AYT noktanın analitik incelenmesi konu anlatımı kapsamında koordinat düzlemi, noktanın bölgesi ve eksenlere uzaklığı, iki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta, doğru parçasını oranla bölme, ağırlık merkezi ve koordinatlarla alan bağıntıları işlenecektir.
AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
KOORDİNAT DÜZLEMİNDE NOKTA
KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ VE SIRALI İKİLİ
Birbirine dik iki sayı doğrusunun kesişmesiyle koordinat düzlemi oluşur. Yatay eksen x ekseni, düşey eksen y ekseni, eksenlerin kesiştiği O(0, 0) noktası ise orijindir. Düzlemdeki bir P noktası P(x, y) sıralı ikilisiyle gösterilir; ilk bileşen apsis, ikinci bileşen ordinattır.
Koordinatlar sıralıdır. P(3, −2) ile P(−2, 3) aynı nokta değildir. Bir noktanın x ekseni üzerinde bulunması için ordinatının 0, y ekseni üzerinde bulunması için apsisinin 0 olması gerekir. Orijin her iki eksen üzerinde yer alır.
BÖLGELER VE KOORDİNATLARIN İŞARETLERİ
Eksenler düzlemi dört bölgeye ayırır. Birinci bölgede iki koordinat pozitif, ikinci bölgede apsis negatif ve ordinat pozitif, üçüncü bölgede iki koordinat negatif, dördüncü bölgede apsis pozitif ve ordinat negatiftir. Eksen üzerindeki noktalar hiçbir bölgeye ait değildir.
Örnek - 1
P(2m−5, m+1) noktası ikinci bölgede olduğuna göre m’nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
İkinci bölgede apsis negatif, ordinat pozitiftir. Bu nedenle 2m−5<0 ve m+1>0 olur. −1<m<5/2 aralığındaki tam sayılar 0, 1 ve 2’dir; toplamları 3’tür.
Cevap: C
Örnek - 2
A(2a−1, 3a+6) noktası x ekseni üzerindedir. Buna göre A noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
x eksenindeki noktanın ordinatı 0’dır. 3a+6=0 eşitliğinden a=−2 ve A(−5, 0) bulunur. Orijine uzaklık |−5|=5 birimdir.
Cevap: C
P(x, y) noktasının x eksenine dik uzaklığı |y|, y eksenine dik uzaklığı |x| olur. Yani bir eksene uzaklık, ona dik koordinatın mutlak değeridir. Mutlak değer kullanılır çünkü uzaklık negatif olamaz.
Örnek - 3
P(2a−1, a+4) noktası ikinci bölgede ve koordinat eksenlerine eşit uzaklıktadır. Buna göre a kaçtır?
A) −3
B) −2
C) −1
D) 0
E) 1
Eksenlere uzaklıklar koordinatların mutlak değerleridir. İkinci bölgede apsis negatif, ordinat pozitif olduğundan −(2a−1)=a+4 yazılır. −2a+1=a+4 eşitliğinden a=−1 bulunur; P(−3, 3) gerçekten ikinci bölgededir.
Cevap: C
Dikkat
Bir noktanın bölgesi belirlenirken koordinatların yalnız mutlak değerleri değil işaretleri de belirleyicidir. Eksen üzerindeki noktalar bölgelere dâhil değildir.
NOKTANIN EKSENLERE, ORİJİNE VE BAŞKA BİR NOKTAYA UZAKLIĞI
EKSENLERE VE ORİJİNE UZAKLIK
P noktasının orijine uzaklığı ise dik üçgenden
OP=√(x²+y²)
bağıntısıyla bulunur.
Örnek - 4
A(−4, 3) noktasının x eksenine, y eksenine ve orijine uzaklıklarının toplamı kaç birimdir?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
x eksenine uzaklık 3, y eksenine uzaklık 4’tür. Orijine uzaklık √(4²+3²)=5 olduğundan toplam 3+4+5=12 birimdir.
Cevap: D
İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki yatay fark |x₂−x₁|, düşey fark |y₂−y₁|’dir. Bu iki fark bir dik üçgenin dik kenarları olduğundan
AB=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]
olur. Farkların hangi sırayla çıkarıldığı sonucu değiştirmez; kare alma işareti ortadan kaldırır.
