AYT dairede çevre ve alan konu anlatımı kapsamında çember ve yay uzunluğu, daire dilimi, daire parçası, halka, benzer daireler ve bileşik taralı alan problemleri işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
ÇEMBER ÇEVRESİ VE YAY UZUNLUĞU
ÇEVRE, ÇAP VE YARIÇAP BAĞINTISI
Yarıçapı r olan çemberin çevresi 2πr, çapı d olan çemberin çevresi πd olur. Bir doğru üzerinde art arda teğet duran çemberlerde çapların toplamı büyük çemberin çapına eşitse küçük çemberlerin çevreleri toplamı da büyük çemberin çevresine eşittir. Bu sonuç, çember sayısından değil çevrenin yarıçapla doğrusal değişmesinden doğar.
Bir çember dönerek ilerlediğinde kaymadan yapılan her tam turda aldığı yol çevre uzunluğuna eşittir. n tam tur atan yarıçapı r olan bir tekerleğin aldığı yol n·2πr biçimindedir.
Örnek - 1
Yarıçapı 18 birim olan O merkezli çemberde küçük AB yayını gören merkez açı 120°’dir. Buna göre büyük AB yayınının uzunluğu kaç birimdir?
A) 18π
B) 20π
C) 22π
D) 24π
E) 27π
Büyük yayı gören açı 360°−120°=240° olur. Yay uzunluğu 2π·18·240/360=24π birimdir.
Cevap: D
Örnek - 2
AC çaplı büyük çemberin çapı üzerinde, çapları AB=12 ve BC=8 birim olan iki çember dıştan teğettir. Küçük çemberlerin çevreleri toplamının büyük çemberin çevresine oranı kaçtır?
A) 1/2
B) 2/3
C) 3/4
D) 4/5
E) 1
Küçük çemberlerin çevreleri toplamı 12π+8π=20π’dir. Büyük çemberin çapı AC=12+8=20 olduğundan çevresi de 20π olur. Oran 1’dir.
Cevap: E
Örnek - 3
Aynı merkez açının gördüğü iki eş merkezli yayın uzunlukları 18π ve 12π birimdir. Bu yayların ait olduğu daire dilimlerinin alanları oranı, büyük olanın küçük olana oranı biçiminde kaçtır?
A) 3/2
B) 9/4
C) 5/2
D) 8/3
E) 3
Merkez açı ortak olduğundan yay uzunlukları oranı yarıçaplar oranına eşittir: R/r=18π/12π=3/2. Benzer dilimlerin alanları oranı yarıçap oranının karesi olduğundan S₁/S₂=(3/2)²=9/4 olur.
Cevap: B
YAY UZUNLUĞU VE DAİRE DİLİMİNİN ÇEVRESİ
Merkez açısı α° olan bir yayın uzunluğu 2πr·α/360 ile bulunur. Aynı çemberde yay uzunlukları merkez açılarıyla; eş merkez açılarda ise yarıçaplarla doğru orantılıdır.
Daire diliminin çevresi yalnız yaydan oluşmaz. Yay uzunluğuna iki yarıçap eklenir: Çevre=dilim yayı+2r. Daire parçasının çevresinde ise iki yarıçap yerine yayı sınırlayan kiriş bulunur.
Örnek - 4
Yarıçapı 9 birim, merkez açısı 120° olan daire diliminin çevresi kaç birimdir?
A) 12+6π
B) 18+4π
C) 18+6π
D) 18+9π
E) 24+6π
Dilim yayı 2π·9·120/360=6π’dir. İki yarıçapın toplamı 18 olduğundan dilimin çevresi 18+6π birimdir.
Cevap: C
Örnek - 5
Yarıçapı 20 cm olan bir tekerlek düz bir zeminde kaymadan 5 tam tur atıyor. Tekerleğin merkezi kaç santimetre ilerler?
A) 100π
B) 160π
C) 180π
D) 200π
E) 240π
Bir turdaki ilerleme çemberin çevresi olan 2π·20=40π santimetredir. Beş turda alınan yol 5·40π=200π santimetre olur.
