AYT logaritma konu anlatımı kapsamında logaritmanın tanımı ve koşulları, işlem kuralları, üstel ve logaritmik fonksiyonlar, grafikler, denklem ve eşitsizlikler, gerçek hayat modelleri işlenecektir. AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
ÜSTEL FONKSİYON
Tanım, Grafik ve Monotonluk
a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere f(x) = ax fonksiyonuna üstel fonksiyon denir. Tanım kümesi gerçek sayılar, değer kümesi pozitif gerçek sayılardır. Her üstel fonksiyon (0,1) noktasından geçer; x eksenini kesmez ve y = 0 doğrusu yatay asimptottur.
a > 1Artan fonksiyonx büyüdükçe ax büyür.
0 < a < 1Azalan fonksiyonx büyüdükçe ax küçülür.
Her iki durumdaax > 0Grafik x eksenini kesmez.
Örnek - 1
f(x) = ax−1 + 2, a > 0 ve a ≠ 1 fonksiyonu için f(3) = 11 olduğuna göre f(0) kaçtır?
A) 2 B) 73 C) 83 D) 3 E) 103
f(3) = a² + 2 = 11 olduğundan a² = 9 ve a pozitif olduğu için a = 3’tür. f(0) = 3−1 + 2 = 1/3 + 2 = 7/3 bulunur.
t = 2x > 0 alınırsa 4x = t² olur. t² − 5t + 4 = 0 denklemi (t − 1)(t − 4) = 0 biçimindedir. 2x = 1 için x = 0, 2x = 4 için x = 2; toplam 2’dir.
Cevap: B
Örnek - 3
f(x) = 32−x fonksiyonu için f(a) = 27 ve f(b) = 1/9 olduğuna göre a + b kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
27 = 3³ olduğundan 2 − a = 3 ve a = −1’dir. 1/9 = 3−2 olduğundan 2 − b = −2 ve b = 4’tür. Toplam 3 bulunur.
Cevap: C
LOGARİTMA FONKSİYONU VE TERS FONKSİYON İLİŞKİSİ
Üstel Biçimden Logaritmik Biçime
a > 0, a ≠ 1 ve x > 0 olmak üzere ay = x ⇔ logax = y eşdeğerliği logaritmanın tanımıdır. Logaritma fonksiyonu, aynı tabanlı üstel fonksiyonun tersidir. Bu nedenle y = ax ile y = logax grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
Logaritmada taban pozitif ve 1’den farklı, logaritması alınan ifade ise kesinlikle pozitif olmalıdır. Denklem çözüldükten sonra bu üç koşulu sağlamayan kökler elenir.
Örnek - 4
logx−1(x + 7) = 2 denkleminin çözümü hangisidir?
A) 3 − √332 B) 3 + √332 C) 4 D) 5 E) Çözüm yoktur.
Üstel biçim (x − 1)² = x + 7’dir. Buradan x² − 3x − 6 = 0 ve x = (3 ± √33)/2 bulunur. Tabanın pozitif olması x > 1 koşulunu verir; yalnız pozitif işaretli kök uygundur.
Cevap: B
Örnek - 5
f(x) = log2((x − 1)/(x + 3)) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi hangisidir?
A) (−3,1) B) (−∞,−3) ∪ (1,∞) C) (−∞,−3] ∪ [1,∞) D) (−3,∞) E) ℝ \ {−3}
Logaritmanın içi pozitif olmalıdır: (x − 1)/(x + 3) > 0. Kritik değerler −3 ve 1’dir. İşaret incelemesi ifadenin x < −3 veya x > 1 için pozitif olduğunu gösterir; uçlar alınmaz.
Cevap: B
Örnek - 6
f(x) = 3x + 2 olduğuna göre f−1(29) kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
f(x) = 29 eşitliği çözülür: 3x + 2 = 29, 3x = 27 ve x = 3. Dolayısıyla f−1(29) = 3’tür.
Cevap: B
LOGARİTMANIN İŞLEM KURALLARI
Çarpım, Bölüm ve Kuvvet
Logaritma, çarpımı toplama; bölümü çıkarma; kuvveti ise katsayıya dönüştürür. Buna karşılık toplamın veya farkın logaritması ayrı logaritmalara dağıtılamaz.
Çarpımloga(xy)= logax + logay
Bölümloga(x/y)= logax − logay
Kuvvetloga(xr)= r·logax
Kökloga√x= ½·logax
Örnek - 7
log248 − log23 işleminin sonucu kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
Aynı tabandaki fark bölümün logaritmasıdır: log2(48/3) = log216 = 4.
Cevap: B
Tabanlar Arasında Geçiş
Taban değiştirme bağıntısı, a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ve c ≠ 1 koşulları altında logab = logcb / logca biçiminde kullanılır. c tabanı, logaritmaların kolay hesaplanacağı biçimde seçilebilir.
Kısa örnek: log48 = log28 / log24 = 3/2.
Bu bağıntıdan logab · logba = 1 ve 1/logab = logba sonuçları da elde edilir.
