AYT belirli integral ve alan hesabı konu anlatımı kapsamında belirli integralin temel teoremi, sınır özellikleri, Riemann toplamı, işaretli alan, iki eğri arasındaki alan ve ters fonksiyon uygulamaları işlenecektir. AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
Belirsiz integralTers türev ailesini verir
→
Belirli integralİki sınır arasındaki net değişimi verir
→
Geometrik alanİşaret dikkate alınarak pozitif ölçülür
BELİRLİ İNTEGRAL VE TEMEL TEOREM
Belirli İntegralin Tanımı
F′(x) = f(x) olmak üzere f fonksiyonunun a ile b arasındaki belirli integrali ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) eşitliğiyle hesaplanır. Belirsiz integraldeki +C sabiti iki uç değerde birbirini götürdüğünden belirli integral sonucunda yazılmaz.
Örnek - 1
∫02(3x² − 4x + 1)dx kaçtır?
A) −2 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4
Bir ters türev F(x)=x³−2x²+x olur. F(2)−F(0)=8−8+2=2.
Cevap: D
Sınır ve Doğrusallık Özellikleri
∫aaf(x)dx0
∫baf(x)dx−∫abf(x)dx
∫abkf(x)dxk∫abf(x)dx
∫acf + ∫cbf∫abf
Aralık parçalama özelliğinde c noktasının a ile b arasında bulunması zorunlu değildir; yön işaretleri korunursa eşitlik yine geçerlidir. Toplama, çıkarma ve sabit çarpan kuralları da belirsiz integraldeki gibi uygulanır.
Örnek - 2
∫−12f(x)dx=5 ise ∫2−13f(x)dx kaçtır?
A) −15 B) −5 C) 5 D) 10 E) 15
Sınırlar ters çevrilince işaret değişir; sabit çarpan dışarı alınır. Sonuç 3·(−5)=−15’tir.
Cevap: A
Örnek - 3
∫02f(x)dx=4 ve ∫26f(x)dx=−1 ise ∫06f(x)dx kaçtır?
A) −5 B) −3 C) 3 D) 4 E) 5
Komşu aralıklar birleştirilir: 4+(−1)=3.
Cevap: C
İntegral ile Türev Arasındaki Bağ
F′(x)=f(x) ise ∫abf(x)dx=F(b)−F(a) eşitliği, türev ile integrali doğrudan bağlar. Üst sınır değişkense zincir kuralı devreye girer: H(x)=∫ag(x)f(t)dt için H′(x)=f(g(x))·g′(x) olur.
Örnek - 4
F′(x)=f(x), F(1)=3 ve F(4)=11 olduğuna göre ∫14f(x)dx kaçtır?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 11 E) 14
Temel teoremden F(4)−F(1)=11−3=8.
Cevap: C
Örnek - 5
G(x)=∫1x²(t+1)dt olduğuna göre G′(2) kaçtır?
A) 10 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24
G′(x)=(x²+1)·2x. x=2 için 5·4=20 bulunur.
Cevap: D
Belirli İntegralde Değişken Değiştirme
u=g(x) ikamesi yapılınca yalnız integrand değil, alt ve üst sınırlar da u değişkenine çevrilebilir. Bu yol seçilirse işlem sonunda x’e dönmeye gerek kalmaz; eski x sınırlarıyla yeni u integrandı birlikte kullanılmaz.
Örnek - 6
∫01x/(x²+1)² dx kaçtır?
A) 1/8 B) 1/4 C) 1/2 D) 3/4 E) 1
u=x²+1 ve du=2x dx. Sınırlar 1 ve 2 olur. (1/2)∫12u⁻²du=1/4.
Cevap: B
Örnek - 7
∫02x√(x²+5)dx kaçtır?
A) (27−5√5)/3 B) (27−5√5)/2 C) 9−√5 D) 9−5√5 E) (9−5√5)/3
u=x²+5 için sınırlar 5 ve 9’dur. (1/2)∫√u du=(1/3)u^(3/2). Sonuç (27−5√5)/3 olur.