Cevap: D
Örnek - 6
Çapı 28 birim olan bir çemberin çapı üzerinde, birbirine ve büyük çembere teğet dört küçük çember sıralanmıştır. Küçük çemberlerin çevreleri toplamı kaç birimdir?
A) 14π
B) 21π
C) 24π
D) 28π
E) 32π
Küçük çemberlerin çapları toplamı büyük çemberin çapı olan 28’e eşittir. Çevre π·çap olduğundan küçük çemberlerin çevreleri toplamı π·28=28π birimdir.
Cevap: D
Dikkat
Daire diliminin çevresinde yay uzunluğuna iki yarıçap da katılır. Daire parçasının çevresinde ise yayla birlikte kiriş uzunluğu bulunur.
DAİRE VE DAİRE DİLİMİNİN ALANI
DAİRE, YARIM DAİRE VE ÇEYREK DAİRE
Yarıçapı r olan dairenin alanı πr² olur. Yarım dairenin alanı πr²/2, çeyrek dairenin alanı πr²/4’tür. Alan yarıçapın karesiyle değiştiği için yarıçap iki katına çıktığında alan dört katına çıkar.
Bir daire birkaç sektöre ayrılmışsa sektör alanları merkez açıların ya da yüzde payların oranında dağılır. Merkez açıların toplamı 360°, yüzde payların toplamı %100’dür.
Örnek - 7
Yarıçapı 12 birim olan dairede merkez açısı 150° olan dilimin alanı kaç birimkaredir?
A) 48π
B) 54π
C) 60π
D) 64π
E) 72π
Dilim alanı π·12²·150/360=144π·5/12=60π birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 8
Yarıçapı 10 birim olan bir daire diliminin yay uzunluğu 8π birimdir. Dilimin alanı kaç birimkaredir?
A) 32π
B) 36π
C) 40π
D) 44π
E) 48π
Yay uzunluğu s bilinen dilimde alan s·r/2’dir. Buna göre alan 8π·10/2=40π birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 9
Yarıçapı 15 birim olan bir çemberde uzunluğu 10π birim olan yayın gördüğü merkez açı kaç derecedir?
A) 90
B) 108
C) 120
D) 135
E) 144
10π=2π·15·α/360 eşitliğinden α=120° bulunur.
Cevap: C
MERKEZ AÇI, YAY VE ALAN ORANLARI
Merkez açısı α° olan daire diliminin alanı πr²·α/360 olur. Yay uzunluğu s biliniyorsa aynı alan s·r/2 biçiminde de hesaplanır. Bu ikinci bağıntı, merkez açının verilmediği sorularda daha kısa bir yol oluşturur.
Örnek - 10
Alanı 270π birimkare olan bir dairede merkez açıları 40° ve 80° olan iki ayrık bölge boyanmıştır. Boyalı alanların toplamı kaç birimkaredir?
A) 75π
B) 80π
C) 90π
D) 100π
E) 110π
Boyalı dilimlerin toplam merkez açısı 120°’dir. Alan 270π·120/360=90π birimkare olur.
Cevap: C
Örnek - 11
Alanı 144π birimkare olan daire, şekildeki yüzdelere göre dört bölgeye ayrılmıştır. Yüzdesi yazılmayan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 30π
B) 32π
C) 34π
D) 36π
E) 40π
Eksik pay %100−(%20+%30+%25)=%25’tir. Bölgenin alanı 144π·1/4=36π birimkaredir.
Cevap: D
Örnek - 12
Yarıçapları 18 ve 12 birim olan eş merkezli iki çeyrek daire arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 36π
B) 40π
C) 45π
D) 48π
E) 54π
Bölge, iki çeyrek dairenin alan farkıdır: π(18²−12²)/4=π(324−144)/4=45π birimkare.
Cevap: C
DAİRE PARÇASI, HALKA VE HALKASAL DİLİM
DAİRE PARÇASININ ALANI
Bir kiriş ile o kirişin gördüğü yay arasında kalan bölgeye daire parçası denir. Küçük daire parçasının alanı, ilgili daire diliminin alanından merkezle kirişin uçlarının oluşturduğu ikizkenar üçgenin alanı çıkarılarak bulunur:
Daire parçası alanı=πr²·α/360−r²·sinα/2
Büyük daire parçasında önce küçük parça bulunur, ardından dairenin tüm alanından çıkarılır. Aynı çemberde eş kirişler eş yayları ve eş daire parçalarını sınırlar.