Örnek - 5
A(−2, 3) ve B(4, −5) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Koordinat farkları 4−(−2)=6 ve −5−3=−8’dir. AB=√(6²+8²)=√100=10 birim olur.
Cevap: C
Örnek - 6
A(−2, −1), B(6, 3) ve C(x, 2) noktaları için |AC|=|BC| olduğuna göre x kaçtır?
A) 1
B) 3/2
C) 2
D) 5/2
E) 3
Uzaklıkların kareleri eşitlenirse (x+2)²+(2+1)²=(x−6)²+(2−3)² olur. Düzenlendiğinde x²+4x+13=x²−12x+37, buradan 16x=24 ve x=3/2 bulunur.
Cevap: B
Örnek - 7
x ekseni üzerindeki P noktası A(−3, 4) ve B(5, 2) noktalarına eşit uzaklıktadır. P noktasının apsisi kaçtır?
A) −1/2
B) 0
C) 1/4
D) 1/2
E) 1
P=(t, 0) alınır. (t+3)²+4²=(t−5)²+2² eşitliği t²+6t+25=t²−10t+29 biçimine gelir. 16t=4 olduğundan t=1/4’tür.
Cevap: C
Örnek - 8
A(−3, 0), B(0, 4) ve C(5, 4) köşeli üçgenin çevresi kaç birimdir?
A) 8+4√5
B) 10+3√5
C) 10+4√5
D) 12+4√5
E) 14+2√5
AB=5 ve BC=5’tir. AC=√[(5+3)²+(4−0)²]=√80=4√5 olur. Çevre 5+5+4√5=10+4√5 birimdir.
Cevap: C
ORTA NOKTA VE DOĞRU PARÇASINI ORANLA BÖLME
ORTA NOKTA
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) doğru parçasının orta noktası, karşılıklı koordinatların aritmetik ortalaması alınarak
M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
biçiminde bulunur. Bir üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçası üçüncü kenara paralel ve onun yarısı uzunluğundadır. Paralelkenarın köşegenleri de birbirlerini ortalar.
Örnek - 9
A(2a−1, −3) ve B(7, 2b+1) doğru parçasının orta noktası M(5, 4) olduğuna göre a+b kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Apsislerden (2a−1+7)/2=5 eşitliği a=2’yi verir. Ordinatlardan (−3+2b+1)/2=4 eşitliği b=5’i verir. Buna göre a+b=7’dir.
Cevap: C
Örnek - 10
A(−4, 2), B(6, −2) ve C(2, 8) köşeli üçgende M, AB’nin; N, AC’nin orta noktasıdır. |MN| kaç birimdir?
A) √21
B) √26
C) √29
D) √34
E) √41
M=(1, 0) ve N=(−1, 5) olur. MN=√[(1+1)²+(0−5)²]=√29 birimdir. Aynı sonuç BC uzunluğunun yarısı alınarak da elde edilir.
Cevap: C
DOĞRU PARÇASINI İÇTEN VE DIŞTAN BÖLME
İçten bölme formülünün türetilmesi
A, P ve B aynı doğru üzerinde olduğundan, koordinat eksenlerine dik izdüşümlerle kurulan benzer dik üçgenler A’dan P’ye olan yatay ve düşey değişimlerin, A’dan B’ye olan değişimlerin aynı oranında ilerlediğini gösterir. AP:PB=m:n ise AB=m+n olduğundan ortak ilerleme oranı AP/AB=m/(m+n) olur:
(x_P−x₁)/(x₂−x₁) = (y_P−y₁)/(y₂−y₁) = m/(m+n) (sıfır olmayan bileşenlerde).
AP uzunluğu m olduğu için B’nin koordinatı m; PB uzunluğu n olduğu için A’nın koordinatı n ile çarpılır. Böylece formüldeki karşı uç ağırlıkları benzer üçgenlerden gelir.