Cevap: A
PARÇALI, MUTLAK DEĞERLİ VE SİMETRİK FONKSİYONLAR
Çift ve Tek Fonksiyonlarda Simetri
f çiftse ∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx; f tekse simetrik aralıktaki integral sıfırdır. Bu özellik yalnız aralık sıfıra göre simetrik olduğunda doğrudan uygulanır.
Örnek - 8
f çift ve ∫03f(x)dx=7 ise ∫−33f(x)dx kaçtır?
A) 0 B) 7 C) 10 D) 14 E) 21
Çift fonksiyonun simetrik aralıktaki integrali yarım aralığın iki katıdır: 14.
Cevap: D
Örnek - 9
f tek ve integrallenebilir olduğuna göre ∫−44(f(x)+3x²)dx, ∫04x²dx cinsinden hangisidir?
A) 0 B) 3∫04x²dx C) 6∫04x²dx D) 8∫04x²dx E) 12∫04x²dx
Tek olan f’nin simetrik integrali sıfırdır. x² çift olduğundan kalan integral 2·3∫04x²dx olur.
Cevap: C
Parçalı Fonksiyonun İntegrali
Fonksiyonun tanımı değiştiği her kritik noktada integral ayrılır. Tek bir formülü bütün aralığa uygulamak, özellikle parçalı doğrusal grafiklerde yanlış işaret ve alan üretir.
Örnek - 10
f(x)=x+1, −1≤x<0 ve f(x)=2−x, 0≤x≤2 ise ∫−12f(x)dx kaçtır?
A) 3/2 B) 2 C) 5/2 D) 3 E) 7/2
İntegral 0’da ayrılır. İlk parça 1/2, ikinci parça 2 verdiğinden toplam 5/2’dir.
Cevap: C
Örnek - 11
Aşağıdaki parçalı doğrusal f grafiğine göre ∫−44f(x)dx kaçtır?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
Her doğrusal parçada yamuk alanının işaretli değeri alınır: 6+6−2−2=8.
Cevap: C
Mutlak Değerli İntegraller
|f(x)| integrali, f’nin negatif olduğu bölümleri x ekseninin üstüne taşır. Önce f(x)=0 kökleri bulunur, sonra her aralıkta işaret belirlenerek integral parçalanır.
Örnek - 12
∫−23|x−1|dx kaçtır?
A) 9/2 B) 5 C) 11/2 D) 6 E) 13/2
İfade x=1’de işaret değiştirir. ∫−21(1−x)dx=9/2 ve ∫13(x−1)dx=2. Toplam 13/2’dir.
Cevap: E
Dikkat
∫|f(x)|dx ile |∫f(x)dx| aynı işlem değildir. Birincisi her bölgeyi pozitif alan olarak toplar; ikincisi önce işaretli toplamı bulup yalnız sonucun mutlak değerini alır.
RIEMANN TOPLAMI VE BELİRLİ İNTEGRALİN LİMİT ANLAMI
Aralığın Bölünmesi ve Dikdörtgenler
a ile b arası n eşit parçaya ayrıldığında Δx=(b−a)/n olur. Her alt aralıktan seçilen xk* noktaları için Σf(xk*)Δx toplamının n sonsuza giderken limiti belirli integrali verir.
Örnek - 13
lim n→∞ (1/n)Σk=1n(1+k/n) kaçtır?
A) 1 B) 4/3 C) 3/2 D) 5/3 E) 2
Toplam, ∫01(1+x)dx integralinin sağ uç Riemann toplamıdır. Değer 1+1/2=3/2’dir.
Cevap: C
Örnek - 14
f(x)=x² için 0≤x≤2 aralığındaki sağ uç Riemann toplamının limiti kaçtır?
A) 4/3 B) 2 C) 8/3 D) 3 E) 4
Limit ∫02x²dx=8/3 integraline eşittir.
Cevap: C
Örnek - 15
Grafikte f(1)=2, f(2)=4, f(3)=5, f(4)=7 ve f(5)=8 görülüyor. 0 ile 5 arası beş eşit parçaya ayrıldığında sağ uç noktalarla kurulan Riemann toplamı kaçtır?