Örnek - 8
log35 = a olduğuna göre log9125 ifadesinin a cinsinden değeri hangisidir?
√8 = 23/2 olduğundan ilk terim 3/2’dir. 4 = 2² ve 8 = 2³ olduğundan ikinci terim de 3/2’dir. Toplam 3’tür.
Cevap: C
Örnek - 10
log23 · log35 · log516 işleminin sonucu kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 8
Ardışık tabanlar sadeleşir: log23 · log35 = log25 ve bunun log516 ile çarpımı log216 = 4’tür.
Cevap: C
Örnek - 11
log2x + log2y = 5 ve log2x − log2y = 1 olduğuna göre x + y kaçtır?
A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 20
Denklemler taraf tarafa toplanırsa 2log2x = 6 ve x = 8 bulunur. Çıkarılırsa 2log2y = 4 ve y = 4’tür. Toplam 12 olur.
Cevap: C
Dikkat
loga(x + y), genel olarak logax + logay değildir. Toplama ve çıkarma işaretleri logaritmanın dışına dağıtılmaz; yalnız çarpım ve bölüm kuralları kullanılabilir.
TABAN DEĞİŞTİRME, ONLUK VE DOĞAL LOGARİTMA
Onluk ve doğal logaritma: Tabanı 10 olan logaritma log x, tabanı e olan logaritma ln x ile gösterilir.
Örnek - 12
(log27 · log75) / log225 işleminin sonucu kaçtır?
A) 1/4 B) 1/2 C) 1 D) 2 E) 4
Paydaki çarpım log25’tir. Payda log225 = log25² = 2log25 olduğundan oran 1/2 olur.
Cevap: B
Örnek - 13
log5125 + ln(e−2) işleminin sonucu kaçtır?
A) −1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
log5125 = 3 ve ln(e−2) = −2’dir. Toplam 1 bulunur.
Cevap: C
Basamak sayısı: Pozitif tam sayı N’nin onluk sistemdeki basamak sayısı ⌊log10N⌋ + 1 olur.
Çünkü d basamaklı pozitif tam sayılar için 10d−1 ≤ N < 10d eşitsizliği sağlanır.
Kısa örnek: 103 ≤ 1024 < 104 olduğundan 1024 dört basamaklıdır; ⌊log101024⌋ + 1 = 4.
Örnek - 14
log 7 ≈ 0,8451 olduğuna göre 720 sayısı kaç basamaklıdır?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 20
Pozitif bir N tam sayısının basamak sayısı ⌊log N⌋ + 1’dir. log(720) = 20·0,8451 = 16,902 olduğundan basamak sayısı 16 + 1 = 17’dir.
Cevap: C
ÜSTEL VE LOGARİTMİK DENKLEMLER
Ortak Taban, Değişken Dönüşümü ve Tanım Kontrolü
Üstel denklemde ifadeler aynı tabana çevrilebilir veya ax yerine pozitif bir değişken alınabilir. Logaritmik denklemde logaritmalar birleştirildikten sonra üstel biçime geçilir; bulunan her kök başlangıçtaki tanım koşullarında sınanır.
Tanım koşulu x > 2’dir. Logaritmalar aynı tarafa alınırsa log2[x(x − 2)] = 3 olur. x(x − 2) = 8 denkleminin kökleri 4 ve −2’dir; yalnız 4 uygundur.
Cevap: D
LOGARİTMİK EŞİTSİZLİKLER VE SIRALAMA
Tabana Göre Yön Değişimi
a > 1 iken logax artan, 0 < a < 1 iken azalan fonksiyondur. Bu nedenle ikinci durumda eşitsizlik yön değiştirir. Her iki durumda da logaritmanın içinin pozitif olma koşulu ayrıca korunur.
Tanım koşulu x > −2’dir. Taban 0 ile 1 arasında olduğundan yön değişir: x + 2 ≤ (1/2)−2 = 4, yani x ≤ 2. Kesişim (−2,2] olur.
Cevap: B
Örnek - 21
a = log23, b = log34 ve c = log48 olduğuna göre doğru sıralama hangisidir?
A) a < b < c B) b < c < a C) c < a < b D) b < a < c E) c < b < a
23/2 = 2√2 < 3 olduğundan a > 3/2’dir. 33/2 = 3√3 > 4 olduğundan b < 3/2’dir. c = log48 = 3/2 olduğuna göre b < c < a’dır.
Cevap: B
Örnek - 22
logx8 > logx4 eşitsizliğini sağlayan x değerleri hangisidir?
A) 0 < x < 1 B) x > 1 C) x > 0 D) x < 0 E) x ≠ 1
8 > 4 olduğuna göre sıralamanın aynı kalması için logaritma fonksiyonu artan olmalıdır. Bu da x > 1 koşulunu verir. 0 < x < 1 için yön tersine döner.
Cevap: B
Dikkat
Logaritmik eşitsizlikte yalnız tabana bakarak yön değiştirmek yeterli değildir. Tabanın koşulları ve her logaritma içinin pozitifliği, elde edilen aralıkla mutlaka kesiştirilmelidir.
