AYT trigonometrik denklemler ve fonksiyon grafikleri konu anlatımı kapsamında trigonometrik denklemlerin çözümleri, köklerin belirli aralıkta bulunması, periyot, genlik, öteleme ve ters trigonometrik fonksiyonlar işlenecektir. AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
PERİYODİK FONKSİYONLAR
Periyot ve Esas Periyot
Bir f fonksiyonu için tanım kümesindeki her x değerinde f(x + T) = f(x) eşitliğini sağlayan pozitif T sayısına fonksiyonun bir periyodu denir. Bu eşitliği sağlayan en küçük pozitif sayı varsa esas periyot adını alır. Bir fonksiyonun periyodu T ise 2T, 3T ve diğer pozitif tam katları da periyottur; ancak bunlar esas periyot olmak zorunda değildir.
sin x ve cos x2π360°
tan x ve cot xπ180°
|sin x| ve |cos x|π180°
sin²x ve cos²xπ180°
Çembersel hareketin düşey izdüşümü aynı konumları eşit zaman aralıklarında tekrarlar. Bir tam tur, yükseklik grafiğinin bir tam periyoduna karşılık gelir.
Örnek - 1
f fonksiyonunun bir periyodu 6, g fonksiyonunun bir periyodu 4 olduğuna göre h(x) = f(x) + g(x) fonksiyonunun kesinlikle bir periyodu olan en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
A) 8 B) 10 C) 12 D) 18 E) 24
6 ve 4’ün ortak katları h fonksiyonunda tekrar oluşturur. En küçük ortak kat EKOK(6,4) = 12’dir. Bu değer h’nin esas periyodu olmak zorunda değildir; fakat kesinlikle bir periyodudur.
Cevap: C
Örnek - 2
f(x) = sin²(3x − π/5) fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?
A) π/6 B) π/3 C) 2π/3 D) π E) 2π
sin²u fonksiyonunun u değişkenine göre periyodu π’dir. İçeride x’in katsayısı 3 olduğundan T = π/3 bulunur. Sabit faz terimi periyodu değiştirmez.
Cevap: B
Örnek - 3
f(x) = tan(4x + 1) + cos(6x) fonksiyonunun bir periyodu olan en küçük pozitif sayı kaçtır?
A) π/6 B) π/4 C) π/3 D) π/2 E) π
tan(4x + 1) için periyot π/4, cos(6x) için periyot 2π/6 = π/3’tür. π/4 ve π/3’ün en küçük ortak pozitif katı π’dir.
Cevap: E
Dikkat
Toplam veya çarpım hâlindeki fonksiyonlarda bileşen periyotlarının EKOK’u bir ortak periyot verir. Ancak özel cebirsel sadeleşmeler daha küçük bir esas periyot doğurabilir; bu nedenle “bir periyot” ile “esas periyot” ifadeleri ayrılmalıdır.
TEMEL TRİGONOMETRİK FONKSİYON GRAFİKLERİ
Sinüs ve Kosinüs Grafikleri
y = sin x ve y = cos x fonksiyonlarının tanım kümesi gerçek sayılar, değer kümesi [−1, 1] aralığıdır. Sinüs tek, kosinüs çift fonksiyondur. Sinüs grafiği orijinden geçerken kosinüs grafiği x = 0’da en büyük değeriyle başlar.
sin x = 0x = kπ
cos x = 0x = π/2 + kπ
sinüsün en büyük değerix = π/2 + 2kπ
kosinüsün en küçük değerix = π + 2kπ
Örnek - 4
f(x) = sin x + cos x fonksiyonunun değer kümesi hangisidir?
sin x + cos x = √2 sin(x + π/4) biçiminde yazılır. Sinüsün değerleri [−1,1] olduğundan fonksiyonun değer kümesi [−√2,√2] olur.
Cevap: B
Örnek - 5
f(x) = 2 − 3cos x fonksiyonunun en küçük ve en büyük değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
−1 ≤ cos x ≤ 1 olduğundan −3 ≤ −3cos x ≤ 3’tür. İki eklenince değer aralığı [−1,5] olur. Uçların toplamı 4’tür.
Cevap: C
Tanjant ve Kotanjant Grafikleri
tan x fonksiyonu x = π/2 + kπ noktalarında, cot x fonksiyonu ise x = kπ noktalarında tanımsızdır. Bu doğrular grafiklerin düşey asimptotlarıdır. Her iki fonksiyonun değer kümesi gerçek sayılar ve esas periyodu π’dir. Bir asimptotun iki tarafındaki grafik kolları birbirine bağlanmaz.
Örnek - 6
f(x) = tan(2x − π/3) fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?
A) π/4 B) π/3 C) π/2 D) π E) 2π
tan(ax + b) fonksiyonunun periyodu π/|a|’dır. Burada a = 2 olduğundan T = π/2’dir.
