AYT trigonometri konu anlatımı kapsamında yönlü açılar, derece-radyan dönüşümü, esas ölçü, birim çember, trigonometrik fonksiyonlar ve özel açı değerleri işlenecektir. AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
YÖNLÜ AÇILAR VE AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ
Pozitif ve Negatif Yön
Bir açının kenarlarından biri başlangıç, diğeri bitim kenarı olarak seçilirse yönlü açı elde edilir. Başlangıç kenarından bitim kenarına saat yönünün tersinde dönülüyorsa açı pozitif, saat yönünde dönülüyorsa negatiftir. Aynı başlangıç ve bitim kenarına sahip açıların ölçüleri birbirinden 360° veya 2π’nin tam katı kadar farklı olabilir.
↶Pozitif yönSaat yönünün tersi
↷Negatif yönSaat yönü
Derecenin alt birimleri dakika ve saniyedir: 1° = 60′ ve 1′ = 60″. Toplama ve çıkarma işlemlerinde saniye, dakika ve derece kendi türleri arasında işleme alınır; 60 birim oluştuğunda bir üst basamağa aktarılır.
Örnek - 1
23° 48′ 75″ − 12° 35′ 50″ işleminin sonucu kaçtır?
A) 11° 12′ 25″
B) 11° 13′ 15″
C) 11° 13′ 25″
D) 11° 14′ 15″
E) 12° 13′ 25″
75″ = 1′ 15″ olduğundan ilk açı 23° 49′ 15″tir. 15″ten 50″ çıkarmak için bir dakika ödünç alınır: 23° 48′ 75″ − 12° 35′ 50″ = 11° 13′ 25″.
Cevap: C
Derece ve Radyan
Yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsü 1 radyandır. Tam çember 360° ya da 2π radyan olduğundan
180° = π radyan ve D / 180 = R / π
eşitliği kullanılır. Dereceden radyana geçerken π/180 ile, radyandan dereceye geçerken 180/π ile çarpılır.
Örnek - 2
17π/12 radyanlık açının derece cinsinden ölçüsü kaçtır?
A) 225°
B) 240°
C) 255°
D) 270°
E) 285°
17π/12 · 180/π = 17 · 15 = 255° bulunur.
Cevap: C
Örnek - 3
α = 48° ve β = 7π/15 radyan olduğuna göre 3α − 2β açısının esas ölçüsü kaç radyandır?
A) 2π/15
B) 14π/15
C) 16π/15
D) 26π/15
E) 28π/15
48° = 4π/15 radyandır. 3α − 2β = 3 · 4π/15 − 2 · 7π/15 = −2π/15 olur. Bir tam tur eklenirse esas ölçü −2π/15 + 30π/15 = 28π/15 bulunur.
Cevap: E
Esas Ölçü
Bir açının [0°, 360°) ya da [0, 2π) aralığındaki eş yönlü ölçüsüne esas ölçü denir. Dereceli açılarda 360’a, radyanlı açılarda 2π’ye göre kalan bulunur. Negatif kalan elde edilirse bir tam tur eklenir.
Örnek - 4
765°lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 35
B) 40
C) 45
D) 50
E) 55
765 = 2 · 360 + 45 olduğundan esas ölçü 45°dir.
Cevap: C
Örnek - 5
−23π/6 radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
A) π/6
B) π/3
C) 5π/6
D) 7π/6
E) 11π/6
Bir tam tur 12π/6’dır. −23π/6 + 24π/6 = π/6 olduğundan esas ölçü π/6’dır.
Cevap: A
Örnek - 6
Başlangıç kolu pozitif x ekseni olan bir açı, saat yönünde 990° döndürülüyor. Bitim kolunun pozitif x ekseniyle yaptığı esas açı kaç derecedir?
A) 30
B) 60
C) 90
D) 270
E) 330
Saat yönü negatif olduğundan açı −990°dir. −990 + 3 · 360 = 90 olduğundan bitim kolu pozitif y ekseni üzerindedir.
Cevap: C
Dikkat
Esas ölçü negatif olamaz; fakat yönlü açının kendisi negatif olabilir. Soru “açının ölçüsü” diyorsa işaret korunur, “esas ölçü” diyorsa sonuç belirtilen yarı açık aralığa taşınır.
BİRİM ÇEMBER VE KOORDİNAT İLİŞKİSİ
Birim Çember Denklemi
Merkezi orijin, yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. Üzerindeki P(x,y) noktası
x2 + y2 = 1
eşitliğini sağlar. P noktasına çizilen yarıçapın pozitif x ekseniyle yaptığı yönlü açı α ise P’nin koordinatları (cos α, sin α)’dır.
