AYT trigonometri formülleri konu anlatımı kapsamında temel trigonometrik özdeşlikler, toplam-fark, iki kat ve yarım açı formülleri, dönüşümler ve kesin değer uygulamaları işlenecektir. AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
TEMEL TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER
Oran ve Ters Fonksiyon Özdeşlikleri
Bir trigonometrik oran diğerleri cinsinden yazılırken tanım kümesi korunur. Aşağıdaki eşitliklerde payda sıfır olamaz:
tan xsin x / cos x
cot xcos x / sin x
sec x1 / cos x
cosec x1 / sin x
Örnek - 1
x açısı II. bölgede ve sin x = 3/5 olduğuna göre (1 − sin x) / cos x kaçtır?
A) −2
B) −1/2
C) 1/2
D) 3/4
E) 2
II. bölgede cos x negatiftir. Pisagor özdeşliğinden cos x = −4/5 bulunur. (1 − 3/5) / (−4/5) = (2/5) · (−5/4) = −1/2 olur.
Cevap: B
Örnek - 2
sin x · cos x ≠ 0 olmak üzere (1 − cos2x) / (sin x · cos x) ifadesinin en sade biçimi hangisidir?
A) sin x
B) cos x
C) tan x
D) cot x
E) sec x
1 − cos2x = sin2x yazılır. sin2x / (sin x · cos x) = sin x / cos x = tan x olur.
Cevap: C
Pisagor Özdeşlikleri
sin2x + cos2x1
1 + tan2xsec2x
1 + cot2xcosec2x
İkinci ve üçüncü eşitlik, sin2x + cos2x = 1 özdeşliğinin sırasıyla cos2x ve sin2x ile bölünmesinden elde edilir. Bu nedenle özdeşlik kullanılmadan önce ilgili paydanın sıfır olmadığı göz önünde tutulur.
Örnek - 3
tan x + cot x = 5 olduğuna göre tan2x + cot2x kaçtır?
A) 21
B) 23
C) 25
D) 27
E) 29
tan x · cot x = 1’dir. Verilen eşitliğin karesi alınırsa tan2x + 2 + cot2x = 25 olur. İstenen toplam 23’tür.
Cevap: B
Örnek - 4
x dar açı ve sec x − tan x = 1/3 olduğuna göre sin x kaçtır?
A) 3/5
B) 4/5
C) 5/6
D) 8/9
E) 12/13
sec2x − tan2x = 1 olduğundan (sec x − tan x)(sec x + tan x) = 1’dir. Buna göre sec x + tan x = 3 olur. İki eşitlik toplanınca sec x = 5/3, çıkarılınca tan x = 4/3 bulunur. sin x = tan x / sec x = 4/5’tir.
Cevap: B
Dikkat
Bir eşitliğin cebirsel olarak sadeleşmesi tanım kümesini genişletmez. Örneğin sin x / sin x ifadesi 1’e sadeleşse de başlangıçtaki ifade sin x = 0 olan açılarda tanımsızdır.
ÖZDEŞLİKLERDE SADELEŞTİRME VE DÖNÜŞTÜRME
Eşlenikle Çarpma ve Ortak Payda
Paydada 1 ± sin x veya 1 ± cos x bulunduğunda eşlenikle çarpma, Pisagor özdeşliğini görünür hâle getirir. İşlem yönü, daha karmaşık olan tarafı daha sade olan tarafa dönüştürecek biçimde seçilir.
Örnek - 5
cos x ≠ 0 ve sin x ≠ 1 olmak üzere
(1 − sin x) / cos x + cos x / (1 − sin x)
ifadesinin eşiti hangisidir?
A) 2sin x
B) 2cos x
C) 2tan x
D) 2sec x
E) 2cosec x
Ortak paydada pay (1 − sin x)2 + cos2x olur. Açılırsa 1 − 2sin x + sin2x + cos2x = 2(1 − sin x) elde edilir. Sadeleştirme sonucunda 2/cos x = 2sec x bulunur.
Cevap: D
Örnek - 6
tan x ve cot x, z2 − (10/3)z + 1 = 0 denkleminin kökleridir. Buna göre denklemin diskriminantı kaçtır?
A) 16/9
B) 25/9
C) 49/9
D) 64/9
E) 100/9
Köklerin çarpımı tan x · cot x = 1, toplamı 10/3’tür. Diskriminant (kökler farkı)2 değerine eşittir: (10/3)2 − 4 · 1 = 100/9 − 36/9 = 64/9.