Cevap: C
Örnek - 7
f(x) = cot x fonksiyonu [0, 2π] aralığında kaç noktada tanımsızdır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
cot x = cos x / sin x olduğundan sin x = 0 iken tanımsızdır. [0,2π] aralığında bu noktalar 0, π ve 2π olmak üzere üç tanedir.
Cevap: C
Dikkat
Tanjant ve kotanjant grafiklerinde asimptot üzerindeki x değeri çözüm veya grafik noktası değildir. Denklem sadeleştirilirken paydayı sıfır yapan değerler sonradan yeniden çözüme alınamaz.
GRAFİK DÖNÜŞÜMLERİ: GENLİK, PERİYOT VE ÖTELEME
a + b·sin(cx + d) ve a + b·cos(cx + d)
Sinüs ve kosinüs grafiklerinde |b| genliği, a orta doğruyu, c periyodu ve −d/c yatay ötelemeyi belirler. b negatifse grafik orta doğruya göre yansır. Açı radyan cinsindeyse periyot 2π/|c|, derece cinsindeyse 360°/|c| olur.
Orta doğruy = a
Genlik|b|
Periyot2π / |c|
Yatay öteleme−d / c
En büyük değera + |b|
En küçük değera − |b|
Örnek - 8
Aşağıdaki grafik f(x) = a·cos(bx) + c fonksiyonuna aittir. a > 0, b > 0 ve grafiğin esas periyodu 360° olduğuna göre a + b + c kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Grafiğin en büyük değeri 3, en küçük değeri −1’dir. Buna göre orta doğru c = (3 + (−1))/2 = 1, genlik a = (3 − (−1))/2 = 2’dir. Esas periyot 360° olduğundan b = 1’dir. Toplam 2 + 1 + 1 = 4 olur.
Cevap: C
Örnek - 9
f(x) = 1 + 2sin(2x − 90°) fonksiyonunun en büyük değeri M, esas periyodu T derece olduğuna göre M + T/90 kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Orta doğru 1, genlik 2 olduğundan M = 3’tür. Periyot T = 360°/2 = 180° olur. M + T/90 = 3 + 2 = 5’tir.
Cevap: C
Örnek - 10
f(x) = −3sin(4x) + 2 fonksiyonunun [0°, 360°) aralığındaki grafiğinde kaç tane en büyük değer noktası vardır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Fonksiyonun periyodu 360°/4 = 90°’dir. [0°,360°) aralığında dört tam periyot bulunur ve her periyotta bir en büyük değer noktası vardır. Sonuç 4’tür.
Cevap: C
Örnek - 11
f(x) = 2cos(3x + 60°) fonksiyonunun y = 2cos(3x) grafiğine göre yatay ötelenmesi hangisidir?
A) 60° sola B) 20° sola C) 20° sağa D) 30° sola E) 30° sağa
3x + 60° = 3(x + 20°) olduğundan grafik 20° sola ötelenmiştir.
Cevap: B
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
Esas Değer Aralıkları
Trigonometrik fonksiyonlar bütün gerçek sayılarda bire bir olmadığından tersleri doğrudan tanımlanamaz. Bu nedenle her fonksiyon bire bir olduğu kanonik bir aralığa sınırlandırılır. Ters fonksiyonun sonucu her zaman bu esas değer aralığında seçilir.
arcsin xTanım: [−1,1]Değer: [−π/2, π/2]
arccos xTanım: [−1,1]Değer: [0, π]
arctan xTanım: ℝDeğer: (−π/2, π/2)
arccot xTanım: ℝDeğer: (0, π)
Örnek - 12
arcsin(sin(5π/6)) kaçtır?
A) −π/6 B) π/6 C) π/3 D) 5π/6 E) π
sin(5π/6) = 1/2’dir. arcsin fonksiyonu sonucu [−π/2,π/2] aralığında verir. Bu aralıkta sinüsü 1/2 olan açı π/6’dır.
Cevap: B
Örnek - 13
arccos(cos(5π/3)) kaçtır?
A) π/6 B) π/3 C) 2π/3 D) 5π/3 E) 2π
cos(5π/3) = 1/2’dir. arccos sonucu [0,π] aralığında olduğundan değer π/3’tür.
Cevap: B
Örnek - 14
arctan(tan(3π/4)) kaçtır?
A) −π/4 B) π/4 C) π/2 D) 3π/4 E) π
tan(3π/4) = −1’dir. arctan fonksiyonunun değer aralığı (−π/2,π/2) olduğundan arctan(−1) = −π/4 bulunur.
Cevap: A
Örnek - 15
x ∈ [−1,1] ve arcsin x = 2arccos x olduğuna göre x kaçtır?
