AYT belirsiz integral konu anlatımı kapsamında ters türev, diferansiyel, integral sabiti, temel integral kuralları, değişken değiştirme ve integral alma yöntemleri işlenecektir.
AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
↔
→
DİFERANSİYEL, TERS TÜREV VE BELİRSİZ İNTEGRAL
Diferansiyel Kavramı
y = f(x) için dy = f′(x) dx eşitliği, fonksiyondaki değişimin türev ve bağımsız değişkenin diferansiyeliyle ilişkisini gösterir. Buradaki dx yalnız süsleyici bir gösterim değildir; özellikle değişken değiştirmede hangi çarpanın birlikte dönüştürüleceğini belirler.
B) (3x² − 8x + 5) dx
C) (x² − 8x) dx
D) (3x − 8) dx
E) (x³ − 4x²) dx
Ters Türev ve Fonksiyon Ailesi
F′(x) = f(x) ise F, f’nin bir ters türevidir. Ancak aynı türeve sahip fonksiyonlar yalnız sabit terimleri bakımından ayrılır. Bu nedenle bütün ters türevler F(x) + C biçiminde bir aile oluşturur.
∫ f(x) dx = F(x) + C, F′(x) = f(x)
Toplam ve sabit çarpan: F′(x) = f(x) ve G′(x) = g(x) ise ∫(f(x) ± g(x)) dx = F(x) ± G(x) + C olur. k sabit olmak üzere ∫k f(x) dx = kF(x) + C biçiminde yazılır; her terim ayrı integre edilir ve C bir kez eklenir.
Kuvvet kuralı ve köklü ifadeler: xⁿ ifadesinin gerçek değerli ve türevlenebilir olduğu aralıklarda, n ≠ −1 için ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C olur. n negatif veya kesirli olabilir; köklü ifadeler üs biçiminde yazılabilir. n = −1 özel durumunda, x ≠ 0 için ∫x⁻¹ dx = ln|x| + C kullanılır.
Örneğin ∫(3x² − 2x + 4) dx = x³ − x² + 4x + C olur; sağ tarafın türevi başlangıçtaki ifadeyi verir. Karekök içeren ifadeler integral sonucunda kök biçiminde de gösterilebilir: ∫√x dx = (2/3)x√x + C.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Türev ve İntegralin Tersliği
Türev, integral ailesindeki sabiti yok eder. İntegral ise türevden geriye giderken kaybolan sabiti C ile geri ekler. Özellikle integral işaretinin dışındaki türevlerde zincir kuralı unutulmamalıdır.
B) 13
C) 15
D) 17
E) 19
B) 5
C) 7
D) 10
E) 14
TEMEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI
Sabit, Toplam ve Sabit Çarpan
B) 4x⁴ − 6x² + 5x + C
C) x⁴ − 6x² + 5 + C
D) 12x² − 6 + C
E) x⁴ − 3x + 5x + C
Kuvvet Kuralı ve Köklü İfadeler
B) 3x√x − 2/x + C
C) 2√x + 2/x + C
D) 2x√x − 2/x + C
E) x√x + 2/x + C
B) 1
C) 5/4
D) 7/4
E) 11/4
1/x, Üstel ve Trigonometrik Kalıplar
∫1/x dx ifadesindeki mutlak değer, logaritmanın tanım koşulunu korur. Sinüs ve kosinüs integralleri türev tablosunun tersinden okunur.
sec x = 1/cos x olduğundan, cos x ≠ 0 olan aralıklarda tan x fonksiyonunun türevi sec²x olur; bu nedenle ∫sec²x dx = tan x + C. Ayrıca d(arctan x)/dx = 1/(1 + x²) olduğundan ∫dx/(1 + x²) = arctan x + C elde edilir.
a > 0 ve a ≠ 1 için d(aˣ)/dx = ln(a)·aˣ olduğundan ∫aˣ dx = aˣ/ln(a) + C olur. a = 1 durumunda integrali alınan ifade 1 olduğundan integral x + C olur.