Cevap: D
SİNÜS VE KOSİNÜS TOPLAM-FARK FORMÜLLERİ
Formüllerin İşaret Düzeni
sin(α + β)sin α cos β + cos α sin β
sin(α − β)sin α cos β − cos α sin β
cos(α + β)cos α cos β − sin α sin β
cos(α − β)cos α cos β + sin α sin β
Sinüs formülünde parantezin işareti korunur. Kosinüs formülünde ise ortadaki işaret parantezdekine göre ters döner. Formüllerin kaynağı, bir açının koordinat izdüşümlerinin ikinci bir açı kadar döndürülmesidir; işlem sırasında sinüs ve kosinüs bileşenleri bu nedenle çapraz çarpımlarla birleşir.
tan(45° + 30°) = (1 + 1/√3) / (1 − 1/√3) olur. Pay ve payda √3 ile çarpılıp sadeleştirildiğinde 2 + √3 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 12
sin55°cos10° − cos55°sin10° ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1/2
B) √2/2
C) √3/2
D) 1
E) (√6 + √2)/4
İfade sin(55° − 10°) yapısındadır. sin45° = √2/2 bulunur.
Cevap: B
Dikkat
sin(α + β), sin α + sin β değildir. Toplam-fark formüllerinde trigonometrik fonksiyon parantezin içine doğrusal olarak dağılmaz; çarpımlı dört terimli yapı kullanılır.
TANJANT VE KOTANJANT TOPLAM-FARK FORMÜLLERİ
Payda Koşulu ve Formül Kullanımı
tan(α + β)(tan α + tan β) / (1 − tan α tan β)
tan(α − β)(tan α − tan β) / (1 + tan α tan β)
cot(α + β)(cot α cot β − 1) / (cot α + cot β)
cot(α − β)(cot α cot β + 1) / (cot β − cot α)
Tanjant formülünün paydası sıfırsa bileşik açı 90°nin tek katına karşılık gelir ve tanjant tanımsız olur. Kotanjant formülü doğrudan kullanılabileceği gibi önce tanjant hesaplanıp çarpmaya göre tersi de alınabilir.
Örnek - 13
ABCD karesinin bir kenarı 6 birimdir. E noktası BC üzerinde ve BE = 2 birim; F noktası CD üzerinde ve CF = 2 birimdir. α = ∠BAE ve β = ∠BAF olduğuna göre tan(α + β) kaçtır?
A) 5/3
B) 7/3
C) 11/3
D) 14/3
E) 17/3
A köşesi başlangıç alınırsa tan α = BE/AB = 2/6 = 1/3’tür. F noktasının A’ya göre yatay uzaklığı 4, düşey uzaklığı 6 olduğundan tan β = 6/4 = 3/2’dir. tan(α + β) = (1/3 + 3/2) / (1 − 1/2) = (11/6) / (1/2) = 11/3 olur.
Cevap: C
Örnek - 14
α ve β dar açılar, cot α = 2 ve cot β = 3 olduğuna göre cot(α + β) kaçtır?
İki kat açı formülleri toplam formüllerinde α = β = x alınarak elde edilir. Kosinüs için üç eşdeğer biçim bulunması, soruda verilen orana göre doğrudan seçim yapılmasını sağlar.
Örnek - 15
x açısı II. bölgede ve sin x = 5/13 olduğuna göre sin 2x kaçtır?
A) −120/169
B) −60/169
C) 60/169
D) 120/169
E) 144/169
II. bölgede cos x = −12/13’tür. sin2x = 2 · 5/13 · (−12/13) = −120/169 olur.
Cevap: A
Örnek - 16
x dar açı ve cos 2x = 7/25 olduğuna göre tan x kaçtır?
A) 1/2
B) 3/4
C) 4/3
D) 7/5
E) 5/3
cos2x = (1 − tan2x)/(1 + tan2x) yazılır. tan2x = (1 − cos2x)/(1 + cos2x) = (18/25)/(32/25) = 9/16’dır. x dar açı olduğundan tan x = 3/4 alınır.
Cevap: B
Örnek - 17
tan x = 2 olduğuna göre tan 2x kaçtır?
A) −4
B) −4/3
C) −2/3
D) 4/3
E) 4
tan2x = 2 · 2 / (1 − 22) = 4/(−3) = −4/3’tür.
Cevap: B
Örnek - 18
sin x + cos x = 1/2 olduğuna göre sin 2x kaçtır?
A) −1
B) −3/4
C) −1/2
D) 1/2
E) 3/4
Eşitliğin karesi alınır: sin2x + cos2x + 2sinxcosx = 1/4. Buradan 1 + sin2x = 1/4, dolayısıyla sin2x = −3/4 bulunur.
Cevap: B
Dikkat
tan x = ±1 olduğunda tan 2x formülünün paydası sıfır olur. Bu durumda 2x açısı 90°nin tek katına denk gelir ve tan 2x tanımsızdır; sonuç sonsuz olarak yazılmaz.
YARIM AÇI VE KUVVET AZALTMA FORMÜLLERİ
İşaretin Bölgeden Belirlenmesi
sin2(x/2)(1 − cos x) / 2
cos2(x/2)(1 + cos x) / 2
tan(x/2)sin x / (1 + cos x) (1 − cos x) / sin x
Kareli yarım açı bağıntıları işareti tek başına belirlemez. Karekök alındığında x/2 açısının bulunduğu bölge kontrol edilir. Kuvvet azaltma formülleri de aynı eşitliklerin cos x veya sin x için düzenlenmiş biçimleridir.