A) 1/2 B) √2/2 C) √3/2 D) −1/2 E) −√3/2
arcsin x + arccos x = π/2 özdeşliğini kullanalım. arccos x = A dersek arcsin x = 2A ve 3A = π/2 olur. A = π/6 olduğundan x = cos(π/6) = √3/2’dir.
Cevap: C
Dikkat
arcsin(sin x) her x için x değildir. Sonuç arcsin için [−π/2,π/2], arccos için [0,π] ve arctan için (−π/2,π/2) aralığına taşınır.
TEMEL TRİGONOMETRİK DENKLEMLER
Genel Çözüm Kümeleri
Trigonometrik denklemde tek bir açı değeri değil, periyodik olarak tekrarlanan bütün açılar aranır. k ∈ ℤ olmak üzere temel çözüm şablonları aşağıdaki gibidir.
sin x = sin αx = α + 2kπveya x = π − α + 2kπ
cos x = cos αx = 2kπ ± α
tan x = tan αx = α + kπ
cot x = cot αx = α + kπ
Örnek - 16
sin x = √3/2 denkleminin genel çözümü hangisidir?
A) x = π/3 + kπ B) x = π/3 + 2kπ veya x = 2π/3 + 2kπ C) x = 2kπ ± π/3 D) x = π/6 + kπ E) x = 2π/3 + kπ
Sinüs I ve II. bölgede pozitiftir. Esas açı π/3 olduğundan çözümler x = π/3 + 2kπ ve x = π − π/3 + 2kπ = 2π/3 + 2kπ’dir.
Cevap: B
Örnek - 17
cos(2x) = −1/2 denkleminin [0, 2π) aralığında kaç kökü vardır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
x ∈ [0,2π) iken 2x ∈ [0,4π) olur. Bu aralıkta kosinüsün −1/2 olduğu açılar 2π/3, 4π/3, 8π/3 ve 10π/3’tür. Dört farklı x kökü vardır.
Cevap: C
Örnek - 18
tan(3x − π/4) = 1 denkleminin genel çözümü hangisidir?
A) x = π/6 + kπ/3 B) x = π/4 + kπ C) x = π/3 + kπ/3 D) x = π/6 + 2kπ/3 E) x = π/12 + kπ
tan u = 1 için u = π/4 + kπ’dir. 3x − π/4 = π/4 + kπ yazılırsa 3x = π/2 + kπ ve x = π/6 + kπ/3 bulunur.
Cevap: A
Örnek - 19
cot(2x) = −1 denkleminin (0, π) aralığında kaç kökü vardır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
cot u = −1 için u = 3π/4 + kπ’dir. 2x = 3π/4 + kπ olduğundan x = 3π/8 + kπ/2 elde edilir. (0,π) aralığında x = 3π/8 ve 7π/8 olmak üzere iki kök vardır.
Cevap: B
Örnek - 20
sin x = cos x denkleminin [0, 2π) aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?
A) π/2 B) π C) 3π/2 D) 2π E) 5π/2
cos x = 0 iken eşitlik sağlanmadığından iki taraf cos x’e bölünebilir. tan x = 1 olur. Kökler π/4 ve 5π/4; toplamları 3π/2’dir.
Cevap: C
DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN VE KARMA TRİGONOMETRİK DENKLEMLER
İkinci Derece Biçimi ve Özdeşlik Kullanımı
Denklem yalnız sin x veya yalnız cos x cinsinden ikinci dereceyse önce cebirsel çarpanlara ayrılır. sin x ile cos x birlikteyse sin²x + cos²x = 1, çift açı bağıntıları veya a·sin x + b·cos x dönüşümü kullanılır. Bulunan her aday başlangıç denkleminde tanım ve payda koşulları bakımından kontrol edilir.
Örnek - 21
2sin²x − 3sin x + 1 = 0 denkleminin [0, 2π] aralığında kaç farklı kökü vardır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
u = sin x dersek (2u − 1)(u − 1) = 0 olur. sin x = 1/2 için π/6 ve 5π/6; sin x = 1 için π/2 bulunur. Üç farklı kök vardır.
Cevap: B
Örnek - 22
cos(2x) = sin x denkleminin [0, 2π) aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?
A) 3π/2 B) 2π C) 5π/2 D) 3π E) 7π/2
cos 2x = 1 − 2sin²x yazılır. 1 − 2sin²x = sin x denklemi 2sin²x + sin x − 1 = 0 olur. Buradan sin x = 1/2 veya sin x = −1 çıkar. Kökler π/6, 5π/6 ve 3π/2’dir; toplam 5π/2’dir.
Cevap: C
a·sin x + b·cos x Biçimi
a·sin x + b·cos x ifadesinin alabileceği değerler [−√(a²+b²), √(a²+b²)] aralığındadır. Denklem bu üst veya alt sınıra eşitse sin x ile cos x’in değerleri katsayılarla aynı doğrultuda olmak zorundadır. Daha genel durumda ifade R·sin(x + φ) veya R·cos(x − φ) biçimine dönüştürülür.