Dıştan bölme formülünün türetilmesi
m>n olduğunda P, B’nin ötesindedir ve noktaların sırası A–B–P olur. Yönlü vektörlerde AP ve BP aynı doğrultuda olduğundan n·(P−A)=m·(P−B) bağıntısı sağlanır. A, B ve P konum vektörlerini açarsak nP−nA=mP−mB ve buradan (m−n)P=mB−nA elde edilir:
x_P = (m·x₂−n·x₁)/(m−n) y_P = (m·y₂−n·y₁)/(m−n)
m<n ise dıştaki P, A’nın ötesindedir; yönlü uzunluklar aynı bağıntıyı ve formülü verir. m=n olduğunda payda sıfırdır ve doğru üzerinde bu oranı sağlayan sonlu bir dıştan bölme noktası yoktur.
Örnek - 11
A(−5, 1) ve B(10, 11) noktalarını birleştiren doğru parçasını P noktası AP:PB=2:3 oranında içten bölüyor. P’nin koordinatları toplamı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
P=((3·(−5)+2·10)/5, (3·1+2·11)/5)=(1, 5) olur. Koordinatları toplamı 6’dır.
Cevap: C
Örnek - 12
A(−2, 4), B(4, −2) ve B’nin ötesindeki P noktası doğrusal olup AP:PB=3:1’dir. P=(x, y) olduğuna göre x−y kaçtır?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
Dıştan bölme formülünden P=(3B−A)/(3−1) elde edilir. P=((12+2)/2, (−6−4)/2)=(7, −5) olduğundan x−y=7−(−5)=12’dir.
Cevap: C
Dikkat
İçten bölmede payda oranların toplamı, dıştan bölmede oranların farkıdır. Ağırlıklar, oran üzerinde bulundukları uca değil karşı uca ait koordinatla eşleşir.
PARALELKENARDA DÖRDÜNCÜ KÖŞE
ABCD paralelkenarında A ve C karşılıklı köşelerse köşegenlerin ortak orta noktası nedeniyle A+C=B+D vektörel eşitliği vardır. Ardışık üç köşe biliniyorsa dördüncü köşe bu eşitlikten bulunur. Köşe sırasının doğru kurulması, hangi noktaların karşılıklı olduğunu belirler.
Örnek - 13
A(−2, 1), B(4, 3) ve C(7, 8) noktaları ABCD paralelkenarının ardışık üç köşesidir. D=(x, y) olduğuna göre x+y kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Ardışık köşelerde D=A+C−B’dir. D=(−2+7−4, 1+8−3)=(1, 6) bulunur. x+y=7’dir.
Cevap: C
Örnek - 14
ABCD paralelkenarında A(−3, 2) ile C(5, 10) karşılıklı, B(7, −1) ile D(x, y) karşılıklı köşelerdir. x+y kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
A+C=B+D olduğundan D=A+C−B’dir. D=(−3+5−7, 2+10−(−1))=(−5, 13) olur. x+y=8’dir.
Cevap: C
ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ
KÖŞE KOORDİNATLARINDAN AĞIRLIK MERKEZİ
Bir üçgenin kenarortayları ağırlık merkezinde kesişir. A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) ve C(x₃, y₃) köşeli üçgenin ağırlık merkezi
G((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)
olur. Ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden başlayarak 2:1 oranında böler. Bu oran, bir köşe ile karşı kenarın orta noktası bilindiğinde eksik noktayı bulmayı sağlar.
Örnek - 15
A(−4, 3), B(5, −2), C(x, y) köşeli üçgenin ağırlık merkezi G(2, 1)’dir. x+y kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Apsislerin ortalamasından (−4+5+x)/3=2 ve x=5 bulunur. Ordinatlardan (3−2+y)/3=1 ve y=2 bulunur. x+y=7’dir.
Cevap: C
Örnek - 16
ABC üçgeninde M, BC’nin orta noktasıdır. A(−6, 5) ve ağırlık merkezi G(2, 1) olduğuna göre M noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
AG:GM=2:1 olduğundan G=(A+2M)/3 yazılır. Buradan M=(3G−A)/2=((6+6)/2, (3−5)/2)=(6, −1) bulunur. Koordinatları toplamı 5’tir.
Cevap: C
Örnek - 17
A(0, 0), B(6, 0) ve C(3, 9) köşeli üçgenin ağırlık merkezi G’dir. ABG üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 12
E) 18
G=((0+6+3)/3, (0+0+9)/3)=(3, 3) olur. AB tabanı 6, G’nin x eksenine uzaklığı 3 olduğundan A(ABG)=6·3/2=9 birimkaredir.