Örnek - 7
P(x,y) birim çemberin III. bölgesinde ve x = 2y olduğuna göre x · y kaçtır?
A) −2/5
B) −1/5
C) 1/5
D) 2/5
E) 4/5
x = 2y ifadesi x2 + y2 = 1’de kullanılırsa 5y2 = 1 olur. x · y = 2y2 = 2/5’tir. III. bölgede x ve y’nin ikisi de negatif olduğundan çarpım pozitiftir.
Cevap: D
Örnek - 8
P(a,−12/13) noktası birim çemberin IV. bölgesindedir. Buna göre a − 12/13 kaçtır?
A) −17/13
B) −12/13
C) −7/13
D) 5/13
E) 17/13
a2 + 144/169 = 1 olduğundan a2 = 25/169’dur. IV. bölgede apsis pozitif olduğu için a = 5/13 alınır. a − 12/13 = −7/13 olur.
Cevap: C
Açıdan Noktaya Geçiş
Pozitif x ekseninden başlayan ışın α kadar döndürüldüğünde birim çemberi P(cos α, sin α) noktasında keser. İşaretler, P’nin bulunduğu bölgeden; mutlak değerler ise eksenlere yapılan izdüşümlerden okunur.
Örnek - 9
Ölçüsü −120° olan açının birim çember üzerindeki bitim noktası hangisidir?
A) (1/2,√3/2)
B) (−1/2,√3/2)
C) (−1/2,−√3/2)
D) (1/2,−√3/2)
E) (−√3/2,−1/2)
−120°nin esas ölçüsü 240°dir. Referans açı 60°, bölge III olduğundan kosinüs ve sinüs negatiftir. Nokta (−1/2,−√3/2)’dir.
Cevap: C
Örnek - 10
7π/6 açısının birim çember üzerindeki bitim noktasının koordinatları hangisidir?
A) (−√3/2,−1/2)
B) (−1/2,−√3/2)
C) (1/2,−√3/2)
D) (√3/2,−1/2)
E) (−√3/2,1/2)
7π/6 = 210° ve referans açı 30°dir. III. bölgede iki koordinat da negatif olduğundan nokta (−√3/2,−1/2)’dir.
Cevap: A
SİNÜS VE KOSİNÜS FONKSİYONLARI
Koordinat Tanımı ve Değer Aralığı
Birim çemberde P(cos α, sin α) olduğundan kosinüs yatay koordinatı, sinüs düşey koordinatı verir. Her iki koordinat da −1 ile 1 arasındadır:
cos αP’nin apsisi−1 ≤ cos α ≤ 1
sin αP’nin ordinatı−1 ≤ sin α ≤ 1
Temel bağBirim çember denklemisin2α + cos2α = 1
Örnek - 11
P(−3/5,4/5) birim çember üzerinde α açısının bitim noktasıdır. Buna göre sin α + tan α kaçtır?
A) −8/15
B) −4/15
C) 4/15
D) 8/15
E) 16/15
sin α = 4/5, cos α = −3/5 ve tan α = (4/5)/(−3/5) = −4/3’tür. Toplam 4/5 − 4/3 = −8/15 olur.
Cevap: A
Örnek - 12
sin x = 2m − 3 eşitliğini sağlayan bir reel x bulunduğuna göre m’nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
−1 ≤ 2m − 3 ≤ 1 eşitsizliğinden 1 ≤ m ≤ 2 bulunur. Tam sayı değerleri 1 ve 2’nin toplamı 3’tür.
Cevap: C
Örnek - 13
3sin x − 4cos x ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) 25
a sin x + b cos x ifadesinin en büyük değeri √(a2 + b2)’dir. Burada √(32 + (−4)2) = 5 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 14
m = 4sin x + 3cos x olacak biçimde bir reel x bulunabildiğine göre m kaç farklı tam sayı değeri alabilir?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
İfadenin değer aralığı [−5,5]’tir. Bu aralıkta −5’ten 5’e kadar 11 tam sayı vardır.