Örnek - 23
3sin x + 4cos x = 5 olduğuna göre sin x · cos x kaçtır?
A) 7/25 B) 12/25 C) 16/25 D) 20/25 E) 24/25
İfadenin en büyük değeri √(3²+4²) = 5’tir. Eşitlik üst sınıra ulaştığı için sin x = 3/5 ve cos x = 4/5 olmalıdır. Çarpım 12/25’tir.
Cevap: B
Örnek - 24
5sin x − 12cos x = 13 olduğuna göre tan x kaçtır?
A) −12/5 B) −5/12 C) 5/12 D) 12/5 E) 13/12
√(5²+(−12)²) = 13 olduğundan ifade en büyük değerindedir. sin x = 5/13 ve cos x = −12/13 olur. tan x = −5/12’dir.
Cevap: B
Örnek - 25
sin x / (1 + cos x) = 1 denkleminin [0, 2π) aralığındaki çözümü hangisidir?
A) π/4 B) π/2 C) π D) 3π/2 E) 7π/4
Sol taraf tan(x/2)’ye eşittir; ayrıca 1 + cos x ≠ 0 olmalıdır. tan(x/2) = 1 için x/2 = π/4 + kπ, yani x = π/2 + 2kπ bulunur. Verilen aralıkta tek çözüm π/2’dir.
Cevap: B
Dikkat
Denklemde her iki tarafı sin x veya cos x’e bölmek, bu ifadenin sıfır olduğu olası kökleri yok edebilir. Önce sıfır durumu ayrı incelenmeli, sonra bölme yapılmalıdır.
GRAFİKLE DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÇÖZÜMÜ
Kesişim, Kök Sayısı ve İşaret Aralığı
f(x) = g(x) denkleminin kökleri iki grafiğin kesiştiği x değerleridir. f(x) > g(x) eşitsizliğinde ise f grafiğinin g grafiğinin üstünde kaldığı aralıklar seçilir. Uç noktaların denklemi sağlayıp sağlamadığı, eşitsizlikte işaretin sıkı mı yoksa eşitlikli mi olduğu ayrıca kontrol edilir.
Örnek - 26
Aşağıdaki grafiğe göre sin x = 1/2 denkleminin [0°, 720°] aralığında kaç kökü vardır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Her 360°’lik periyotta sinüs eğrisi y = 1/2 doğrusunu 30° ve 150°’de iki kez keser. İki tam periyotta kesişimler 30°, 150°, 390° ve 510° olmak üzere dört tanedir.
A) (0, π) B) (π/6, 5π/6) C) [π/6, 5π/6]D) (5π/6, 2π) E) (π/6, 7π/6)
Eşitsizlik sin x > 1/2 biçimindedir. Sinüs grafiği y = 1/2 doğrusunun üstünde π/6 ile 5π/6 arasında kalır. İşaret sıkı olduğundan uçlar alınmaz.
Cevap: B
Örnek - 28
|cos x| = sin x denkleminin [0, 2π) aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?
A) π/2 B) π C) 3π/2 D) 2π E) 5π/2
Sol taraf negatif olamayacağı için sin x ≥ 0 olmalıdır; x, [0,π] aralığındadır. Bu aralıkta |cos x| = sin x eşitliği x = π/4 ve x = 3π/4 noktalarında sağlanır. Köklerin toplamı π’dir.
Cevap: B
Dikkat
Aralık sorularında önce iç açının hangi aralığı taradığı belirlenir. Örneğin x ∈ [0,2π) iken 3x − π/4 aynı aralıkta değildir; kök sayısı iç açının gerçek tarama aralığı üzerinden hesaplanır.
AYT İÇİN SON KONTROL LİSTESİ
1. Tanım koşuluPayda, tanjant ve kotanjantın tanımsız olduğu değerleri ayır.
2. Uygun dönüşümTek fonksiyon, özdeşlik, çarpanlara ayırma veya faz dönüşümünü seç.
3. Genel çözümPeriyodik bütün çözümleri k ∈ ℤ ile yaz.
4. Aralık süzmesiYalnız istenen aralıkta kalan kökleri seç ve uçları kontrol et.
5. Grafik doğrulamasıKök sayısını kesişim ve işaret aralıklarıyla karşılaştır.
Trigonometrik grafik ile denklem aynı yapının iki farklı gösterimidir: grafik tekrarın biçimini, denklem ise aynı yüksekliğe veya orana ulaşılan bütün açıları verir. AYT sorularında güvenli yol; tanım koşulunu başta yazmak, periyodu doğru belirlemek ve bulunan kökleri istenen aralıkta son kez sınamaktır.