A) 22 B) 24 C) 25 D) 26 E) 28
Δx=1’dir. Sağ uç toplamı 1·(2+4+5+7+8)=26 olur.
Cevap: D
BELİRLİ İNTEGRAL VE ALAN
İşaretli Alan ve Geometrik Alan Ayrımı
Grafik x ekseninin üstündeyken integral pozitif, altındayken negatiftir. Belirli integral cebirsel alanı verir; geometrik alan isteniyorsa negatif bölgeler de pozitif büyüklükle toplanır.
Örnek - 16
y=x²−4 eğrisi ile x ekseni arasında −2≤x≤2 aralığında kalan alan kaç birimkaredir?
A) 16/3 B) 8 C) 28/3 D) 32/3 E) 12
Eğri bu aralıkta eksenin altındadır. Alan ∫−22(4−x²)dx=32/3 olur.
Cevap: D
Örnek - 17
f grafiğinin a ile b arasında x ekseninin üstünde kalan bölgesinin alanı 7, b ile c arasında eksenin altında kalan bölgesinin alanı 3’tür. ∫acf(x)dx ve toplam geometrik alan sırasıyla kaçtır?
A) 4 ve 10 B) 10 ve 4 C) −4 ve 10 D) 4 ve 7 E) 10 ve 10
İşaretli integral 7−3=4, geometrik alan 7+3=10’dur.
Cevap: A
Örnek - 18
Grafikte −4 ile −1 arasındaki bölgenin alanı 6, −1 ile 2 arasındaki bölgenin alanı 5 birimkaredir. Buna göre ∫−42f(x)dx kaçtır?
A) −11 B) −1 C) 1 D) 5 E) 11
İlk bölge eksenin üstünde, ikinci bölge altındadır. İntegral 6−5=1 olur.
Cevap: C
PARABOL VE ÇEMBERDE ALAN
Parabolün Eksenle Sınırladığı Alan
Parabolün x ekseniyle sınırladığı alanın uçları denklemin kökleridir. Fonksiyon kökler arasında negatifse integralin işareti çevrilir. Kısa yol bağıntıları kullanılabilse de kök, işaret ve sınır kontrolü her zaman yapılmalıdır.
Örnek - 19
y=4−x² parabolü ile x ekseni arasında kalan alan kaçtır?
A) 16/3 B) 8 C) 28/3 D) 32/3 E) 16
Kökler −2 ve 2’dir. ∫−22(4−x²)dx=32/3.
Cevap: D
Örnek - 20
y=2x doğrusu ile y=x² parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaçtır?
A) 2/3 B) 1 C) 4/3 D) 3/2 E) 2
Kesişimler 0 ve 2’dir. Bu aralıkta doğru üsttedir: ∫02(2x−x²)dx=4/3.
Cevap: C
Çember ve Yarım Çember İntegralleri
x²+y²=r² çemberinin üst yarısı y=√(r²−x²), alt yarısı y=−√(r²−x²) biçimindedir. −r ile r arasındaki üst yarım çember integrali πr²/2 alanını verir.
Örnek - 21
∫−33√(9−x²)dx kaçtır?
A) 3π B) 9π/2 C) 6π D) 9π E) 18π
İntegrand yarıçapı 3 olan çemberin üst yarısını gösterir. Alan π·3²/2=9π/2’dir.
Cevap: B
İKİ EĞRİ ARASINDA ALAN
Üst Fonksiyon Eksi Alt Fonksiyon
f(x)≥g(x) olduğunda a ile b arasındaki alan ∫ab(f(x)−g(x))dx ile bulunur. Kesişim noktaları integral sınırlarını verir. Hangi fonksiyonun üstte olduğu örnek bir noktayla ya da grafikle belirlenmelidir.
Örnek - 22
y=2−x ve y=x² eğrileri arasında kalan alan kaçtır?