Örnek - 13
Yarıçapı 6 birim olan bir çemberde 60°’lik merkez açının gördüğü küçük daire parçasının alanı kaç birimkaredir?
A) 6π−6√3
B) 6π−9√3
C) 9π−6√3
D) 9π−9√3
E) 12π−9√3
Daire diliminin alanı π·6²·60/360=6π’dir. AOB üçgeni eşkenardır ve alanı 6²√3/4=9√3 olur. Daire parçasının alanı 6π−9√3’tür.
Cevap: B
Örnek - 14
Yarıçapı 8 birim olan bir çemberde 120°’lik merkez açının gördüğü küçük daire parçasının alanı kaç birimkaredir?
A) 16π−8√3
B) 16π−16√3
C) 64π/3−8√3
D) 64π/3−16√3
E) 32π−16√3
Dilim alanı π·8²·120/360=64π/3’tür. AOB üçgeninin alanı 8²·sin120°/2=16√3 olur. Fark 64π/3−16√3 birimkaredir.
Cevap: D
HALKA, TEĞET KİRİŞ VE HALKASAL DİLİM
Yarıçapları R ve r olan eş merkezli iki daire arasında kalan halkanın alanı π(R²−r²) olur. Büyük çemberin bir kirişi küçük çembere teğetse, merkezden teğet noktasına çizilen yarıçap kirişe diktir. Kirişin yarısı x ise R²−r²=x² olduğundan halkanın alanı doğrudan πx² olur.
Eş merkezli iki yay arasında kalan halkasal dilimde alan farkı alınır. Dış yay uzunluğu x, iç yay uzunluğu y ve yarıçap farkı a ise alan (x+y)a/2 biçiminde de yazılabilir.
Örnek - 15
Eş merkezli iki çemberden büyük olanın AB kirişi küçük çembere T noktasında teğettir. AT=8 birim olduğuna göre iki çember arasında kalan halkanın alanı kaç birimkaredir?
A) 36π
B) 48π
C) 56π
D) 64π
E) 72π
OT, AB’ye diktir ve kirişi ortalar. AOT dik üçgeninde R²−r²=AT²=64’tür. Halka alanı π(R²−r²)=64π birimkaredir.
Cevap: D
Örnek - 16
Yarıçapları 10 ve 6 birim olan eş merkezli iki daire arasında kalan halkanın alanı kaç birimkaredir?
A) 48π
B) 56π
C) 60π
D) 64π
E) 72π
Halka alanı π(10²−6²)=π(100−36)=64π birimkaredir.
Cevap: D
Örnek - 17
Merkez açısı 120° olan bir halkasal dilimin dış yay uzunluğu 10π, iç yay uzunluğu 6π birimdir. Boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 36π
B) 42π
C) 48π
D) 54π
E) 60π
120° için yay uzunluğu 2πr/3’tür. Buradan dış yarıçap 15, iç yarıçap 9 bulunur. Alan π(15²−9²)/3=π·144/3=48π birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 18
Kalınlığı 3 birim olan bir halkasal dilimin iç ve dış yay uzunlukları sırasıyla 4π ve 6π birimdir. Boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 12π
B) 15π
C) 18π
D) 21π
E) 24π
Halkasal dilim alanı (dış yay+iç yay)·kalınlık/2 bağıntısıyla bulunur: (6π+4π)·3/2=15π birimkare.
Cevap: B
Dikkat
Halka sorularında yarıçapların farkının karesi ile karelerinin farkı aynı değildir. Alanı belirleyen ifade R²−r²=(R−r)(R+r) biçimindedir.
BENZER DAİRELER VE BİLEŞİK ALANLAR
BENZERLİK, EŞ KİRİŞ VE ALAN ORANLARI
Bütün daireler benzerdir. Yarıçapları oranı k olan iki dairenin çevreleri oranı k, alanları oranı k² olur. Aynı merkez açıya sahip daire dilimleri ve karşılık gelen daire parçaları için de aynı alan oranı geçerlidir.