LOGARİTMA GRAFİKLERİ VE DÖNÜŞÜMLER
Öteleme, Yansıma ve Asimptot
y = loga(x − h) + k grafiği, y = logax grafiğinin h birim yatay ve k birim düşey ötelenmiş biçimidir. Tanım koşulu x − h > 0, düşey asimptot x = h’dir. İçerideki katsayı veya eksi işareti grafiğin yönünü ve tanım aralığını birlikte etkiler.
Örnek - 23
Aşağıdaki grafik f(x) = loga(x + 1) fonksiyonuna aittir. Grafik (1,1) noktasından geçtiğine göre a + f(7) kaçtır?
A) Tanım kümesi (4,∞)’dir. B) x = −4 düşey asimptottur. C) Fonksiyon artandır. D) Tanım kümesi (−∞,4)’tür ve fonksiyon azalandır. E) Değer kümesi (1,∞)’dir.
4 − x > 0 olduğundan x < 4 ve düşey asimptot x = 4’tür. x büyüdükçe 4 − x küçülür; taban 2’de logaritma artan olsa da iç fonksiyon azaldığı için bileşke azalandır. Değer kümesi ℝ’dir.
Cevap: D
LOGARİTMANIN MODELLEME UYGULAMALARI
Basamak, Ses, Deprem, Üreme ve Bozunma
Logaritmik ölçeklerde eşit aralıklar, ölçülen büyüklüğün eşit miktarda değil eşit katlarda değiştiğini gösterir. Richter ölçeğinde büyüklük farkı genlik oranının 10 tabanındaki logaritmasına; desibelde düzey farkı şiddet oranının 10 kat logaritmasına dayanır. Üstel büyüme ve bozunmada süreyi bulmak için logaritma kullanılır.
Basamak sayısı: N pozitif tam sayıdır; bu kartta log, 10 tabanındaki logaritmayı belirtir.
Ses düzeyi: L ses düzeyini desibel (dB) cinsinden, I ölçülen ses şiddetini, I₀ aynı birimdeki referans şiddetini gösterir.
Üstel büyüme: Formüldeki N, t zaman birimi sonundaki miktarı; N₀, t = 0 anındaki başlangıç miktarını; a, her zaman birimindeki çarpan faktörünü gösterir. Büyümede a > 1’dir.
Yarılanma: Formüldeki N kalan miktarı, N₀ başlangıç miktarını, T yarılanma süresini ve t geçen süreyi gösterir; t ile T aynı zaman biriminde ölçülür.
Basamak sayısı⌊log N⌋ + 1N pozitif tam sayı
Ses düzeyiL = 10 log(I/I₀)
Üstel büyümeN = N₀·at
YarılanmaN = N₀·(1/2)t/T
Örnek - 25
Aynı ölçekte 5,2 ve 7,2 büyüklüğündeki iki depremin genlikleri A₁ ve A₂’dir. Büyüklük farkı log(A₂/A₁) ile verildiğine göre A₂/A₁ kaçtır?
A) 20 B) 50 C) 100 D) 200 E) 1000
Büyüklük farkı 7,2 − 5,2 = 2’dir. log(A₂/A₁) = 2 olduğundan A₂/A₁ = 10² = 100 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 26
Başlangıçta 500 bakteri bulunan bir kültürde bakteri sayısı her 30 dakikada iki katına çıkmaktadır. Bakteri sayısı kaç saat sonra 32.000 olur?
A) 2 B) 2,5 C) 3 D) 3,5 E) 4
32.000/500 = 64 = 2⁶ olduğundan altı ikiye katlanma gerekir. Her biri 30 dakika sürdüğü için toplam 180 dakika, yani 3 saattir.
Cevap: C
Örnek - 27
Aşağıdaki ikizkenar üçgenin çevresi 18 birimdir. x > 1 olduğuna göre x kaçtır?
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32
L = log2x olsun. Eş kenarların her biri log2(8x) = 3 + L, taban 2L’dir. Çevre 2(3 + L) + 2L = 6 + 4L = 18 olduğundan L = 3 ve x = 2³ = 8’dir.
Cevap: C
Örnek - 28
Bir sesin düzeyi L = 10log(I/I₀) bağıntısıyla ölçülüyor. Ses düzeyi 30 dB arttığında şiddet kaç katına çıkar?
A) 30 B) 100 C) 300 D) 1000 E) 10.000
Düzey farkı 30 = 10log(I₂/I₁) verir. Buradan log(I₂/I₁) = 3 ve I₂/I₁ = 10³ = 1000 olur.
Cevap: D
Örnek - 29
Yarılanma ömrü 5730 yıl olan karbon-14 örneğinin başlangıç kütlesi 800 gramdır. Kütlenin 100 grama düşmesi için kaç yıl geçmelidir?
A) 5730 B) 11.460 C) 17.190 D) 22.920 E) 28.650
100/800 = 1/8 = (1/2)³ olduğundan üç yarılanma süresi geçmiştir. 3·5730 = 17.190 yıl bulunur.
0.” />
−1 tanım koşulu gösterilir.” />