Cevap: C
TANJANT, KOTANJANT, SEKANT VE KOSEKANT
Oran Tanımları ve Tanımsızlık
Sinüs ve kosinüsten türetilen diğer fonksiyonlar aşağıdaki biçimdedir:
Fonksiyon
Tanım
Tanımsız olduğu açılar
Değer kümesi
tan x
sin x / cos x
x = π/2 + kπ
ℝ
cot x
cos x / sin x
x = kπ
ℝ
sec x
1 / cos x
x = π/2 + kπ
(−∞,−1] ∪ [1,∞)
cosec x
1 / sin x
x = kπ
(−∞,−1] ∪ [1,∞)
Örnek - 15
sin x = −5/13 ve x açısının bitim kolu IV. bölgede olduğuna göre sec x + cosec x kaçtır?
A) −169/60
B) −91/60
C) −7/60
D) 7/60
E) 91/60
IV. bölgede cos x pozitiftir. Temel bağıntıdan cos x = 12/13 bulunur. sec x = 13/12 ve cosec x = −13/5 olduğundan toplam 13/12 − 13/5 = −91/60’tır.
Cevap: B
Örnek - 16
tan x = −4/3 ve cos x < 0 olduğuna göre sin x − cos x kaçtır?
A) −7/5
B) −1/5
C) 1/5
D) 7/5
E) 5/3
Tanjant negatif, kosinüs negatif olduğundan açı II. bölgededir ve sinüs pozitiftir. 3-4-5 üçgeninden sin x = 4/5, cos x = −3/5 alınır. Fark 7/5’tir.
Cevap: D
Örnek - 17
sec x = m/2 eşitliğini sağlayan bir reel x bulunuyor. −4 < m < 5 olduğuna göre m kaç farklı tam sayı değeri alabilir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Sekantın mutlak değeri en az 1 olduğundan |m/2| ≥ 1, yani |m| ≥ 2 olmalıdır. Verilen aralıktaki uygun tam sayılar −3, −2, 2, 3 ve 4’tür; toplam 5 değer vardır.
Cevap: C
Örnek - 18
0 ≤ x < 2π aralığında tan x ve cosec x fonksiyonlarından en az birinin tanımsız olduğu kaç farklı x değeri vardır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
tan x; π/2 ve 3π/2’de, cosec x; 0 ve π’de tanımsızdır. Kümeler ayrık olduğundan toplam 4 değer vardır.
Cevap: C
Dikkat
Bir kesrin paydası sıfır olamaz. Tanjant ve sekant için kosinüsün; kotanjant ve kosekant için sinüsün sıfır olduğu açılar tanım kümesinden çıkarılır.
BÖLGELERE GÖRE İŞARET VE SIRALAMA
Dört Bölgede Fonksiyonların İşaretleri
Sinüs y koordinatının, kosinüs x koordinatının işaretini alır. Tanjant ve kotanjant sinüs ile kosinüsün oranlarıdır; işaretleri bu iki koordinatın aynı ya da farklı işaretli olmasına bağlıdır.
I. Bölgesin + cos +tan + cot +
II. Bölgesin + cos −tan − cot −
III. Bölgesin − cos −tan + cot +
IV. Bölgesin − cos +tan − cot −
Örnek - 19
sin 210° · cos 330° · tan 135° · cot 300° işleminin sonucu kaçtır?
A) −1/2
B) −1/4
C) 0
D) 1/4
E) 1/2
sin210° = −1/2, cos330° = √3/2, tan135° = −1 ve cot300° = −1/√3’tür. Çarpım −1/4 olur.
Cevap: B
Örnek - 20
sin a · cos a < 0 ve tan a < 0 olduğuna göre a açısının bitim kolu hangi bölgelerde olabilir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız IV
D) II veya IV
E) I veya III
Sinüs ve kosinüsün çarpımının negatif olması koordinatların zıt işaretli olduğunu gösterir. Bu durumda tanjant da negatiftir. Koşullar II. ve IV. bölgelerde sağlanır.
Cevap: D
Dar Açıya Göre Karşılaştırma
I. bölgede açı arttıkça sinüs ve tanjant artar; kosinüs ve kotanjant azalır. Diğer bölgelerde önce fonksiyonun işareti ve referans açısı belirlenir. İsim değiştiren ayrıntılı indirgeme kuralları sonraki özdeşlik yazısında ele alınacaktır.
Örnek - 21
a = sin20°, b = cos50° ve c = sin80° olduğuna göre küçükten büyüğe sıralama hangisidir?
A) a < b < c
B) a < c < b
C) b < a < c
D) b < c < a
E) c < b < a
cos50° = sin40°tır. I. bölgede sinüs açıyla arttığından sin20° < sin40° < sin80° olur; yani a < b < c.
Cevap: A
Örnek - 22
a = cos150°, b = cos280° ve c = cos300° olduğuna göre küçükten büyüğe sıralama hangisidir?