Eş merkezli çemberlerde eş aralıklı yarıçaplar, alanları eş halkalar oluşturmaz. Ardışık yarıçaplar r, 2r, 3r ise merkez disk ile sonraki iki halkanın alanları 1:3:5 oranındadır.
Örnek - 19
Aynı çemberde eş uzunluktaki iki kirişin ayırdığı küçük daire parçalarının alanları 3x+2 ve 5x−10 birimkaredir. Bu iki bölgenin alanları toplamı kaç birimkaredir?
A) 32
B) 36
C) 40
D) 44
E) 48
Eş kirişler eş daire parçaları ayırır. 3x+2=5x−10 eşitliğinden x=6 bulunur. Her bölgenin alanı 20, toplam alan 40 birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 20
Merkez açıları eşit, yarıçapları 12 ve 8 birim olan iki daire diliminin alanları oranı kaçtır?
A) 3/2
B) 7/4
C) 2
D) 9/4
E) 5/2
Dilimler benzerdir. Alan oranı yarıçap oranının karesidir: (12/8)²=(3/2)²=9/4.
Cevap: D
Örnek - 21
Yarıçapları 2, 4 ve 6 birim olan eş merkezli üç çemberin oluşturduğu merkez disk, orta halka ve dış halkanın alanları sırasıyla hangi orandadır?
A) 1:2:3
B) 1:3:5
C) 1:4:9
D) 2:3:4
E) 3:4:5
Alanlar 4π, π(4²−2²)=12π ve π(6²−4²)=20π’dir. 4π ortak çarpanı çıkarıldığında oran 1:3:5 olur.
Cevap: B
KARE, ÜÇGEN VE TEĞET ÇEMBER BİLEŞİMLERİ
Bileşik alan sorularında taralı bölge tek hamlede hesaplanmak zorunda değildir. Kare, dikdörtgen veya üçgen alanından dilimler çıkarılabilir; birbirine eklenen yarım dairelerde ise çapların toplamı ve ortak sınırlar izlenir.
Çakışmayan bölgelerin alanları doğrudan toplanır. Örtüşen iki dairede ortak bölge iki daire diliminden iki üçgen çıkarılarak bulunur. Sınırın hangi yay ve doğru parçalarından oluştuğu, çevre hesabıyla alan hesabını birbirinden ayırır.
Örnek - 22
Bir kenarı 12 birim olan karenin köşelerine, yarıçapı 6 birim olan dört çeyrek daire çizilmiştir. Karenin içinde ve bu çeyrek dairelerin dışında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 144−24π
B) 144−30π
C) 144−36π
D) 144−42π
E) 144−48π
Dört çeyrek dairenin alanları toplamı yarıçapı 6 olan bir tam dairenin alanına, yani 36π’ye eşittir. Karenin alanı 144 olduğundan kalan alan 144−36π’dir.
Cevap: C
Örnek - 23
Yarıçapı 12 birim olan büyük dairenin bir çapı üzerinde, yarıçapları 5 ve 7 birim olan iki daire birbirine ve büyük daireye içten teğettir. Büyük daire içinde küçük dairelerin dışında kalan alan kaç birimkaredir?
A) 60π
B) 65π
C) 70π
D) 75π
E) 80π
Küçük daireler yalnız teğet olduğundan alanları çakışmaz. Kalan alan π·12²−π·5²−π·7²=(144−25−49)π=70π birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 24
Dik kenarları 6 ve 8 birim olan dik üçgenin çevrel çemberinin alanı kaç birimkaredir?
A) 16π
B) 20π
C) 25π
D) 30π
E) 36π
Hipotenüs √(6²+8²)=10 birimdir. Dik üçgende çevrel çemberin çapı hipotenüse eşit olduğundan yarıçap 5 ve alan 25π birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 25
Bir kenarı 12 birim olan kareye içten teğet bir daire çiziliyor. Karenin içinde, dairenin dışında kalan alan kaç birimkaredir?
