsız büyüdüğü kopukluk ise sonsuz süreksizlik niteliğindedir. Süreklilik aralıkları bu kritik noktalarla bölünür.

Örnek - 19

eksi bir ve üç noktalarında kopukluk bulunan parçalı fonksiyon grafiği

Grafikte açık ve kapalı noktalar dikkate alındığında f fonksiyonu kaç farklı noktada süreksizdir?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
x = −1’de sol ve sağ yaklaşım değerleri 1 ve 4; x = 3’te ise 4 ve 0’dır. Her iki noktada sıçrama vardır. Başka kopukluk görülmediğinden sayı 2’dir.

Cevap: B

Sürekli Fonksiyonlarda İşlemler ve Bileşke

f ve g, x = a’da sürekliyse f + g, f − g ve f * g de o noktada süreklidir. f/g için ayrıca g(a) ≠ 0 gerekir. g, a’da; f de g(a)’da sürekliyse f∘g bileşkesi a’da süreklidir.

Örnek - 20

x sıfıra yaklaşırken limiti dört, sıfırdaki değeri bir olan g fonksiyonu grafiği

Grafikteki g fonksiyonu ve f(t) = t² − 3t fonksiyonu veriliyor. limx→0 f(g(x)) kaçtır?

A) −2
B) 0
C) 1
D) 4
E) 6
Grafikten limx→0 g(x) = 4 okunur. f bir polinom olduğu için 4’te süreklidir; dolayısıyla limit f(4) = 16 − 12 = 4’tür. g(0) = 1 değeri bu yaklaşım hesabını değiştirmez.

Cevap: D

Örnek - 21
f(x) = x² + ax, x ≤ 1 ve f(x) = 3x − a, x > 1 olarak tanımlanıyor. f bütün gerçek sayılarda sürekli olduğuna göre a kaçtır?

A) −1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Parçaların kendi içlerinde süreklilik sorunu yoktur. x = 1’de 1 + a = 3 − a eşitliği gerekir. Buradan 2a = 2 ve a = 1 bulunur.

Cevap: C

En Geniş Süreklilik Aralığı

Polinomlar bütün gerçek sayılarda; rasyonel fonksiyonlar paydanın sıfır olmadığı yerlerde; çift dereceli köklü fonksiyonlar kök içinin negatif olmadığı bölgede; logaritmik fonksiyonlar logaritma içinin pozitif olduğu bölgede süreklidir.

Örnek - 22
f(x) = x + 1x² − 5x + 6 fonksiyonunun 0’ı içeren en geniş süreklilik aralığı hangisidir?

A) (−∞, 2)
B) (−∞, 3)
C) (−1, 2)
D) (2, 3)
E) (3, ∞)
Payda (x − 2)(x − 3) olduğundan x = 2 ve x = 3 tanım dışıdır. Bu noktaların ayırdığı aralıklardan 0’ı içeren aralık (−∞, 2)’dir.

Cevap: A

LİMİT VE SÜREKLİLİKTE KARMA YORUM

Koşulların Birlikte Değerlendirilmesi

Karma sorularda tanım kümesi, tek yönlü limitler, iki yönlü limit ve fonksiyon değeri ayrı satırlarda değerlendirilir. Bir eşitliğin yalnız limit için mi, yoksa süreklilik için mi istendiği belirlenmeden parametre eşitliği kurulmaz.

Örnek - 23
f ve g fonksiyonları x = a’da süreklidir. g(a) = 0 olduğuna göre aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin x = a’da sürekli olduğu kesin değildir?

A) f + g
B) f − g
C) f * g
D) f² + g²
E) f/g
Toplam, fark, çarpım ve kuvvet işlemleri sürekliliği korur. Bölüm için paydanın a’daki değeri sıfır olmamalıdır; g(a) = 0 olduğundan f/g’nin sürekliliği kesin değildir.

Cevap: E

Örnek - 24
f(x) = x² − 1x − 1 (x ≠ 1) ve f(1) = k olarak tanımlanıyor. f fonksiyonunun x = 1’de sürekli olması ve h(x) = f(x) + x² için h(1) = m olması isteniyor. k + m kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
x ≠ 1 için f(x) = x + 1 ve limx→1 f(x) = 2’dir. Süreklilik için k = 2 gerekir. h(1) = f(1) + 1 = 3 olduğundan m = 3 ve k + m = 5 olur.

Cevap: C

Dikkat
Limit, noktanın çevresindeki davranışı; süreklilik ise bu davranışın nokta değeriyle uyuşmasını anlatır. Soruda yalnız limit isteniyorsa f(a), yalnız süreklilik isteniyorsa tek yönlü limitler göz ardı edilmez.
Önceki konu: Diziler: Aritmetik Dizi, Geometrik Dizi ve Toplam
Sonraki konu: Türev: Tanım ve Türev Alma Kuralları

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz!
Lütfen isminizi buraya giriniz