A) a < b < c
B) a < c < b
C) b < a < c
D) b < c < a
E) c < b < a
cos150° = −√3/2, cos280° = cos80° ve cos300° = 1/2’dir. cos80° pozitif ve 1/2’den küçük olduğundan a < b < c olur.
Cevap: A
ÖZEL AÇILAR VE EKSEN ÜZERİNDEKİ DEĞERLER
30°, 45° ve 60°
Özel açı değerleri 30°-60°-90° ve 45°-45°-90° üçgenlerinden elde edilir. Birim çemberde bölge değiştiğinde mutlak değer referans açıdan, işaret bölgeden gelir.
α
sin α
cos α
tan α
cot α
0°
0
1
0
Tanımsız
30°
1/2
√3/2
√3/3
√3
45°
√2/2
√2/2
1
1
60°
√3/2
1/2
√3
√3/3
90°
1
0
Tanımsız
0
Örnek - 23
sin30° · cos60° + tan45° · cot45° işleminin sonucu kaçtır?
A) 1/2
B) 3/4
C) 1
D) 5/4
E) 3/2
sin30° · cos60° = 1/4 ve tan45° · cot45° = 1’dir. Toplam 5/4 olur.
Cevap: D
Örnek - 24
0 ≤ x < 2π aralığında sin x = cos x eşitliğini sağlayan kaç farklı x vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Kosinüsün sıfır olduğu açılar eşitliği sağlamaz. Eşitlik tan x = 1 anlamına gelir; I. ve III. bölgelerde x = π/4 ve x = 5π/4 olmak üzere iki çözüm vardır.
Cevap: B
Dikkat
Özel açı değeri ezberlenirken işaret sabit değildir. Örneğin sin30° = 1/2 iken sin210° = −1/2’dir; aynı referans açı korunur, işareti bölge belirler.
DİK ÜÇGEN VE BİRİM ÇEMBER UYGULAMALARI
Uzunluk, Alan ve Teğet Ekseni
Dar açılı dik üçgende sinüs karşı/hipotenüs, kosinüs komşu/hipotenüs, tanjant karşı/komşu ve kotanjant komşu/karşı oranıdır. Birim çember çizimlerinde koordinat ve uzunluklar işaretli olabilir; geometrik uzunluk yazılırken sonuç pozitif alınır.
Örnek - 25
Birim çemberde P(cos α,sin α) noktası I. bölgededir. P’den eksenlere indirilen dikmelerin oluşturduğu dikdörtgenin alanı 12/25 ve sin α < cos α olduğuna göre tan α kaçtır?
A) 3/5
B) 3/4
C) 4/5
D) 4/3
E) 5/3
Dikdörtgenin alanı sin α · cos α = 12/25’tir. sin2α + cos2α = 1 ve sin α < cos α koşullarından sin α = 3/5, cos α = 4/5 bulunur. tan α = 3/4’tür.
Cevap: B
Örnek - 26
Birim çemberde P(−5/13,12/13) noktasının eksenlere izdüşümleriyle oluşan dik üçgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 15/169
B) 25/169
C) 30/169
D) 60/169
E) 120/169
Dik kenar uzunlukları koordinatların mutlak değerleri olan 5/13 ve 12/13’tür. Alan 1/2 · 5/13 · 12/13 = 30/169 olur.
Cevap: C
Örnek - 27
I. bölgede tan α = 3/2’dir. α ışınının x = 1 tanjant eksenini kestiği T noktası için |OT| kaçtır?
A) √5/2
B) √10/2
C) √13/2
D) 5/2
E) 13/4
T noktasının koordinatları (1,tan α) = (1,3/2)’dir. Orijine uzaklığı √[1 + (3/2)2] = √13/2 olur.
Cevap: C
Örnek - 28
Dik kenarları 7 ve 24 birim olan bir dik üçgende α açısının karşısındaki kenar 7 birimdir. Buna göre tan α + sec α kaçtır?
A) 5/4
B) 4/3
C) 3/2
D) 5/3
E) 7/4
Hipotenüs 7-24-25 üçgeninden 25’tir. tan α = 7/24 ve sec α = hipotenüs/komşu = 25/24 olduğundan toplam 32/24 = 4/3’tür.
Cevap: B
Dikkat
Koordinat değeri negatif olabilir; uzunluk ve alan negatif olamaz. Birim çemberde eksenin negatif tarafındaki bir parçanın uzunluğu soruluyorsa koordinatın mutlak değeri kullanılmalıdır.