A) 3 B) 7/2 C) 4 D) 9/2 E) 5
Kesişimler x=−2 ve x=1’dir; bu aralıkta doğru üsttedir. ∫−21(2−x−x²)dx=9/2.
Cevap: D
Örnek - 23
f(x)−g(x)=x²−1 olduğuna göre −2≤x≤2 aralığında f ve g grafikleri arasında kalan toplam alan kaçtır?
A) 8/3 B) 10/3 C) 4 D) 14/3 E) 16/3
Sıralama x=−1 ve x=1’de değişir. ∫−22|x²−1|dx=4 olur.
Cevap: C
Y Eksenine Göre Alan
Eğriler x’i y cinsinden daha kolay veriyorsa yatay şerit kullanılır. Bu durumda alan ∫(sağdaki x − soldaki x)dy biçiminde hesaplanır; sınırlar y değerleridir.
Örnek - 24
x=y² ve x=2y eğrileri arasında kalan alan kaçtır?
A) 2/3 B) 1 C) 4/3 D) 2 E) 8/3
Kesişimler y=0 ve y=2’dir. Sağdaki eğri x=2y olduğundan ∫02(2y−y²)dy=4/3.
Cevap: C
TERS FONKSİYON VE KARMA UYGULAMALAR
Ters Fonksiyonun Alan Bağıntısı
Artan ve bire bir f için, f(a)=c ve f(b)=d olmak üzere ∫abf(x)dx + ∫cdf⁻¹(y)dy = bd−ac bağıntısı geçerlidir. Bu eşitlik, bir bölgenin y=x doğrusuna göre yansımasından doğar.
Örnek - 25
f artan, f(0)=1, f(3)=5 ve ∫03f(x)dx=8 ise ∫15f⁻¹(y)dy kaçtır?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Bağıntıdan ikinci integral 3·5−0·1−8=7’dir.
Cevap: C
İntegral Fonksiyonunun Ekstremumları
H(x)=∫axf(t)dt ise H′(x)=f(x)’tir. Bu nedenle H’nin artma-azalma aralıkları f’nin işaretinden, yerel ekstremumları ise f’nin işaret değiştirdiği köklerden bulunur.
Örnek - 26
H(x)=∫0x(t−1)(t−3)dt olduğuna göre H hangi x değerinde yerel maksimuma sahiptir?
A) −1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
H′(x)=(x−1)(x−3). İşaret x=1’de pozitiften negatife döndüğü için yerel maksimum x=1’dedir.
Cevap: C
Hareket ve Birikim Problemleri
Hızın belirli integrali yer değiştirmeyi verir. Toplam yol için hızın işaret değiştirdiği anlar bulunur ve ∫|v(t)|dt hesaplanır. Benzer biçimde akış hızı, üretim hızı ve tüketim hızı integralleri net birikimi verir.
Örnek - 27
Bir hareketlinin 0≤t≤4 aralığındaki hızı v(t)=3t²−12t+9’dur. Yer değiştirmesi kaç birimdir?
A) −4 B) 0 C) 4 D) 8 E) 12
∫04v(t)dt=[t³−6t²+9t]04=4’tür.
Cevap: C
Örnek - 28
Aynı hareketlinin 0≤t≤4 aralığında aldığı toplam yol kaç birimdir?
A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16
v(t)=3(t−1)(t−3) olduğundan işaret t=1 ve t=3’te değişir. Konum değişimleri 0→4, 4→0 ve 0→4 olduğundan toplam yol 4+4+4=12’dir.
Cevap: D
Dikkat
Alan sorularında işlem sırası; kesişimleri veya kökleri bulmak, aralığı doğru bölmek, üst-alt ya da işaret bilgisini belirlemek ve ancak bundan sonra integrali kurmaktır. Tek bir integral bütün bölgeleri geometrik alan olarak vermeyebilir.
Belirli integral sorularında en güvenilir kontrol, sınırların ve işaretlerin grafikle tutarlı olup olmadığını sınamaktır. Sonuç negatif çıkabilir; bu, belirli integral için mümkündür fakat geometrik alan için mümkün değildir.