Cevap: C
Dikkat
Ağırlık merkezinin koordinatları üç köşenin ortalamasıdır; kenar orta noktasının koordinatlarıyla karıştırılmaz. Kenarortay üzerindeki 2:1 oranında büyük parça köşe tarafındadır.
KOORDİNATLARLA ALAN
ÜÇGENİN ALANI
Determinant formülünün dikdörtgenden türetilmesi
Önce çizimdeki yerleşimi ele alalım: x₁<x₃<x₂ ve y₁<y₂<y₃ olsun. ABC üçgeni, kenar uzunlukları x₂−x₁ ve y₃−y₁ olan çevre dikdörtgenin içindedir. Üçgenin alanı, dikdörtgen alanından dışarıda kalan üç dik üçgenin alanları çıkarılarak bulunur:
A = (x₂−x₁)(y₃−y₁) − 1/2·[(x₃−x₁)(y₃−y₁) + (x₂−x₃)(y₃−y₂) + (x₂−x₁)(y₂−y₁)]
A(1, 1), B(7, 5), C(2, 8) için dikdörtgenin alanı 6·7=42’dir. Dışarıdaki dik üçgenlerin alanları sırasıyla 1/2·1·7=3,5; 1/2·5·3=7,5; 1/2·6·4=12 olur. ABC alanı 42−3,5−7,5−12=19 birimkaredir. Aynı noktalar determinantta yerine konunca 1/2·|1(5−8)+7(8−1)+2(1−5)| = 1/2·|−3+49−8| = 19 bulunur.
Genel koordinatlarla çıkarma işlemi sadeleştirildiğinde, bu yerleşimde determinant içi x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂) olur. Noktaların yön sırası ters çevrilirse determinantın işareti değişir; alan negatif olmayacağı için mutlak değer alınır.
A=1/2·|x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|
Üç nokta doğrusal olduğunda alan 0 olur; bu özellik bilinmeyen koordinat bulmada kullanılabilir. Bir kenar eksenlerden birine paralelse taban–yükseklik yöntemi genellikle daha kısadır.
Örnek - 18
A(−2, 1), B(4, 1) ve C(1, 7) köşeli üçgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 21
E) 24
AB yataydır ve uzunluğu 4−(−2)=6’dır. C’nin AB doğrusuna düşey uzaklığı 7−1=6 olduğundan alan 6·6/2=18 birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 19
A(1, 2), B(7, 2) ve C(4, k) köşeli üçgenin alanı 15 birimkaredir. C noktası AB doğrusunun üst tarafında olduğuna göre k kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
AB=6 ve yükseklik k−2’dir. 6(k−2)/2=15 eşitliğinden 3(k−2)=15, buradan k=7 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 20
A(−2, 3), B(4, 7) ve x ekseni üzerindeki P(t, 0) noktalarının oluşturduğu üçgenin alanı 9 birimkaredir. t>−5 olduğuna göre t kaçtır?
A) −4
B) −3
C) −2
D) −1
E) 0
Determinanttan alan |2t+13| olur. |2t+13|=9 eşitliği t=−2 veya t=−11 değerlerini verir. t>−5 koşulunu yalnız −2 sağladığından sonuç t=−2’dir.
Cevap: C
ÇOKGEN ALANI VE BAĞINTILI UYGULAMALAR
Köşeleri koordinatlarla verilen çokgenlerde noktalar çevre sırasına dizilir. Ardışık çapraz çarpımların toplamları arasındaki farkın mutlak değerinin yarısı alanı verir. Köşe sırası karışırsa kenarlar birbirini kesebilir ve sonuç gerçek bölgeyi temsil etmez.
Örnek - 21
A(−3, 0), B(0, 4), C(5, 3) ve D(4, −2) köşeli ABCD dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 24
B) 27
C) 30
D) 33
E) 36
Çevre sırasıyla çapraz çarpımlar alınır. Bir yönün toplamı −3·4+0·3+5·(−2)+4·0=−22, diğer yönün toplamı 0·0+4·5+3·4+(−2)·(−3)=38’dir. Alan |−22−38|/2=30 birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 22
O(0, 0), A(6, 0) ve B(0, 8) noktaları veriliyor. P noktası AB doğru parçasını AP:PB=1:3 oranında içten böldüğüne göre OAP üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 12
P=(3A+B)/4=(9/2, 2) olur. OA tabanı 6, P’nin x eksenine uzaklığı 2 olduğundan OAP alanı 6·2/2=6 birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 23
A(−6, 3) ve B(6, −3) doğru parçasını P noktası AP:PB=1:2 oranında içten bölüyor. Q, PB’nin orta noktası olduğuna göre |PQ| kaç birimdir?