Örnek - 19
x açısı III. bölgede ve cos x = −7/25 olduğuna göre sin(x/2) kaçtır?
A) −4/5
B) −3/5
C) 3/5
D) 4/5
E) 24/25
x ∈ (180°,270°) olduğundan x/2 ∈ (90°,135°) ve sin(x/2) pozitiftir. sin2(x/2) = (1 + 7/25)/2 = (32/25)/2 = 16/25 olur. Pozitif kök 4/5’tir.
Cevap: D
Örnek - 20
x açısı IV. bölgede ve cos x = 3/5 olduğuna göre tan(x/2) kaçtır?
A) −2
B) −1/2
C) 1/2
D) 2
E) 4/3
IV. bölgede sin x = −4/5’tir. tan(x/2) = sinx/(1 + cosx) = (−4/5)/(8/5) = −1/2 olur. Ayrıca x/2 II. bölgede olduğundan negatif işaret bölgeyle uyumludur.
cos A − cos B dönüşümündeki eksi işareti formülün önündedir. Ayrıca sin(A−B) negatif olabileceği için açıların büyüklük sırası sonucun işaretini doğrudan etkiler.
A·SİN X + B·COS X BİÇİMİ
Genlik ve Faz Dönüşümü
a sin x + b cos x ifadesinde R = √(a2 + b2) alınır. cos φ = a/R ve sin φ = b/R seçilirse ifade R sin(x + φ) biçimine dönüşür. Böylece ifadenin alabileceği değerler [−R,R] aralığındadır.
Örnek - 24
x dar açı ve 3sin x + 4cos x = 5 olduğuna göre tan x kaçtır?
A) 1/2
B) 3/4
C) 4/3
D) 5/4
E) 2
3sin x + 4cos x ifadesinin en büyük değeri √(32 + 42) = 5’tir. Eşitliğin sağlanması için (sin x, cos x) vektörü (3/5,4/5) ile aynı yönde olmalıdır. Bu nedenle tan x = (3/5)/(4/5) = 3/4’tür.
Cevap: B
FORMÜLLERİN GEOMETRİK UYGULAMALARI
Üçgen ve Çemberde Açı Birleştirme
Örnek - 25
AB çaplı yarım çember üzerinde C noktası alınmıştır. |AC| = 6 ve |BC| = 8 birimdir. α = ∠CAB ve β = ∠CBA olduğuna göre sin(α − β) kaçtır?
A) 7/25
B) 9/25
C) 12/25
D) 16/25
E) 24/25
Çapı gören çevre açı 90° olduğundan ABC bir 6-8-10 dik üçgenidir. sinα = 8/10, cosα = 6/10; sinβ = 6/10, cosβ = 8/10’dur. sin(α−β) = sinαcosβ − cosαsinβ = 64/100 − 36/100 = 7/25 olur.
Cevap: A
Örnek - 26
x dar açı ve sin x = 1/3 olduğuna göre sin 3x kaçtır?
A) 5/27
B) 17/27
C) 23/27
D) 25/27
E) 1
sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx + cos2xsinx bağıntısı düzenlendiğinde sin3x = 3sinx − 4sin3x elde edilir. 3 · 1/3 − 4 · 1/27 = 1 − 4/27 = 23/27 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 27
α ve β dar açılar, tan α = 2 ve tan(α − β) = 1/3 olduğuna göre tan β kaçtır?
A) 1/2
B) 5/7
C) 1
D) 7/5
E) 3/2
t = tanβ olsun. (2 − t)/(1 + 2t) = 1/3 yazılır. 6 − 3t = 1 + 2t olduğundan 5 = 5t ve tanβ = 1 bulunur.
Cevap: C
Karelerde Açı Farkı
Örnek - 28
Yan yana duran eş iki karenin bir kenarı 4 birimdir. Sol alttaki A köşesinden, ilk karenin sağ üst köşesi D’ye ve ikinci karenin sağ üst köşesi E’ye doğru parçaları çiziliyor. x = ∠DAE olduğuna göre tan x kaçtır?
A) 1/4
B) 1/3
C) 1/2
D) 2/3
E) 3/4
AD doğrusunun yatayla yaptığı açının tanjantı 4/4 = 1, AE doğrusununki 4/8 = 1/2’dir. x bu iki açının farkıdır. tan x = (1 − 1/2)/(1 + 1 · 1/2) = (1/2)/(3/2) = 1/3 olur.
Cevap: B
Dikkat
Geometrik soruda bulunan sinüs, kosinüs veya tanjant değeri bir uzunluk değil orandır. Şekildeki doğru parçaları arasında açı taşınırken paralellik, diklik ve yön bilgisi korunmadan doğrudan formül uygulanamaz.