B) 2eˣ − 3cos x + 4ln x + C
C) eˣ + 3cos x + 4/x + C
D) 2eˣ + 3sin x + 4ln|x| + C
E) 2eˣ − 3cos x + 4ln|x| + C
B) cot x − 2arctan x + C
C) tan x + 2arctan x + C
D) sec x − 2arctan x + C
E) tan²x − arctan x + C
DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME (İKAME) YÖNTEMİ
İç Fonksiyon ve Diferansiyel Eşleştirme
İntegrandda bileşik fonksiyon ve iç fonksiyonun türevi birlikte görülüyorsa u = g(x) yazımı kullanılır. du = g′(x) dx bağıntısı integrali u değişkenine geçirir. İntegrasyon u değişkeninde yapılır; elde edilen sonuç x cinsine dönüştürülür.
→
→
→
B) 3(x² + 1)⁵/5 + C
C) (x² + 1)⁵ + C
D) 6(x² + 1)⁵ + C
E) 3(x² + 1)⁴ + C
B) 2√(x² + 4) + C
C) x√(x² + 4) + C
D) ln|x² + 4| + C
E) 1/√(x² + 4) + C
Eksik Sabit Çarpanı Tamamlama
F′(x) = f(x) olmak üzere, a ve b sabitleri için a ≠ 0 iken ∫f(ax + b) dx = F(ax + b)/a + C olur. u = ax + b seçilirse du = a dx ve dx = du/a elde edilir; 1/a çarpanı buradan gelir. a = 0 olduğunda integrali alınan ifade f(b) sabittir ve integral f(b)x + C olur.
B) (3x − 2)⁸/24 + C
C) 3(3x − 2)⁸/8 + C
D) (3x − 2)⁷/21 + C
E) (3x − 2)⁸/3 + C
B) 4e⁽⁴ˣ⁻¹⁾ + C
C) e⁽⁴ˣ⁻¹⁾/4 + C
D) e⁽ˣ⁻¹⁾/4 + C
E) e⁽⁴ˣ⁾/e + 4C
Logaritmik Türev Kalıbı
Pay, paydanın türeviyle orantılıysa ∫f′(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C kalıbı kullanılır. Mutlak değer, f(x)’in negatif olduğu aralıklarda da türevin doğru kalmasını sağlar.
B) 2ln|x² + 3x − 1| + C
C) 1/(x² + 3x − 1) + C
D) (x² + 3x − 1)²/2 + C
E) ln|2x + 3| + C
B) (1/2)ln|x² − 4| + C
C) 2ln|x² − 4| + C
D) 1/(x² − 4) + C
E) arctan(x/2) + C
Cebirsel Düzenleme Gerektiren İntegraller
İkame seçmeden önce ifade sadeleştirilebilir, çarpanlara ayrılabilir ya da üs biçimine dönüştürülebilir. Özellikle payın, paydanın veya kök içinin türevine benzetilebilmesi yöntemi görünür hâle getirir.
B) x² + C
C) ln(x² + 1) + C
D) x⁴/4 + x²/2 + C
E) (x² + 1)²/2 + C
B) x²/(x² + 1) + C
C) x² + C
D) 1/(x² + 1) + C
E) (x² + 1)²/2 + C
FONKSİYON BULMA VE KARMA UYGULAMALAR
Başlangıç Koşuluyla Fonksiyonun Belirlenmesi
Türevi verilen fonksiyon önce genel biçimde integre edilir; ardından verilen nokta veya fonksiyon değeri kullanılarak C belirlenir. Birden fazla türev verilmişse her integral alma adımında yeni bir sabit ortaya çıkar.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Parametreli ve Tersine Kurulan Sorular
Parametreli bir integral eşitliğinde sağ taraf, integrali alınan ifadenin ters türev adayıdır. Parametre x değişkenine göre sabit kabul edilir; sağ taraf, bileşik fonksiyon varsa zincir kuralı kullanılarak x değişkenine göre türevlenir. Türev integrali alınan ifadeye eşitlenir, katsayılar karşılaştırılarak parametre bulunur ve son olarak türev yeniden alınarak eşitlik doğrulanır.
Örneğin ∫k sin(2x) dx = −3cos(2x) + C eşitliğinde sağ tarafın türevi 6sin(2x) olur; katsayılar karşılaştırılınca k = 6 bulunur.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
B) f′(x) + 2f(x) + C
C) f²(x) + C
D) 2f(x) + f²(x) + C
E) f(x) + 2f²(x) + C
B) f(x) + f³(x) + C
C) ln|f′(x)| + f³(x) + C
D) ln|f(x)| + 3f³(x) + C
E) 1/f(x) + f³(x) + C
Sonraki konu: Belirli İntegral ve Alan Hesabı