A) √5
B) 2√5
C) 3√5
D) 4√5
E) 5√5
P=(2A+B)/3=(−2, 1) olur. Q, P ile B’nin orta noktası olduğundan Q=(2, −1)’dir. PQ=√[4²+(−2)²]=√20=2√5 birimdir.
Cevap: B
Örnek - 24
A(−3, 0), B(9, 0) ve C(3, 8) köşeli üçgenin ağırlık merkezi G’dir. ABG üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
G=(3, 8/3) olur. AB tabanı 12 ve G’nin x eksenine uzaklığı 8/3 olduğundan alan 12·(8/3)/2=16 birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 25
y ekseni üzerindeki P(0, t) noktası A(−4, 1) ve B(2, 5) noktalarına eşit uzaklıktadır. t kaçtır?
A) 1
B) 3/2
C) 2
D) 5/2
E) 3
PA²=PB² yazılır: 4²+(t−1)²=2²+(t−5)². Düzenlendiğinde 17−2t=29−10t, buradan 8t=12 ve t=3/2 bulunur.
Cevap: B
Örnek - 26
A(−4, −1), B(8, −1) ve C(2, 7) köşeli üçgenin ağırlık merkezi P’dir. PAB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
ABC üçgeninin tabanı 12, yüksekliği 8 olduğundan alanı 48’dir. Ağırlık merkezini köşelere birleştiren üç üçgen eş alanlıdır. Bu nedenle PAB alanı 48/3=16 birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 27
A(−2, 3), B(4, −1) ve C(t, 5) noktaları doğrusal olduğuna göre t kaçtır?
A) −7
B) −6
C) −5
D) −4
E) −3
Doğrusal üç noktanın oluşturduğu alan 0’dır. AB=(6, −4) ve AC=(t+2, 2) vektörleri için determinant 6·2−(−4)(t+2)=0 olur. 12+4t+8=0 eşitliğinden t=−5 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 28
A(−5, −1) ve B(7, 5) doğru parçasının orta noktası M’dir. P(1, −3) olduğuna göre PA²+PB² kaçtır?
A) 120
B) 130
C) 140
D) 150
E) 160
PA²=(1+5)²+(−3+1)²=36+4=40’tır. PB²=(1−7)²+(−3−5)²=36+64=100’dür. Toplam 140 olur.
Cevap: C
Örnek - 29
A(−4, −2), B(6, −2), C(6, 4) ve D(−4, 4) köşeli dikdörtgenin köşegenleri P noktasında kesişiyor. PA²+PB²+PC²+PD² kaçtır?
A) 120
B) 128
C) 136
D) 144
E) 152
P, köşegenlerin ortak orta noktasıdır ve P=(1, 1) olur. Her köşeye uzaklığın karesi 5²+3²=34’tür. Dört eş uzaklığın kareleri toplamı 4·34=136’dır.
Cevap: C
Örnek - 30
A(−6, 0), B(6, 0) ve C(0, 9) köşeli üçgenin ağırlık merkezi D’dir. D’den AB’ye paralel çizilen doğru AC’yi P, BC’yi Q noktasında kesiyor. ABQP dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 24
B) 27
C) 30
D) 32
E) 36
D=(0, 3)’tür. PQ doğrusu y=3 seviyesindedir ve kenarları P(−4, 3), Q(4, 3) noktalarında keser. ABC alanı 12·9/2=54’tür. CPQ üçgeni ABC’ye 2/3 oranında benzer; alanı 54·(2/3)²=24’tür. ABQP alanı 54−24=30 birimkaredir.
Cevap: C
Dikkat
Koordinatlarla alan hesabında mutlak değer alanın pozitif kalmasını sağlar. Çokgenlerde köşelerin çevre sırasına göre yazılması, kesişen kenarların yanlış bir bölge oluşturmasını engeller.