A) 144−25π
B) 144−30π
C) 144−36π
D) 144−42π
E) 144−48π
Bir doğru parçası sabit bir nokta çevresinde döndüğünde daire dilimi; iki farklı yarıçap arasında döndüğünde halkasal dilim tarar. Silecek, pergel kolu ve dönen çubuk problemleri bu modele indirgenir.
Kapalı bir dışbükey şekilden sabit uzaklıkta dolaşan bir noktanın yolu, şeklin çevresine toplamı bir tam çember oluşturan köşe yaylarını ekler. Dikdörtgenden d uzaklıktaki paralel yolun uzunluğu bu nedenle dikdörtgen çevresi+2πd olur.
Örnek - 26
İç yarıçapı 8 birim olan bir silecek, 120° dönerek kalınlığı 5 birim olan halkasal bir bölge tarıyor. Taranan alan kaç birimkaredir?
A) 30π
B) 32π
C) 35π
D) 38π
E) 40π
Dış yarıçap 8+5=13’tür. Halkasal dilim alanı π(13²−8²)·120/360=π(169−64)/3=35π birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 27
Kenar uzunlukları 16 ve 10 birim olan dikdörtgenden her noktada 6 birim uzakta bulunan dış paralel kapalı yolun uzunluğu kaç birimdir?
A) 44+12π
B) 48+12π
C) 52+6π
D) 52+12π
E) 56+12π
Dikdörtgenin çevresi 2(16+10)=52’dir. Dört köşedeki yayların toplamı yarıçapı 6 olan bir tam çemberin çevresine, yani 12π’ye eşittir. Yol uzunluğu 52+12π birimdir.
Cevap: D
ÖRTÜŞME, DAİRE PARÇASI VE KARMA ALAN
İki eş dairenin merkezleri arasındaki uzaklık yarıçapa eşitse merkezlerle kesişim noktaları eşkenar üçgenler oluşturur. Ortak bölge, iki 120°’lik daire diliminden iki eşkenar üçgen çıkarılarak bulunur.
Kare ve çemberin birlikte bulunduğu son aşama sorularında alanlar renklerine göre değil sınırlarına göre ayrılır. Aynı görseldeki çeyrek daireler bir tam daireye tamamlanabilir; merkezdeki bağımsız daire ayrıca hesaba katılır.
Örnek - 28
Yarıçapları 10 birim olan eş iki dairenin merkezleri arasındaki uzaklık 10 birimdir. Dairelerin ortak bölgesinin alanı kaç birimkaredir?
A) 100π/3−25√3
B) 200π/3−25√3
C) 200π/3−50√3
D) 100π−50√3
E) 200π/3−75√3
Merkezler ve kesişim noktalarıyla iki eşkenar üçgen oluşur. Ortak bölge iki adet 120°’lik dilimden iki eşkenar üçgenin çıkarılmasıdır: 2·(100π/3−25√3)=200π/3−50√3.
Cevap: C
Örnek - 29
Yarıçapı 8 birim olan bir çemberde 120°’lik merkez açının gördüğü kiriş ile küçük yay arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 16π−16√3
B) 64π/3−8√3
C) 64π/3−16√3
D) 32π−16√3
E) 64π/3−24√3
120°’lik dilimin alanı 64π/3’tür. İkizkenar üçgenin alanı 8²·sin120°/2=16√3’tür. Daire parçası 64π/3−16√3 birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 30
Bir kenarı 14 birim olan karenin her köşesinde yarıçapı 4 birim olan birer çeyrek daire, merkezinde ise yarıçapı 3 birim olan bir daire çizilmiştir. Bu beş bölgenin dışında, karenin içinde kalan alan kaç birimkaredir?
A) 196−20π
B) 196−22π
C) 196−24π
D) 196−25π
E) 196−28π
Dört çeyrek dairenin toplam alanı yarıçapı 4 olan bir tam dairenin alanı, yani 16π’dir. Merkezdeki dairenin alanı 9π’dir. Bölgeler çakışmadığından kalan alan 14²−16π−9π=196−25π olur.
Cevap: D
Dikkat
Bileşik şekillerde alanı oluşturan parçalar ile yalnız sınırı oluşturan parçalar farklı olabilir. Taralı bölgenin kapalı sınırı, hangi alanların toplanıp hangilerinin çıkarılacağını belirler.
